9.1不等式教案

9.1.1：不等式及其解集

一：知識點講解

知識點一：不等式

>不等式：用符號“>“（“》“）或（"w”）表示大小關系的式子叫做不等

式，用“W”表示不等關系的式子也是不等式。

>列不等式：審清題意，弄清關鍵字詞的含義，找出已知量和未知量以及它們之間存在

的關系，然后用不等式將不等關系表示出來。

>常見的不等號有：“>"、"N"、"V”、"W”和“W”五種。

>常見的關鍵詞及對應的不等符號：

小于或等于大于或等于

不大于不小于

不超過用連接不低于用“2”連接

不高于不少于

最多至少

>常見的符號表示：

令a是正數表示為a>0；a是負數表示為a<0；

令a是非負數表示為a》0；a是非正數表示為aWO；

令a、b同號表示為ab>0；a、b異號表示為ab<0；

例1：在下列各式中：①一3x〉O；②4x+3y>0；③x=4；@a~+ab+b2；@x+y=1；

⑥-1>2；@m-3<n+2,是不等式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

知識點二：不等式的解與解集

>不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。不等式的解是一個具

體的值。

>不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

不等式的解集是一個集合，一個范圍，包含不等式的每一個解。

>解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式。

>一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解。

>判斷一個數值是不是不等式的解，只需用這個數代替不等式中的未知數，看不等式是

否成立。若不等式成立，則該數值是不等式的一個解；若不成立，則該數值就不是不

等式的解。

>不等式的解集同時滿足：

令解集中的每個數值都能使得不等式成立；

令能夠使得不等式成立的所有數值都在這個解集中。

例2：判斷下列說法是否正確，并說明理由。

1）x=3是不等式3x29的解集；

2）不等式3x29的解是x=3；

3）x=3是不等式3x29的一個解；

4）XN3是不等式3x29的解；

5）不等式3x29的解集是x?3。

知識點三：不等式解集的表示方法

>簡單不等式表示法：一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，它的解集是某個

范圍，一般用很簡單的不等式x>a或x2?；騲<a或xWa的形式表示出來。

>數軸表示法：

I1!1Ia?消I?'"》1.,.,[r

a0a0a0a0

x>ax<axWa

令實心圓點表示可取到等號；

令空心圓圈表示不包括該點，不能取等號。

>用數軸表示不等式的解集時要“兩定”：一是定邊界點（注意是實心還是空心），而

是定方向。

>若不等式的解集為％?a,則x有最小值，無最大值；若不等式的解集為xW",則x

有最大值，無最小值；而對于x>a和x<a,x既無最大值，也無最小值。

例3：回答以下問題：

1）在數軸上表示出下列不等式的解集：①x〉-3；②xW-3；③x<-3；?x>-3；

2）寫出如圖所示的各數軸表示的不等式的解集。

?■■.，,????

?,-1QT23、-2?-lr012

①②

二：知識點復習

知識點一：不等式

1.有下列式子：①一1<0；②2x-3y>l；③④y=x+l；⑤x/0；⑥x?+l。

其中是不等式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.某種品牌的八寶粥，外包裝標明：凈含量為300±10g,表明了這罐八寶粥的凈含量x

（單位：g）的范圍是（）

A.320<x<340B,320<x<340

C.320<x<340D,320<x<340

3.用不等號“>”、“<”、“2”或“W”填空：?2+110o

4.用適當的不等式表示下列關系：

1）a的3倍與b的g的和不大于3；

2）X2的非負數；

3）x的相反數與1的差不小于2；

4）x與17的和比x的5倍小。

知識點二：不等式的解與解集

5.下列個數：-2、-1.5、-1、0、1.5、2,其中，是不等式x+3〉2的解的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

6.下列說法中，錯誤的是（）

A.不等式5的整數解有無數多個

B.不等式X〉-5的負數解有有限個

C.不等式x+4〉0的解集是x〉—4

D.x=—40是不等式2x<—8的一個解

知識點三：不等式解集的表示方法

7.在數軸上表示不等式x>3的解集，下列正確的是（)

B.

03

D.

-300

8.一個不等式的解集如圖所示，則這個不等式的正整數解是

1

3」豆?■4―---

?2-101234,

三：題型分析

題型一：列不等式

例1:用不等式表示下列語句中的數量關系:

1）X與1的和是正數；

2）y的2倍與1的和大于3；

3）鉛球的質量仍比籃球的質量也2大;

4）小敏的體重是akg,小蘭的體重是人kg,她們的體重之和不超過100kg。

題型二：寫出表示在數軸上的不等式的解集

例2：寫出如圖所表示的各不等式的解集。

-2-1012：-3-2-1012

(3)(4)

9.1.2：不等式的性質

一：知識點講解

知識點一：不等式的性質

>不等式的性質1：

令文字語言：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

令符號語言：如果a>6,那么。土c〉Z?±c。

>不等式的性質2：

令文字語言：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

/7b

令符號語言：如果。>b、c>0,那么加（或一〉一）。

cc

>不等式的性質3：

令文字語言：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

Hh

令符號語言：如果a>8、c<0,那么ac<6c（或2<上）。

CC

>不等式還具有傳遞性：若a>b、b>c,則a>c。

>應用不等式的性質時，要注意“兩邊”是指不等號的兩邊，還要注意“同一個”的要

求，對于不等式的性質2和性質3,必須注意“正數”、“負數”的條件，再判斷不等

號方向改變與否。

例1：填空

（］）若a）人，貝!Ja+3b+3,根據,

不等式兩邊,不等號方向o

（2）若a<6,則巴根據,

77

不等式兩邊，不等號方向o

（3）若—2?！祇,則。0,根據，

3

不等式兩邊,不等號方向o

知識點二：用不等式的性質解簡單的不等式

>用不等式性質解不等式就是利用不等式的性質1、2、3對不等式兩邊進行變形，使其

逐步化為x>a（x>a）,或x<a（xW。）（a為常數）的形式，據此我們可在數

軸上表示出不等式的解集。

例2：利用不等式的性質，把下列不等式化成“x>a(%>?)”或"x<a(x<?)

的形式，并將解集在數軸上表示出來：

1)x-1<-2

2)-2x<6

二：知識點復習

知識點一：不等式的性質

1.如果下列各式中不一定正確的是()

11ab

A.a-l<b-lB.—3ct>—3bC.-<-D.—<—

ab44

2.若3%>—3y,則下列不等式中一定成立的是()

A.x+y>0B.x-y>0C.x+y<0D.x-y<0

3.若mV〃，比較下列各式的大小:

1)m-3〃—3；-5m-5〃；

mn

2)3-m2-幾;

33

3-2m3-2n

3)0m—n；o

44

知識點二：用不等式的性質解簡單的不等式

4.不等式l+x<0的解集在數軸上表示正確的是()

5.寫出下列不等式的變形是根據不等式的哪一條性質：

4)由一x>-3,得x>—6：

2

5)由3+%?5,得

6)由-2%<6,得x>—3：o

7)由3xN2x—4,得x2_4：o

6.若a<3,則不等式(a—3)x<2+。的解集為

7.利用不等式的性質求下列不等式的解集，并在數軸上表示出來。

8)x—3<2

、11

9)——x>—

42

10)5x>3x-2

易錯點：在應用不等式的性質3時，沒改變不等號的方向

例4：將不等式一3x-2>5轉化為x>a或x<a的形式。

四：習題

(一)：選擇題

1.某校男子100m跑的紀錄是12s,在今年的校田徑運動會上，小剛的100m跑成績是/s,

打破了該項紀錄，則下列不等式正確的是()

A.t>12B.t<12C,t>12D.t<12

2.已知實數a、b,滿足a+l>人+1,則下列選項可能錯誤的是()

A.a>bB.a+2〉6+2

C.一a<—bD.2a>3b

3.下歹!j數學表達式中：@—8<0；②4a+36>°；③a=3；@a+2>b+3,不等式有

)

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.在數軸上表示不等式x<l的解集，正確的是（）

C.-1--------1----------4--------1------

-1012

5.不等式無W-1在數軸上表示正確的是（

6.下列說法中，正確的是（）

A.若a豐b,則。2W/

B.若a>|小則a>b

C,若同=忖，則a=b

D,若|a|>\t\,則a>6

7,下列數值中不是不等式5x22無+9的解的是（)

A.5B.4C.3D.2

（二）：填空題

8.用不等式表示x與5的差不大于x的2倍：=

9.關于x的不等式的解集在數軸上表示如圖所示，則該不等式的解集為o

—1--，4—-1"""23~5

2

10.10.若關于X的不等式（1—。）無>2可化為X〉——，則a的取值范圍

1—Q

是。

11.數軸上實數b的對應點