安徽省蕪湖市普通高中高三一診考試新高考數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，則（）A． B． C． D．2．某醫院擬派2名內科醫生、3名外科醫生和3名護士共8人組成兩個醫療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內科醫生、外科醫生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種3．對于函數，若滿足，則稱為函數的一對“線性對稱點”．若實數與和與為函數的兩對“線性對稱點”，則的最大值為（）A． B． C． D．4．已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知數列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．7．已知實數，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．88．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．9．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．10．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．11．計算等于()A． B． C． D．12．已知角的終邊與單位圓交于點，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數,其中是虛數單位．若的實部與虛部相等,則實數的值為__________．14．已知的展開式中第項與第項的二項式系數相等，則__________.15．已知函數，在區間上隨機取一個數，則使得≥0的概率為．16．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數是自然對數的底數.（1）若，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.18．（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，，，M是橢圓E上的一個動點，且的面積的最大值為.（1）求橢圓E的標準方程，（2）若，，四邊形ABCD內接于橢圓E，，記直線AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.19．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發費用（百萬元）和產品銷量（萬臺）的具體數據：月份56789101112研發費用（百萬元）2361021131518產品銷量（萬臺）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據數據可知與之間存在線性相關關系，求出與的線性回歸方程（系數精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎勵制度：以（單位：萬臺）表示日銷售，當時，不設獎；當時，每位員工每日獎勵200元；當時，每位員工每日獎勵300元；當時，每位員工每日獎勵400元.現已知該公司某月份日銷售（萬臺）服從正態分布（其中是2018年5-12月產品銷售平均數的二十分之一），請你估計每位員工該月（按30天計算）獲得獎勵金額總數大約多少元.參考數據：，，，，參考公式：相關系數，其回歸直線中的，若隨機變量服從正態分布，則，.20．（12分）已知函數.（1）當時，判斷在上的單調性并加以證明；（2）若，，求的取值范圍.21．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．22．（10分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線與橢圓相交于、兩點，與圓相交于、兩點，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

解對數不等式求得集合，由此求得兩個集合的交集.【詳解】由，解得，故.依題意，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查對數不等式的解法，考查集合交集的概念和運算，屬于基礎題.2、B【解析】

根據條件2名內科醫生，每個村一名，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，根據排列組合進行計算即可．【詳解】2名內科醫生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【點睛】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.3、D【解析】

根據已知有，可得，只需求出的最小值，根據，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結論.【詳解】依題意知，與為函數的“線性對稱點”，所以，故（當且僅當時取等號）.又與為函數的“線性對稱點，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景，考查指數函數的運算和圖像性質、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達式是解題的關鍵，屬于中檔題.4、C【解析】

由，化簡得到的值，根據余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.5、B【解析】

先解不等式化簡兩個條件，利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得，解絕對值不等式可得，由于為的子集，據此可知“”是“”的必要不充分條件．故選：B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學生數學運算，邏輯推理能力，屬于基礎題.6、B【解析】

觀察已知條件，對進行化簡，運用累加法和裂項法求出結果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時相加得，又因為，所以.故選：【點睛】本題考查了求數列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握數列中的方法，并能熟練運用對應方法求解.7、D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.8、B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當，即時，.故選：B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數的最值，涉及到二倍角公式的應用，是一道中檔題.9、A【解析】

設圓的標準方程，利用待定系數法一一求出，從而求出圓的方程.【詳解】設圓的標準方程為，由題意得圓心為，的中點，根據中點坐標公式可得，，又，所以圓的標準方程為：，化簡整理得，所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數法求圓的方程，解題的關鍵是假設圓的標準方程，建立方程組，屬于基礎題.10、C【解析】

設，根據題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設，，是單位向量，,，，聯立方程解得：或當時，；當時，；綜上所述：.故選：C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意的兩種情況.11、A【解析】

利用誘導公式、特殊角的三角函數值，結合對數運算，求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查對數運算，屬于基礎題.12、B【解析】

先由三角函數的定義求出，再由二倍角公式可求.【詳解】解：角的終邊與單位圓交于點，，故選：B【點睛】考查三角函數的定義和二倍角公式，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接由復數代數形式的乘法運算化簡,結合已知條件即可求出實數的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【點睛】本題考查復數的乘法運算和復數的概念,屬于基礎題.14、【解析】

根據的展開式中第項與第項的二項式系數相等，得到，再利用組合數公式求解.【詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【點睛】本題主要考查二項式的系數，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.15、【解析】試題分析：可以得出，所以在區間上使的范圍為，所以使得≥0的概率為考點：本小題主要考查與長度有關的幾何概型的概率計算.點評：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.16、【解析】

根據雙曲線方程，設及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結合平面向量數量積的坐標運算化簡，即可求得的值，進而求得離心率即可.【詳解】設點，，則，即，∵，，，當時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應用，由平面向量數量積的最值求離心率，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）減區間是，增區間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當時，求得函數的導函數以及二階導函數，由此求得的單調區間.（2）令求得，構造函數，利用導數求得的單調區間、極值和最值，結合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當時，遞減，當時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當時，所以當時，有一個極值點，當時，有兩個極值點，當時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設，得，因為在遞減，且，所以又所以【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間，考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，求出，即可得答案；（2）根據題意可知，，因為，所以可設直線CD的方程為，將直線代入曲線的方程，利用韋達定理得到的關系，再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值.所以，所以，，故橢圓E的標準方程為.（2）根據題意可知，，因為，所以可設直線CD的方程為.由，消去y可得，所以，即.直線AD的斜率，直線BC的斜率，所以，故為定值.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解、橢圓中的定值問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標法的運用.19、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計算x、y的平均值,進而由公式求出回歸系數b和a,即可寫出回歸直線方程;（Ⅱ）由題意計算平均數μ，得出z~N(μ,)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計算獎金總數是多少.【詳解】（Ⅰ）因為，，因為，所以，所以；（Ⅱ）因為，所以，故即，日銷量的概率為，日銷量的概率為，日銷量的概率為，所以獎金總數大約為：（元）.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態分布計算概率，進而估計總體情況，屬于中檔題.20、（1）在為增函數；證明見解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數；（2）令，則，由此利用分類討論思想和導數性質求出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，.記，則，當時，，.所以，所以在單調遞增，所以.因為，所以，所以在為增函數.（2）由題意，得，記，則，令，則，當時，，，所以，所以在為增函數，即在單調遞增，所以.①當，，恒成立，所以為增函數，即在單調遞增，又，所以，所以在為增函數，所以所以滿足題意.②當，，令，，因為，所以，故在單調遞增，故，即.故，又在單調遞增，由零點存在性定理知，存在唯一實數，，當時，，單調遞減，即單調遞減，所以，此時在為減函數，所以，不合題意，應舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導數的綜合應用，利用導數研究函數的單調性、最值和零點及不等式恒成立等問題，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數與方程思想，考查了學生的邏輯推理和運算求解能力，屬于難題.21、(1);(2).【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．進而得到角A；（2）結合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯立兩式得到．解析：（I）因為，所以，由正弦定理，得．又因為，，所以．又因為，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因為，解得.因為