年陜西省西安交大附中少年班自主招生數學試卷1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，則＝．2．已知，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，則AB＝．3．陽光與水平面成60°角，皮球在陽光下的影長為，則這個皮球的直徑為cm．4．如圖，△ABC，△DEF是等邊三角形，邊長分別為3、2，求△CDF的內切圓的半徑．5．如圖所示，每個方格均為正方形，線段AB與CD交于點P，求sin∠BPD的值．6．如圖，正三角形的邊長為1，點C與原點重合，現將正三角形向右翻轉2023次，求點B在數軸上對應的數字．7．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是多少？8．已知，一次函數y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P為y2上一動點，求P到y1的距離的最小值．9．已知整數x，y滿足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．10．已知，求的值．11．如圖，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形JHMI，正方形KLCM，問：知道哪個正方形的面積可以得到兩個陰影部分的周長之差．12．已知任意一個大于1的正整數m的三次冪均可以分裂成m個連續奇數的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+?，按照此規律，若m3分裂后，有一個奇數是2023，求m的值．13．已知a，b，c，d，e五個數的平均數為m，方差為g，求3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n的平均數和方差．14．平面直角坐標系中，已知直線AB：，過A作AC垂直于AB，并使AC＝AB，求直線BC的解析式．15．球隊兩兩比賽，主場客場各一場，共42場，問有多少支隊伍？16．在平面直角坐標系中，對于平面內任一點（a，b），若規定以下兩種變換：①f（a，b）＝（b，a），如：f（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）；那么f（g（5，﹣6））＝．17．我們用min表示兩個數中的較小數，如min{5，3}＝3，求min（﹣x2﹣x，2x）的最大值．18．已知關于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解為an，bn，求++…+的值．19．假設隊伍中共有2人現列隊需要，每10人中走出一個人，當x除以10的余數大于5時，則在余下的人中再走出一人，則共走出多少人（）A． B． C． D．20．如圖，C為半圓上一點，AB為直徑，沿BC翻折與AB交于點D，沿BD翻折交BC于E，若E為BC中點，求的值．

2024年陜西省西安交大附中少年班自主招生數學試卷參考答案與試題解析1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，則＝0．【分析】根據a+b+c+d＝0和分類討論的方法，可以求得所求式子的值．【解答】解：∵a+b+c+d＝0，∴b+c+d＝﹣a，a+c+d＝﹣b，a+b+d＝﹣c，a+b+c＝﹣d，∴＝+++＝﹣（），∵abcd＞0，∴要么都是正數，要么兩負兩正，∵a+b+c+d＝0，∴a、b、c、d中兩正兩負，不妨設a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，﹣（）＝﹣（1+1﹣1﹣1）＝﹣0＝0，故答案為：0．【點評】本題考查分式的化簡求值、絕對值，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論的方法解答．2．已知，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°，則AB＝2．【分析】延長AF、EC交于點G，過點A作AH⊥BG于點H，根據平行四邊形的性質利用AAS證明△ADF≌△GFC，根據全等三角形的性質求出AG＝6＝AE，進而推出△AEG是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出BC＝CG＝4，BG＝8，再根據勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，延長AF、EC交于點G，過點A作AH⊥BG于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，∵F分別是CD的中點，∴DF＝CF，∴△ADF≌△GFC（AAS），∴AF＝FG＝3，∴AG＝6＝AE，又∠EAG＝60°，∴△AEG是等邊三角形，∴AG＝EG＝6，∵E是BC的中點，∴BE＝EC，設BE＝EC＝x，則AD＝2x，∴CG＝2x，∴EG＝3x＝6，∴x＝2，∴BG＝8，在Rt△AGH中，∠G＝60°，AG＝6，∴AH＝AG?sin60°＝6×＝3，HG＝AG＝3，∴BH＝BG﹣BH＝5，∴AB＝＝＝2，故答案為：2．【點評】此題考查了平行四邊形的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．3．陽光與水平面成60°角，皮球在陽光下的影長為，則這個皮球的直徑為15cm．【分析】證明△AOC為直角三角形，得到AD＝OD?tan60°＝r，同理可得：CD＝r，即可求解．【解答】解：如圖，求的圓心為點O，AC為影長，陽光m和陽光n與AC的交點分別為點A、C，m、n和圓相切于點B、F，連接EF并延長交AC于點E，則m∥n，則∠BAC＝60°＝∠FCE，則∠OAC＝∠∠BAC＝30°，同理可得：∠OCD＝60°，則△AOC為直角三角形，設圓的半徑為r，則AD＝OD?tan60°＝r，同理可得：CD＝r，由AC＝AD+CD得：，∴，則直徑為15cm．故答案為：15．【點評】本題考查的是圓的性質，涉及到解直角三角形、涉及到平行線的性質、切線的性質等知識，有一定的綜合性，難度適中．4．如圖，△ABC，△DEF是等邊三角形，邊長分別為3、2，求△CDF的內切圓的半徑．【分析】根據條件證出三個小三角形全等，根據等邊三角形的邊長求出兩個等邊三角形的面積，進而求出每個小三角形的面積，設△CDF的內切圓的半徑為r，根據三角形面積公式解答即可．【解答】解：∵∠EFC是△AEF的外角，∴∠EFD+∠DFC＝∠A+∠AEF，又∵△ABC，△DEF是等邊三角形，∴∠EFD＝∠A＝60°，EF＝DF，∴∠DFC＝∠AEF，∴△AEF≌CFD，同理可得△AEF≌△BDE（AAS），∴AF＝DC，∴CD+CF＝AF+CF＝3，∴△CDF的周長為5，設△CDF的內切圓的半徑為r，∴△CDF的面積為r（DF+DC+CF）＝（S△ABC﹣S△DEF）＝（×32﹣）＝，即，解得：r＝．【點評】本題主要考查了三角形的內切圓和內心，等邊三角形的性質，熟練掌握相關內容是解答本題的關鍵．5．如圖所示，每個方格均為正方形，線段AB與CD交于點P，求sin∠BPD的值．【分析】如圖，作AM∥CD，連接BM，則△ABM為直角三角形，∠BPD＝∠A，即可求解．【解答】解：如圖，作AM∥CD，連接BM，則△ABM為直角三角形，∠BPD＝∠A，則sin∠BPD＝sinA＝＝＝．【點評】本題考查解直角三角形，涉及到平行線的性質、勾股定理、直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．6．如圖，正三角形的邊長為1，點C與原點重合，現將正三角形向右翻轉2023次，求點B在數軸上對應的數字．【分析】由題意得，正三角形向右翻轉的一個周期為3，且翻轉一次后B落在1處，由此規律進行解答即可．【解答】解：由題意得，翻轉1次，B落在1，翻轉2次，A落在2，翻轉3次，C落在3，周期為3，∵2023÷3＝674……1，且翻轉一次后B落在1處，∴正三角形向右翻轉2023次，此時B落在數軸上，則其對應的數字為1+674×3＝2023．【點評】本題考查的是數軸，解題的關鍵是找出正三角形翻轉的規律．7．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是多少？【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風車的一個輪子，進一步求得四個．【解答】解：依題意，設“數學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2＝122+52＝169所以x＝13所以“數學風車”的周長是：（13+6）×4＝76．【點評】本題是勾股定理在實際情況中應用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．8．已知，一次函數y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P為y2上一動點，求P到y1的距離的最小值．【分析】過點P作PH⊥y1垂足為H，作PQ∥y軸，交y1于點Q．設P（t，﹣t2+2t），則Q（t，t+4），PQ＝t+4﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t+4，根據等腰直角三角形邊的關系列出PH＝PQ＝（t2﹣t+4）＝（t﹣）2+即可得到最小值．【解答】解：如圖，過點P作PH⊥y1垂足為H，作PQ∥y軸，交y1于點Q．設P（t，﹣t2+2t），則Q（t，t+4），PQ＝t+4﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t+4，∵一次函數y1＝x+4，∴∠PQH＝45°，∴PH＝PQ＝（t2﹣t+4）＝（t﹣）2+．當t＝1時，PH有最小值，最小值為．【點評】本題考查了二次函數的最值，列出PH的函數關系式是解答本題的關鍵．9．已知整數x，y滿足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．【分析】先將xy＝22﹣3x+y因式分解為（x﹣1）（y+3）＝19，x，y是整數，可得四種結果，分別求解計算，即可得出答案．【解答】解：∵xy＝22﹣3x+y，∴x（y+3）﹣y＝22，∴x（y+3）﹣（y+3）+3＝22，∴（x﹣1）（y+3）＝19，∵x，y是整數，∴或或或，解得：或或或，則xy＝32或xy＝0或xy＝﹣40或xy＝72，故當時，xy＝（﹣18）×（﹣4）＝72，此時xy的值最大，為72．【點評】本題考查的是因式分解的應用，解題的關鍵是正確將原式進行因式分解．10．已知，求的值．【分析】將已知條件化為x﹣y＝﹣xy，把變形為，然后整體代入求值即可．【解答】解：由可得y﹣x＝xy，即x﹣y＝﹣xy，∴原式＝＝＝＝＝．【點評】本題考查了分式的加減以及分式的值，得出x﹣y＝﹣xy是解題的關鍵．11．如圖，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形JHMI，正方形KLCM，問：知道哪個正方形的面積可以得到兩個陰影部分的周長之差．【分析】先設FG與JI的交點為X，EG與JH的交點為Y，則設GX＝x，JY＝y，正方形AEGF的邊長為a，正方形JHMI的邊長為b，正方形KLCM的邊長為c，可以表示出所有的邊長，然后可以表示出六邊形EYHKLD的周長和四邊形FBIX的周長，接著可以求出六邊形EYHKLD的周長﹣四邊形FBIX的周長的值，即可得出結果．【解答】解：設FG與JI的交點為X，EG與JH的交點為Y，則設GX＝x，JX＝y，正方形AEGF的邊長為a，正方形JHMI的邊長為b，正方形KLCM的邊長為c，∴FX＝a﹣x，XI＝b﹣y，ED＝b+c﹣x，EY＝a﹣y，YH＝b﹣x，HK＝b﹣c，KL＝c，DL＝a+b﹣y﹣c，∴四邊形FBIX的周長＝EB+BI+IX+FX＝b﹣y+a﹣x+b﹣y+a﹣x＝2a+2b﹣2x﹣2y，∴六邊形EYHKLD的周長＝EY+YH+HK+KL+DL+ED＝a﹣y+b﹣x+b﹣c+c+a+b﹣c﹣y+b+c﹣x＝2a+4b﹣2y﹣2x，∴六邊形EYHKLD的周長﹣四邊形FBIX的周長＝2a+4b﹣2y﹣2x﹣（2a+2b﹣2x﹣2y）＝2b，∴只要知道正方形JHMI的邊長b，就可以求出兩個陰影部分的周長之差，∴只要知道正方形JHMI的面積可以得到兩個陰影部分的周長之差．【點評】本題考查的是列代數式，解題的關鍵是設未知數表示出各邊的邊長．12．已知任意一個大于1的正整數m的三次冪均可以分裂成m個連續奇數的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+?，按照此規律，若m3分裂后，有一個奇數是2023，求m的值．【分析】觀察可知，分裂成的奇數的個數與底數相同，然后求出到m3的所有奇數的個數的表達式，再求出奇數2023的是從3開始的第1011個數，然后確定出1011所在的范圍即可得解．【解答】解：∵底數是2的分裂成2個奇數，底數為3的分裂成3個奇數，底數為4的分裂成4個奇數，∴m3分裂成m個奇數，∴從23到m3的奇數的個數為2+3+4+?+m＝，∵2n+1＝2023，∴n＝1011，∴奇數2023是從3開始的第1011個奇數，∵＝989，＝1034，∴第1011個奇數是底數為45的數的立方分裂的奇數的其中一個，即m＝45．【點評】本題考查了有數的乘方及有理數的加法，觀察出分裂的奇數的個數與底數相同是解題的關鍵，還要熟練掌握求和公式．13．已知a，b，c，d，e五個數的平均數為m，方差為g，求3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n的平均數和方差．【分析】根據平均數，方差的公式進行計算．【解答】解：依題意，＝（a+b+c+d+e）＝m，∴a+b+c+d+e＝5m，∴3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n的平均數為[（3a+n）+（3b+n）+（3c+n）+（3d+n）+（3e+n）]＝×（3×5m+5n）＝3m+n，∵數據a，b，c，d，e方差為g，S2＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝g，∴數據3a+n，3b+n，3c+n，3d+n，3e+n方差S′2＝[（3a+n﹣3m﹣n）2+（3b+n﹣3m﹣n）2+（3c+n﹣3m﹣n）2+（3d+n﹣3m﹣n）2+（3e+n﹣3m﹣n）2]＝[32（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝9g．【點評】本題考查了平均數、方差的計算．關鍵是熟悉計算公式，會將所求式子變形，再整體代入．14．平面直角坐標系中，已知直線AB：，過A作AC垂直于AB，并使AC＝AB，求直線BC的解析式．【分析】作CD⊥x軸于D，通過證得△OAB≌△DCA（AAS），求得C點的坐標，然后利用待定系數法確定直線BC的解析式．【解答】解：作CD⊥x軸于D，∵直線AB：，∴A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB+∠CAD＝90°，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CAD＝∠OBA，在△OAB與△DCA中，，∴△OAB≌△DCA（AAS），∴AD＝OB＝3，CD＝OA＝4，∴OD＝4﹣3＝1，∴C（1，﹣4），設直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（0，3）、C（1，﹣4）代入得，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣7x+3．【點評】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，三角形全等的判定和性質，求得點C的坐標是解題的關鍵．15．球隊兩兩比賽，主場客場各一場，共42場，問有多少支隊伍？【分析】設球隊共有x支，則每支球隊都要與余下的（x﹣1）支球隊進行比賽，又每兩支球隊都要在自己的主場和客場踢一場，即每兩支球隊相互之間都要比賽兩場，故這x支球隊一共需要比賽x（x﹣1）場，而這個場次又是42場，據此列出方程．【解答】解：設有x支隊伍，根據題意得：x（x﹣1）＝42，解得：x＝7；答：有7支隊伍．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是抓住“每兩支球隊都要在自己的主場和客場踢一場”列等量關系．16．在平面直角坐標系中，對于平面內任一點（a，b），若規定以下兩種變換：①f（a，b）＝（b，a），如：f（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）；那么f（g（5，﹣6））＝（6，5）．【分析】根據題中給出的兩種變換解答即可．【解答】解：∵f（a，b）＝（b，a），g（a，b）＝（a，﹣b），∴f（g（5，﹣6））＝f（5，6）＝（6，5）．故答案為：（6，5）．【點評】本題考查的是點的坐標，根據題意弄清兩種變換方法是解題的關鍵．17．我們用min表示兩個數中的較小數，如min{5，3}＝3，求min（﹣x2﹣x，2x）的最大值．【分析】根據二次函數圖象與一次函數圖象，根據min的定義解答即可．【解答】解：令﹣x2﹣x＝2x，解得x1＝﹣3，x2＝0，畫出函數y＝﹣x2﹣x，函數y＝2x的圖象如圖：由圖象得，當x＝0時，min（﹣x2﹣x，2x）的最大值為0．【點評】本題主要考查了一次函數、二次函數的圖象與性質，讀懂題目信息并理解“min”的意義是解題的關鍵．18．已知關于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解為an，bn，求++…+的值．【分析】先根據根與系數的