2022屆高三數學二輪復習大題訓練（綜合訓練（8））1．如圖，中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點，求的最大值．2．為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產生抗體與某項指標值的相關性，研究人員從某地區10萬人中隨機抽取了200人，對其注射疫苗后的該項指標值進行測量，按，，，，，，，，，分組，得到該項指標值頻率分布直方圖如圖所示．同時發現這200人中有120人在體內產生了抗體，其中該項指標值不小于60的有80人．（1）填寫下面的列聯表，判斷是否有的把握認為“注射疫苗后產生抗體與指標值不小于60有關”．指標值小于60指標值不小于60合計有抗體沒有抗體合計（2）以注射疫苗后產生抗體的頻率作為注射疫苗后產生抗體的概率，若從該地區注射疫苗的人群中隨機抽取4人，求產生抗體的人數的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8283．已知單調遞增的等比數列，滿足，且是，的等差中項．（1）求數列的通項公式；（2）若，，對任意正整數，總有成立，試求實數的取值范圍．4．如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，平面平面，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）試問線段是否存在點，使得二面角的平面角的余弦值為，若存在，請計算的值；若不存在，請說明理由．5．已知為坐標原點，點，，過動點作直線的垂線，垂足為點，，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若，，，均在上，直線，的交點為，，，求四邊形面積的最小值．6．已知函數，，．（1）若存在唯一的零點，求的取值范圍；（2）若有兩個不同的解，，求證：．2022屆高三數學二輪復習大題訓練（綜合訓練（8））1．如圖，中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點，求的最大值．【解答】（1）由，整理得，，由余弦定理得，，由為三角形內角得；（2）由圓內角四邊形性質可得，，設，則，在中，由正弦定理得，所以，，所以，當時，取得最大值．2．為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產生抗體與某項指標值的相關性，研究人員從某地區10萬人中隨機抽取了200人，對其注射疫苗后的該項指標值進行測量，按，，，，，，，，，分組，得到該項指標值頻率分布直方圖如圖所示．同時發現這200人中有120人在體內產生了抗體，其中該項指標值不小于60的有80人．（1）填寫下面的列聯表，判斷是否有的把握認為“注射疫苗后產生抗體與指標值不小于60有關”．指標值小于60指標值不小于60合計有抗體沒有抗體合計（2）以注射疫苗后產生抗體的頻率作為注射疫苗后產生抗體的概率，若從該地區注射疫苗的人群中隨機抽取4人，求產生抗體的人數的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】（1）由該項指標值頻率分布直方圖，可得該項指標值不小于60的人共有，填寫下面的列聯表，指標值小于60指標值不小于60合計有抗體4080120沒有抗體404080合計80120200，有的把握認為“注射疫苗后產生抗體與指標值不小于60有關”．（2）以注射疫苗后產生抗體的頻率作為注射疫苗后產生抗體的概率，則概率．若從該地區注射疫苗的人群中隨機抽取4人，產生抗體的人數的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，1，2，3，4，，同理可得：，，，，的分布列，01234則的數學期望．3．已知單調遞增的等比數列，滿足，且是，的等差中項．（1）求數列的通項公式；（2）若，，對任意正整數，總有成立，試求實數的取值范圍．【解答】（1）設等比數列的首項為，公比為．依題意是，的等差中項，有，代入，得．．，解之得或，，又單調遞增，，，；（2）∵，①②①②得，，由，即對任意正整數恒成立，．對任意正整數，恒成立．，．即的取值范圍是，．4．如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，平面平面，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）試問線段是否存在點，使得二面角的平面角的余弦值為，若存在，請計算的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：是等邊三角形，是的中點，，平面平面，平面平面，，平面，平面，，，，平面．（2）存在線段的中點滿足題意．理由如下：面，，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，0，，，，，設，，，其中，，則，平面的一個法向量，0，，設平面的法向量，，，則，取，則，0，，由題意得，，解得，線段上存在點，使得二面角的平面角的余弦值為，．5．已知為坐標原點，點，，過動點作直線的垂線，垂足為點，，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若，，，均在上，直線，的交點為，，，求四邊形面積的最小值．【解答】（1）設，則，所以，，所以，所以的軌跡的方程為：．（2）由題知直線，斜率必存在，且不為0，設，，，，，，，，設，代入拋物線方程中得：，整理得，，所以，，因為，設，代入拋物線方程中得：，整理得：，，所以，，所以四邊形的面積為：，當且僅當，即時等號成立，此時四邊形的面積最小，最小值為2，綜上，四邊形的面積最小值為2．6．已知函數，，．（1）若存在唯一的零點，求的取值范圍；（2）若有兩個不同的解，，求證：．【解答】（1）∵的定義域為，，當時，，單調遞減，當時，，（1），所以存在唯一的零點，符合題意；當時，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以在處取得極大值也是最大值，最大值為（a），若存在唯一的零點，則（a），解得．綜上可得：的取值范圍是，．（2）證明：令，，①當時，恒成立，所以在上為增函數，不符合題意；