模型介紹模型介紹背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.模型建立：當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示：易證：△BOP∽△POA，，∴對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P都有.對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈恢眠x取A、B點(diǎn)，則需R【技巧總結(jié)】計(jì)算的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點(diǎn)P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB②計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比③在OB上取一點(diǎn)C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值例題精講例題精講【例1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，則AP+BP的最小值為________.解：如圖1，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+PD最小，即：AP+BP最小值為AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值為變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，P為⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PD+PC的最小值等于5．解：如圖，在BC上截取BE＝1，連接BP，PE，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)P，點(diǎn)E三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值為DE＝＝5故答案為：5【變式1-2】．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．解：如圖，在AB上截取AQ＝1，連接AP，PQ，CQ，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案為：．【變式1-3】．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心作半徑為4的圓交x軸正半軸于點(diǎn)A，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)．則PM+PN的最小值是5．解：如圖，作MB⊥ON于B，則BM＝3，OB＝6，取OA的中點(diǎn)I，連接OP，PI，IM，∴OI＝2，OP＝4，∴＝＝，＝＝，∴，又∠POI是公共角，∴△POI∽△NOP，∴，∴PI＝PN，∴PM+PN＝PM+PI≥IM，∴當(dāng)M、P（圖中Q點(diǎn)）、I在一條直線上時(shí)，PM+PI最小＝MI＝＝＝5，故答案是5．【例2】．如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點(diǎn)C在OA上，且OC＝2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為．解：延長(zhǎng)OB到T，使得BT＝OB，連接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD?OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值為4，∴答案為4．變式訓(xùn)練【變式2-1】．⊙O半徑為2，AB，DE為兩條直線．作DC⊥AB于C，且C為AO中點(diǎn)，P為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求2PC+PE的最小值．解：延長(zhǎng)OA到K，使AK＝AO＝2．∵C是AO的中點(diǎn)，∴OC＝OA＝1，∴＝．又∵∠COP＝∠POK，∴△COP∽△POK，∴，即PK＝2PC．∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．作EH⊥BC于點(diǎn)H．∵在直角△COD中，cos∠DOC＝，∴∠DOC＝60°，∴∠EOH＝∠DOC＝60°，∴HE＝OE?sin60°＝2×，∴EK＝．即最小值是2．故答案是：2．【變式2-2】．如圖，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，點(diǎn)A在OD上，AD＝1，點(diǎn)B為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+2EB的最小值是2．解：如圖，延長(zhǎng)OC至F，使得CF＝OC＝3．連接EF，OE，∵∠EOB為公共角∴△OBE∽△OEF∴∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF即A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值即由勾股定理得AF＝＝故答案為【變式2-3】．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PC的最小值為3．解：如圖，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，取OD的中點(diǎn)F，作OE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，∴＝＝，∵∠FOP＝∠POC，∴△OPF∽△OCP，∴CP＝2PF，∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF），∵PB+PF≥BF，∴PB+PF的最小值為BF，∵BC＝6，∠OCE＝30°，∴CE＝3，OE＝，OC＝2，∴CF＝，∴GF＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG＝，由勾股定理得，BF＝，∴2PB+PC的最小值為2BF＝3．故答案為：3．1．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為2．解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時(shí)，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．2．如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點(diǎn)，D是OB上一點(diǎn)，OD＝5，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為．解：如圖，延長(zhǎng)OA使AE＝OB，連接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分別是OA的中點(diǎn)，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值為13，∴PC+PD的值最小值為．故答案為：．3．如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC＝1，BD＝2，P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為．解：∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC＝90°，∴OC＝＝，取OC的中點(diǎn)I，連接PI，DI，∵，，∴，又∠O是公共角，∴△POI∽△COP，∴＝＝，∴PI＝PC，∴PC+PD＝PI+PD，∴當(dāng)D、P、I在一條直線上時(shí)，PC+PD最小＝DI，作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，∵BE＝IF＝AC＝，∴DE＝BD﹣BE＝，IE＝BF＝OB+OF＝，∴DI＝＝，∴PC+PD最小＝DI＝．故答案是：．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O(shè)為圓心，4為半徑作圓O，交兩邊于點(diǎn)C，D，P為劣弧CD上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB最小值為2．解：如圖，連接OP，取OC的中點(diǎn)E，∵，∠POE＝∠AOP，∴△POE∽△AOP，∴＝，∴PA+PB＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴當(dāng)B、P、E共線時(shí)，PE+PB最小，∵OE＝OC＝2，OB＝10，∴BE＝＝＝2，∴PA+PB的最小值是2．

5．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為AB上一點(diǎn)，且BM＝2，N為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)B關(guān)于MN對(duì)稱，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為6．解：∵B、P關(guān)于MN對(duì)稱，BM＝2，∴PM＝2，如圖所示，則點(diǎn)P在以M為圓心，BM為半徑的圓上，在線段MA上取一個(gè)點(diǎn)E，使得ME＝1，又∵M(jìn)A＝6﹣2＝4，MP＝2，∴，，∴，又∵∠EMP＝∠PMA，∴△EMP∽△PMA，∴，∴，∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)P、C、E三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值2CE，∵CE＝，∴PA+2PC的最小值為6．6．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，A為圓心，AB為半徑的圓交AD于點(diǎn)E．點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，則PM+DP的最小值為．解：取AE的中點(diǎn)K，連接PK，KM，作KH⊥BC于H，則四邊形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，∴PA2＝AK?AD，∴＝，∵∠KAP＝∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴＝＝，∴PK＝PD，∴PM+PD＝PM+PK，∵PM+PK≥KM，KM＝＝，∴PM+PK≥，∴PM+DP的最小值為，故答案為．7．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D為AC的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑作OA交AB于點(diǎn)E，P為劣弧DE上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，則PC+PB的最小值為．解：在AB上取F，使AF＝，連接CF與⊙A的交點(diǎn)即是滿足條件的點(diǎn)P，連接AP，如圖：∵AD＝AC＝2，∴AP＝AD＝2，∵AB＝3，AF＝，∴AP2＝AF?AB，∵∠PAB＝∠FAP，∴△PAB∽△FAP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PC+PB＝PC+PF＝CF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)PC+PB＝CF最小，∴PC+PB最小值為CF＝＝＝，故答案為：．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是4．解：如圖，取一點(diǎn)T（1，0），連接OP，PT，TD，∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，以O(shè)為圓心OA為半徑作⊙O，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接QB，QA，∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，∴∠Q+∠APB＝180°，∴A、P、B、Q四點(diǎn)共圓，∴OP＝OA＝2，∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，∴OP2＝OC?OT，∴，∵∠POT＝∠POC，∴△POT∽△POC，∴，∴PT＝，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，∴2PD+PC，∴2PD+PC的最小值是4．故答案為：4．9．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半徑為1，M為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+BM的最小值．解：如圖，連接OM，在OB上取點(diǎn)C，使OC＝，連接MC，AC，∵OB＝2，⊙O的半徑為1，∴，∵∠MOC＝∠COM，∴△OMC∽△OBM，∴，∴MC＝，∴AM+BM＝AM+MC，∴AM+BM的最小值即為AM+MC的最小值，∴A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，AM+MC最小，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝．∴AM+BM的最小值為．10．問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝12，⊙C半徑為6，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝3，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為3．（2）自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB＝3，AP+PC的最小值為5．（3）拓展延伸：如圖4，扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．解：（1）解：（1）如圖1，連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥CB于點(diǎn)F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，∴CF＝6，AF＝6，∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值為3；（2）如圖，在AB上截取BF＝1，連接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值為5；（3）如圖，延長(zhǎng)OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點(diǎn)F作FM⊥OD于點(diǎn)M，∵OC＝4，F(xiàn)C＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴，∴PF＝2AP，∴2PA+PB＝PF+PB，∴當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)P，點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，F(xiàn)M⊥OM，∴OM＝4，F(xiàn)M＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝，∴2PA+PB的最小值為．11．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD+PC的最小值為，PD﹣PC的最大值為．（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．解：（1）如圖1，在BC上截取BE＝，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴DE＝＝＝，∴PD+PC的最小值為：，此時(shí)點(diǎn)P在P′處，PD﹣PC的最大值為：，此時(shí)點(diǎn)P在P″處，故答案為：，；（2）如圖2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，∴CF＝4?cos60°＝2，DF＝4?sin60°＝2，在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，∴DE＝＝，∴PD+PC的最小值為：，此時(shí)點(diǎn)P在P′處PD﹣PC的最大值為：，此時(shí)點(diǎn)P在P″處

12．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m，0），D（0，n），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時(shí)CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）：解：在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務(wù)：（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AD+BD的最小值．解（1）在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，當(dāng)PC+kPD取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C，P，M三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一點(diǎn)M，使得CM＝CD＝，∴的最小值為．13．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+的最小值為，PD﹣的最大值為．（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+的最小值為，PD﹣的最大值為．解：（1）如圖1中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+PC的值最小，最小值為DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD﹣PC的值最大（如圖2中），最大值為DG＝5．

（2）如圖3中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+PC的值最小，最小值為DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD﹣PC的值最大，最大值為DG＝．故答案為，（3）如圖4中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PD+PC的值最小，最小值為DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD﹣PC的值最大（如圖2中），最大值為DG＝．故答案為，．14．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y＝﹣x﹣6交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM它的最小值．解：（1）∵點(diǎn)A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+4；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n過點(diǎn)A，B，∴，∴，∴直線AB的解析式為y＝2x+4，設(shè)E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如圖1，由（2）知，直線AB的解析式為y＝2x+4，∴設(shè)E（a，2a+4），∵直線AC：y＝﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），設(shè)H（0，p），∵以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，∵直線AB的解析式為y＝2x+4，直線AC：y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF為對(duì)角線，∴EF與AH互相平分，∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如圖2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，設(shè)AE交⊙E于G，取EG的中點(diǎn)P，∴PE＝，連接PC交⊙E于M，連接EM，∴EM＝EH＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM＝AM，∴AM+CM的最小值＝PC，設(shè)點(diǎn)P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，∵PE＝，∴5（p+2）2＝，∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∵C（0