學(xué)生姓名：班主任：教師姓名：徐文平學(xué)生簽字:日期：時(shí)間段：年級(jí)：初一（下）課時(shí)：教學(xué)內(nèi)容：初一下冊(cè)數(shù)學(xué)綜合題教學(xué)案（二）教學(xué)目標(biāo)：對(duì)初一的知識(shí)有很好的運(yùn)用能力重點(diǎn)：用所學(xué)過的知識(shí)及思維方法去解決實(shí)際問題難點(diǎn)：用所學(xué)過的知識(shí)及思維方法去解決實(shí)際問題教學(xué)準(zhǔn)備：課本、試題1、已知,且,則的值等于________.2、如圖，在中，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作，交線段于．（1）當(dāng)時(shí)，°,°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變（填“大”或“小”）；（本小題3分）（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，≌，請(qǐng)說明理由；（本小題4分）（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫出的度數(shù).若不可以,請(qǐng)說明理由。（本小題3分）ABCABC備用圖40°D40°ABC40°E得分3.已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：得分(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）在圖2中，若∠D=400,∠B=360，試求∠P的度數(shù)；（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.（直接寫出結(jié)論即可）4、(本題4分)已知為實(shí)數(shù)，，求的值。5、(本題6分)如圖①，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B，A、C兩頂點(diǎn)在直線l同側(cè)，過點(diǎn)A、C分別作AE⊥直線l、CF⊥直線l．(1)試說明：EF＝AE＋CF；(2)如圖②，當(dāng)A、C兩頂點(diǎn)在直線兩側(cè)時(shí)，其它條件不變，猜想EF、AE、CF滿足什么數(shù)量關(guān)系(直接寫出答案，不必說明理由)．圖圖①DAECBFl圖②ABEFClD6．(本題9分)如圖，△ABC和△ADC都是每邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)B、A出發(fā)，各自沿BA、AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、D停止，運(yùn)動(dòng)的速度相同，連接EC、FC．(1)在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中∠ECF的大小是否隨之變化？請(qǐng)說明理由；(2)在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以點(diǎn)A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎？請(qǐng)說明理由.AEBCDFAEBCDF(4)若點(diǎn)E、F在射線BA、射線AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，(1)小題中的結(jié)論還成立嗎?(直接寫出結(jié)論，不必說明理由)7、、我校“心動(dòng)數(shù)學(xué)”社團(tuán)活動(dòng)小組，在網(wǎng)格紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)第行列處，其中，，當(dāng)k≥2時(shí)，，[]表示非負(fù)數(shù)的整數(shù)部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵樹種植點(diǎn)所在的行數(shù)是4，則所在的列數(shù)是 （）A、401B、402C8、如圖（1），把邊長(zhǎng)為1的等邊三角形每邊三等分，經(jīng)其向外長(zhǎng)出一個(gè)邊長(zhǎng)為原來的三分之一的小等邊三角形得到圖（2），稱為一次“生長(zhǎng)”。在得到的多邊形上類似“生長(zhǎng)”，一共生長(zhǎng)n次，得到的多邊形周長(zhǎng)是．第第18題圖……（1）（2）（3）9、探究應(yīng)用：如圖（5），CB⊥AB，垂足為A，DA⊥AB，垂足為B．E為AB的中點(diǎn)，AB=BC，CE⊥BD．圖（5）C圖（5）CABDE（2）小明認(rèn)為AC是線段DE的垂直平分線，你認(rèn)為對(duì)嗎？說說你的理由。（3）∠DBC與∠DCB相等嗎？試說明理由．10、P點(diǎn)是ABC和外角ACE的角平分線的交點(diǎn)，;如圖3，若P點(diǎn)是外角CBF和BCE的角平分線的交點(diǎn).分別指出每個(gè)圖中∠BPC和∠A的關(guān)系,并選擇其中一個(gè)加以證明.11．(本題8分)如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．(1)過點(diǎn)A任意一條直線(不與BC相交)，并作BD⊥，CE⊥，垂足分別為D、E．度量BD、CE、DE，你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系?試對(duì)這種關(guān)系說明理由；(2)過點(diǎn)A任意作一條直線(與BC相交)，并作BD⊥，CE⊥，垂足分別為D、E．度量BD、CE、DE，你發(fā)現(xiàn)經(jīng)們之間有什么關(guān)系?試對(duì)這種關(guān)系說明理由．12、（8分）操作與探究如圖，已知△ABC，（1）畫出∠B、∠C的平分線，交于點(diǎn)O；（2）過點(diǎn)O畫EF∥BC，交AB于點(diǎn)E，AC于點(diǎn)F；（3）寫出可用圖中字母表示的相等的角，并說明理由；（4）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠A，∠BOC的度數(shù)；又若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠A，∠BOC的度數(shù)；（5）根據(jù)（4）的解答，請(qǐng)你猜出∠BOC與∠A度數(shù)的大小關(guān)系這個(gè)結(jié)論對(duì)任意一個(gè)三角形都成立嗎？為什么？13．(本題10分)AEB圖1DCGFABDAEB圖1DCGFABDCGFE圖2（1）如圖1，連結(jié)DF、BF，說明：DF＝BF；（2）若將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連結(jié)DG，在旋轉(zhuǎn)的過程中，你能否找到一條長(zhǎng)度與線段DG的長(zhǎng)始終相等的線段？并以圖2為例說明理由。初一下冊(cè)數(shù)學(xué)綜合題教學(xué)案（二）答案1、因?yàn)?分之x=4分之y=5分之z，則令X=3a,Y=4a,Z=5a。因?yàn)?x-5y+2z=10，代入得出a=5,于是X=15,Y=20,Z=25。2X-5y+z=2*15-4*20+25=-452、解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；從圖中可以得知，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變小；

故答案為：25°；小．

（2）當(dāng)△ABD≌△DCE時(shí)．DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴當(dāng)DC等于2時(shí)，△ABD≌△DCE；

（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此時(shí)不符合；

②當(dāng)DA=DE時(shí)，即∠DAE=∠DEA=EQ\F(1,2)（180°-40°）=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，

∴∠BAD=100°-70°=30°；∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；

③當(dāng)EA=ED時(shí)，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；

∴當(dāng)∠ADB=110°或80°時(shí)，△ADE是等腰三角形．3、分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；

（3）根據(jù)（1）的關(guān)系式求出∠OCB-∠OAD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理可得解；

（4）根據(jù)“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，根據(jù)角平分線的定義可得∠DAM-∠PCM=EQ\F(1,2)（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得證．解答：解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C，∵∠AOD=∠BOC（對(duì)頂角相等），

∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交點(diǎn)有點(diǎn)M、O、N，以M為交點(diǎn)有1個(gè)，為△AMD與△CMP，

以O(shè)為交點(diǎn)有4個(gè)，為△AOD與△COB，△AOM與△CON，△AOM與△COB，△CON與△AOD，以N為交點(diǎn)有1個(gè)，為△ANP與△CNB，

所以，“8字形”圖形共有6個(gè)；

（3）∵∠D=40°，∠B=36°，∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，∴∠OCB-∠OAD=4°，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，

∴∠DAM=EQ\F(1,2)∠OAD，∠PCM=EQ\F(1,2)∠OCB，又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=EQ\F(1,2)（∠OAD-∠OCB）+∠D=EQ\F(1,2)×（-4°）+40°=38°；

（4）根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P，

∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠DAM=EQ\F(1,2)∠OAD，∠PCM=EQ\F(1,2)∠OCB，∴EQ\F(1,2)（∠D-∠B）=∠D-∠P，整理得，2∠P=∠B+∠D4、略5、分析：（1）利用正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，AB=CB，由AE⊥直線l，CF⊥直線l，可得到∠AEB=∠CFB=90°，

再由∠CBF+∠ABE=90°和∠FCB+∠CBF=90°，利用同角的余角相等可證明∠ABE=∠BCF，這樣可以證明△AEB≌△BFC，即可得出答案；

（2）先證明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，即可以得出EF=AE-CF．解答：證明：（1）∵AE⊥直線l，CF⊥直線l，∴∠AEB=∠CFB=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CB，

∴∠CBF+∠ABE=90°，∵∠FCB+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△AEB和△BFC中，AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，

∴△AEB≌△BFC，∴AE=BF，BE=CF，∴EF=AE+CF，

（2）易證，△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∴EF+BE=BF，即EF+CF=AE，整理得EF=AE-CF．6、分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B、∠CAF都是60°，可證得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度數(shù)是定值，不會(huì)改變．

（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面積相等，因此四邊形AECF的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC的面積，因此當(dāng)E、F分別在線段AB、AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AECF的面積不變．

（3）同（1）可證得△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；連接EF，由（1）（3）的全等三角形，易知CE=CF，且∠ECF=60°，因此△ECF是等邊三角形，那么∠EFC=60°，然后根據(jù)平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理，證得∠AFE=∠FCD，進(jìn)而可求得∠ACE相等的角是：∠ACE=∠AFE=∠FCD．

（4）由于當(dāng)E、F分別在BA、AD延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的結(jié)論是成立的．解答：解：（1）∵E、F的速度相同，且同時(shí)運(yùn)動(dòng)，∴BE=AF，又∵BC=AC，∠B=∠CAF=60°，在△BCE和△ACF中，BE=AF∠B=∠CAF=60°BC=AC∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，所以∠ECF=∠BCA=60°．（2分）

（2）答：沒有變化．證明：由（1）知：△BCE、△ACF的面積相等；

故：S四邊形AECF=S△AFC+S△AEC=S△AEC+S△BEC=S△ABC；（2分）

因此四邊形AECF的面積沒有變化．

（3）答：∠AFE=∠FCD=∠ACE；證明：由（1）可得：∠EAC=∠FDC=60°，AE=FD，AC=CD，∴△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；

由（1）知：EC=FC，∠ECF=60°，∴△ECF是等邊三角形，即∠EFC=60°；∴∠FCD+∠DFC=120°，又∵∠AFE+∠DFC=120°，

∴∠AFE=∠FCD=∠ACE．

（4）回答（1）中結(jié)論成立．由于當(dāng)E、F分別在BA、AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的全等三角形仍然成立，故（1）的結(jié)論也成立．7、分析：解決本題應(yīng)先求出一部分Pk的值，然后從中找出規(guī)律．解答：解：當(dāng)k=1時(shí)，P1=（1，1）；

當(dāng)2≤k≤5時(shí)，P2，P3，P4，P5的坐標(biāo)分別為（2，1）、（3，1）、（4，1）、（5，1）；

當(dāng)k=6時(shí)，P6=（1，2）；

當(dāng)7≤k≤10時(shí)，P7，P8，P9，P10的坐標(biāo)分別為（2，2）、（3，2）、（4，2）、（5，2）；

當(dāng)k=11時(shí)，P11=（1，3）；

當(dāng)12≤k≤15時(shí)，P12，P13，P14，P15的坐標(biāo)分別為（2，3）、（3，3）、（4，3）、（5，3）…

通過以上數(shù)據(jù)可以得出：當(dāng)k=1+5x時(shí)，Pk的坐標(biāo)為（1，x+1），而后面四個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為x+1，橫坐標(biāo)則分別為2，3，4，5．因?yàn)?009=1+5×401+3，所以P2009的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為402．故本題選B．8、分析：此題注意結(jié)合圖形計(jì)算幾個(gè)具體數(shù)值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行推廣．解答：解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)是3，經(jīng)過第一次生長(zhǎng)的圖形的周長(zhǎng)是3+3×EQ\F(1,3)=3×EQ\F(4,3)．經(jīng)過第二次生長(zhǎng)的圖形的周長(zhǎng)是3×EQ\F(4,3)+3×4×EQ\F(1,3)×EQ\F(1,3)=3×(EQ\F(4,3))2．4n3n-1以此類推，則經(jīng)過第n次生長(zhǎng)的第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)是3×(EQ\F(4,3))n=9、探究應(yīng)用：

（1）說明：因?yàn)镃B⊥AB，∴∠CBA=90°．∴∠1+∠2=90°．∵DA⊥AB，∴∠DAB=90°．∴∠ADB+∠1=90°．∴∠ADB=∠2．

在△ADB和△BEC中∠ADB=∠2AB=BC∠DAB=∠EBC=90°∴△DAB≌△EBC（ASA）．∴DA=BE．

（2）∵E是AB中點(diǎn)，∴AE=BE．∵AD=BE，∴AE=AD．在△ABC中，因?yàn)锳B=BC，∴∠BAC=∠BCA．

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∴∠BAC=∠DAC．在△ADC和△AEC中，AD=AE∠DAC=∠EACAC=AC∴△ADC≌△AEC（SAS）．∴DC=CE．∴C在線段DE的垂直平分線上．∵AD=AE，∴A在線段DE的垂直平分線上．∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是線段DE的垂直平分線，∴CD=CE．∵△ADB≌△BEC，∴DB=CE．∴CD=BD．∴∠DBC=∠DCB．10、解：（1）對(duì)于圖1：∠P=90°+EQ\F(1,2)∠A；對(duì)于圖2：∠P=EQ\F(1,2)∠A；對(duì)于圖3：∠P=90°-EQ\F(1,2)∠A；

（2）證明：如圖2，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=EQ\F(1,2)∠ABC，∠ACP=EQ\F(1,2)∠ACE．又∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠A+∠ABC．∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，∴∠P=180°-EQ\F(1,2)∠ABC-∠ACB-∠ACP=180°-EQ\F(1,2)∠ABC-∠ACB-EQ\F(1,2)∠ACE

=180°-EQ\F(1,2)(∠ABC+∠A+∠ABC)-∠ACB=180°-∠ABC-EQ\F(1,2)∠A-∠ACB=180°-（∠ABC+∠ACB）-EQ\F(1,2)∠A=180°-（180°-∠A）-EQ\F(1,2)∠A=∠A---EQ\F(1,2)∠A=EQ\F(1,2)∠A．11、解：（1）BD+CE=DE；∵Rt△ABC中，AB=AC，∴∠DAB+∠EAC=90°又∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，且AB=AC，∴△ADB≌△CEA

∴DB=AE，DA=CE，∵DE=AD+AE，∴DB+CE=DE；

（2）如圖①，DE=BD-CE；

同理可證△BDA≌△AEC，則BD=AE，AD=CE，∵AD+DE=AE，∴BD=AE=DE+AD=DE+CE，

即BD-CE=DE．如圖②，DE=CE-BD12、分析：（1）-（3）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)找出相等的角；（4）根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理可以求得∠A，∠BOC的度數(shù)．（5）由第四問可知∠BOC=90°+EQ\F(1,2