7.2.2

復數的乘、除運算課標定位素養闡釋1.掌握復數代數表示式的乘除運算.2.了解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.3.培養邏輯推理素養,加強數學運算素養.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、復數的乘法法則及其運算律【問題思考】1.設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),類比兩個多項式相乘,應如何規定兩復數相乘?提示:兩個復數相乘,類似于兩個多項式相乘,只要在所得的結果中把i2換成-1,并且把實部與虛部分別合并即可.即z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.復數的乘法滿足交換律和結合律嗎?提示:滿足.3.填空:(1)復數的乘法法則:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數,那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)復數乘法滿足的運算律:對于任意z1,z2,z3∈C,有4.做一做:若復數z1=1+i,z2=3-i,則z1·z2=(

)++i++4i解析:z1·z2=(1+i)(3-i)=3+3i-i-i2=4+2i.答案:A二、復數的除法法則【問題思考】3.填空:復數除法的法則是:答案:-I三、實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式【問題思考】1.一元二次方程x2+1=0在實數范圍內有解嗎?引入虛數單位i后,方程的解是什么?提示:沒有.x=±i.2.你能用虛數單位i表示方程(x+1)2=-1的解嗎?提示:能.x=-1±i.3.填空:在復數范圍內,實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為:4.做一做:在復數范圍內,方程4x2+9=0的根為

.

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

復數代數表示式的乘法運算【例1】

(1)i(2+3i)=(

)A.3-2i B.3+2i

C.-3-2i D.-3+2i(2)已知i是虛數單位,若復數(1+ai)(2+i)是純虛數,則實數a等于(

)解析:(1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故選D.(2)(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i,要使復數為純虛數,有2-a=0,1+2a≠0,解得a=2.答案:(1)D

(2)A

(3)3-I1.兩個復數代數表示式乘法運算的一般方法:先按多項式的乘法展開;再將i2換成-1;最后進行復數的加、減運算,化簡為復數的代數形式.2.常用公式:(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);(3)(1±i)2=±2i.【變式訓練1】

(1)復數(1+i)2(2+3i)的值為(

)A.6-4i B.-6-4iC.6+4i D.-6+4i(2)在復平面內,復數(1+bi)(2+i)(i是虛數單位,b是實數)表示的點在第四象限,則b的取值范圍是(

)解析:(1)(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.(2)因為(1+bi)(2+i)=(2-b)+(1+2b)i,且在復平面內復數(1+bi)(2+i)(i是虛數單位,b是實數)對應的點在第四象限,答案:(1)D

(2)A探究二

復數代數表示式的除法運算【例2】

(1)若復數z滿足z(2-i)=11+7i(i是虛數單位),則z為(

)A.3+5i B.3-5iC.-3+5i D.-3-5i答案:(1)A

(2)A1.兩個復數代數表示式的除法運算步驟:(1)將除式寫為分式;(2)將分子、分母同乘分母的共軛復數;(3)將分子、分母分別進行乘法運算,并將其化為復數的代數形式.2.常用公式:答案:(1)C

(2)A探究三

在復數范圍內解方程【例3】

在復數范圍內解下列方程:(1)2x2+3=0;(2)x2+3x+4=0;(3)2x2+3x+c=0(c∈R).【變式訓練3】

在復數范圍內解下列方程:(1)x2-x+2=0;(2)x2+bx+1=0(b∈R).易

錯

辨

析記錯in(n∈N*)的值而致誤

以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案:I1.在進行復數的乘除法運算時,靈活運用i的性質,并注意一些重要結論的靈活運用.2.注意虛數單位i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N*).【變式訓練】

i為虛數單位,i2020的共軛復數為(

)A.i B.-i D.-1解析