基礎課39空間直線、平面的垂直考點考向課標要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)掌握2023年新高考Ⅱ卷T2023年全國甲卷（理）T2023年全國甲卷（文）T2023年全國乙卷（理）T2023年全國乙卷（理）T2023年北京卷T2023年北京卷T2023年天津卷T★★★直觀想象邏輯推理平面與平面垂直的判定與性質(zhì)掌握2023年全國甲卷（理）T2023年全國甲卷（文）T2023年全國乙卷（理）T2023年全國乙卷（理）T★★★直觀想象邏輯推理命題分析預測從近幾年高考的情況來看，本基礎課是高考命題的熱點，主要考查直線與平面以及平面與平面垂直的判定定理，題型有選擇題、解答題，在解答題中常在第（1）問中出現(xiàn)，試題難度適中.在2025屆的高考備考中，要特別注意應用判定定理與性質(zhì)定理時條件的完整性一、直線與平面垂直1.直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的①任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.2.判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的②兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直l?性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線③平行a二、直線和平面所成的角1.定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫作這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是02.取值范圍：④[0，π三、二面角1.定義：從一條直線出發(fā)的⑤兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.2.二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；3.二面角的平面角α的取值范圍：0°四、平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是⑦直二面角，就說這兩個平面互相垂直.2.判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的⑧垂線，那么這兩個平面垂直l性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的⑨交線，那么這條直線與另一個平面垂直α1.四個重要結(jié)論（1）若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.（2）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）.（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行.（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.2.三種垂直關系的轉(zhuǎn)化題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”，錯的打“×”）（1）已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則（2）直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(（3）設m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，若m//n，m⊥α，則（4）若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直于另一個平面.(×)（5）若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(2.（易錯題）已知m,n為直線，α為平面，且m?α，則“n⊥m”是“【易錯點】忽視直線與平面的特殊位置關系而致誤.[解析]當直線m,n都在平面α內(nèi)時，不能由n⊥m推出n⊥α；若n⊥α，由線面垂直的性質(zhì)知題組2走進教材3.（人教A版必修②P158·例8改編）如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD⊥圓柱的底面，則下列結(jié)論正確的是(BA.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥[解析]因為AB是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥因為AC∩AD=A，AC?平面ACD所以BC⊥平面ACD因為BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故選4.（人教A版必修②P148·T3改編）在長方體ABCD?A′B′C′D′中，AB[解析]如圖，連接CD′易知CD′=BA′則∠ACD′是直線BA′連接AD′，在△ACD′中，AC設AC的中點為O，連接D′O，則D′題組3走向高考5.[2023·全國甲卷改編]在三棱錐P?ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC[解析]連接PE,CE，如圖，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA∴PE⊥AB,CE⊥AB，又PE?平面PEC,∴AB⊥平面PEC，又PE=CE=2×32考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)［師生共研］典例1[2023·北京卷節(jié)選]如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC[解析]因為PA⊥平面ABC,BC?平面所以PA⊥BC，同理PA⊥所以PB=PA2+所以PB2+BC又因為BC⊥PA，PA∩PB=證明線面垂直的四種方法[2023·新高考Ⅱ卷節(jié)選]如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，[解析]連接AE,DE（圖略），因為E為BC的中點，DB=所以DE⊥因為DA=DB=DC，所以AC=AB，從而由①②，AE∩DE=E，AE?平面ADE得BC⊥平面ADE，又AD?平面ADE，所以考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)［師生共研］典例2[2023·全國甲卷]如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1（1）證明：平面ACC1A（2）設AB=A1B,[解析]（1）因為A1C⊥平面ABC，BC所以A1又因為∠ACB=90A1C?平面ACC1A1所以BC⊥平面AC又因為BC?平面BB1C1（2）如圖，過點A1作A1O因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1所以A1O⊥所以四棱錐A1?B因為A1C⊥平面ABC，AC?平面ABC,所以A1C⊥又因為A1B=所以△ABC≌△A設A1C=所以O為CC1的中點，又因為A1C⊥即x2+x所以A1所以四棱錐A1平面與平面垂直的證明方法定義法利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角定理法利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，進而把問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直【注意】在已知面面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后轉(zhuǎn)化為面面垂直.[2023·全國甲卷節(jié)選]如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，[解析]如圖，∵A1C⊥平面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C∴BC⊥平面ACC1A∴平面ACC1A過點A1作A1O⊥CC1于點O，又平面ACC1A1∵點A1到平面BCC1在Rt△A1CC1設CO=x，則∵△A1OC,△A1OC1,△A∴1+x2+∴A考點三平行、垂直關系的綜合應用［師生共研］典例3[2024·重慶?？糫如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PAB為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD,（1）求證：BP//平面ACM（2）在棱CD上是否存在點G，使得平面GAM⊥平面ABCD？若存在，請求出CG[解析]（1）如圖1，連接BD交AC于點O.連接MO，因為四邊形ABCD是菱形，所以O為BD的中點.又因為M為PD的中點，所以MO//又因為BP?平面ACM,MO?平面ACM，所以BP//（2）因為△PAB為正三角形，E是AB的中點，所以PE又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PE⊥平面ABCD如圖2，連接DE，取DE的中點K，連接MK，則MK是△PDE的中位線，所以MK//PE，所以MK連接AK，并延長交CD于點G，連接AG,又MK?平面AMG，所以平面AMG⊥平面因為AE//GD，所以∠KAE又因為EK=KD，所以△AEK故棱CD上存在點G，使得平面GAM⊥平面ABCD，CG平行、垂直關系的綜合應用的兩點注意1.在求解垂直與平行的綜合問題時，應注意平行、垂直性質(zhì)及判定的綜合應用；2.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.[2024·贛州模擬]如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是矩形，側(cè)面BB1C（1）求證：AF//平面A[解析]如圖，取A1C1的中點M，連接AM,EM因為AA1//BB1且AA因為D為AB的中點，所以AD//A1因為M，E分別為A1C1，B1C1的中點，所以EM//A1B1因為AM?平面A1DE，DE?平面A1因為M，F(xiàn)分別為A1C1，C因為FM?平面A1DE，A1E?平面因為AM∩FM=M，AM?平面AFM，F(xiàn)M?平面因為AF?平面AFM，所以AF//平面（2）在棱BB1上是否存在一點G，使平面ACG⊥平面B[解析]當G為BB1的中點時，平面ACG⊥平面B因為四邊形AA1C1C為矩形，所以AC因為四邊形BB1C因為∠B1BC因為G為BB1的中點，所以因為AC∩CG=C，AC?平面ACG，CG?平面因為BB1?平面BB1因此，當G為BB1的中點時，平面ACG⊥三余弦定理和三正弦定理1.三余弦定理：如圖1，設A為平面α上一點，過點A的斜線AV在平面α上的射影為AO，AB為平面α上的一條直線，則cosθ【說明】線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線的所成角的最小值，即線面角是線線角的最小值.2.三正弦定理：如圖2，設二面角m?AB?n的大小為α，在平面m上有一條射線AC，它和棱AB所成角為β，和平面n所成角為【說明】二面角是半平面內(nèi)的一條直線與另一半平面所成線面角的最大值，即二面角是線面角的最大值.典例1如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=π2，PA是與平面ABC相交的斜線，∠PAB=∠[解析]依題意，斜線PA在平面ABC上的射影必在∠BAC的平分線上，設點P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接AO，并延長與BC交于點D，如圖，設∠PAO=θ，則θ為斜線PA與平面ABC所成角，所以由三余弦定理可得典例2在三棱錐P?ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=4，AB⊥BC[解析]因為AB⊥BC，AB=BC=22，所以AC=4，所以∠CPA=60°深度訓練1已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB的兩邊AC，BC的距離均為3A.2 B.1 C.