6.3.2二項式系數的性質[目標導航]課標要求1.了解掌握二項式系數之間的規律2.能運用函數觀點分析處理二項式系數的性質,理解和掌握二項式系數的性質,并會簡單應用新知導學·素養啟迪課堂探究·素養培育當堂即練·素養達成新知導學·素養啟迪新知梳理1和2n2n-1小試身手1.已知(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|等于(

)A.1024 B.243 C.32 D.24解析:令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=[1-(-3)]5=45=1024.AC答案:252

4623.在(1+x)10的展開式中,二項式系數最大為

;

在(1-x)11的展開式中,二項式系數最大為

.

答案:64.在(x+y)n的展開式中,第4項與第8項的系數相等,則展開式中系數最大的項是第

項.

課堂探究·素養培育探究點一二項式系數性質應用方法總結(1)已知二項式系數最大項時,先利用二項式系數的單調性確定項數,再解決其他問題.(2)某兩項二項式系數相等時,利用二項式系數的對稱性,確定n的值.探究點二二項式系數與項的系數角度1二項式系數性質與項的系數[例2]已知二項式(2x-1)n的展開式中僅有第4項的二項式系數最大,則展開式中x3項的系數為(

)A.-80 B.80 C.-160 D.-120角度2二項展開式求項的系數[例3]設(1+x2)(2-x)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5+a6(x-1)6,則a0+a2+a4+a6=

.

解析:由題意,令x=2,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.令x=0,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=16.兩式相加得2(a0+a2+a4+a6)=16,所以a0+a2+a4+a6=8.答案:8變式訓練3-1:本例中,(1)a0=

;

解析:記f(x)=(1+x2)(2-x)4,則(1)a0=f(1)=2.答案:(1)2

(2)a1+a3+a5=

;

答案:(2)-8(3)(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5)2=

;

解析:(3)(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5)2=f(2)·f(0)=0.答案:(3)0(4)a2=

.

答案:(4)5方法總結(1)“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和,常用賦值法,只需令x=1即可.(2)對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=y=1即可.數學窗二項展開式中系數最大項的問題(2)求展開式中系數最大的項.素養升華(2)求展開式中系數最大的項.當堂即練·素養達成當堂即練C2.若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2等于(

)A.-32 B.32 C.-243 D.243D解析:設f(x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,由已知可得f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,因此,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=243.答案:9

84答案:4解析:令x=1,則a0+a1+a2+…+an=2+22+23+…+2n=2n+1-2;令x=0,得a0=n,又an=1,所以a1+a2+…+an-1=2n+1-2-n-1=29-n,所以2n+1=32,所以n=4.課堂小結1.二項式系數的性質:對稱性、單調性、最值.2.求展開式中的系數或展開式中的系數的和、差的關鍵是給字母賦值,賦值的選擇則需根據所求的展開式系數和的特征來確定.