2024屆高考數學數列進階訓練

—（1）數列的概念與表示方法

1.有下列說法：

①數列1,3,5,7可表示為｛135,7｝；

②數列1,3,5,7與數列7,5,3,1是同一數列；

③數列1,3,5,7與數列1,3,5,7,…是同一數列;

④1,1,1,…不能構成一個數列.

其中說法正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

2.下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是（）

A.-1,-2,-3,-49...B.-1,——,——9~~9...

C.-1,-2,-4,-8,...D.l,V2，5/3,V?,y/10

3.已知數列后，2,2亞,4,則16后是這個數列的（）

A.第8項B.第9項C.第10項D.第11項

4已知｛%｝是等比數列,則“生＜見”是“｛叫是遞增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.有窮數列1,21*3,42，，23…，2加+6的項數是（）

A.3〃+7B.3〃+6C.n+2D.n+3

6.已知數列｛%｝是公差不為0的等差數列，其前〃項和為S“，若%+%+與=0,則

11

A.3B.-C.-3D.—

33

7.若數列｛%｝滿足。“+「a“=lg1+J,且％=1,則數列｛%｝的第100項為（）.

A.2B,3C.l+lg99D.2+lg99

8.已知數列2,2,2,…的通項公式為%=竺*,則。/％的值為（）

4cn

9.《周髀算經》是中國古代重要的數學著作，其記載的“日月歷法”曰：“陰陽之數，日

月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十

歲，…，生數皆終，萬物復蘇，天以更遠作紀歷”，某老年公寓住有20位老人，他們

的年齡（都為正整數）之和恰好為一遂，其中年長者已是奔百之齡（年齡介于

90-100）,其余19人的年齡依次相差一歲，則年齡最小者的年齡為（）

A.65B.66C.67D.68

10.（多選）下列選項中，能滿足數列1,0,1,0,1,0…的通項公式有（）

.1+（一1嚴?.2"兀

A.an=---B.an=sin—

2mt是奇數

C"=cos——D.a-

2n0,〃是偶數

11.（多選）下面關于公比為q的等比數列｛?！保臄⑹霾徽_的是（）

A.q>1n{??}為遞增數列

B.｛%｝為遞增數列

C.0<q<lo｛。,｝為遞減數列

D.q>1今｛。“｝為遞增數列且｛?！埃秊檫f增數列書4>1

12.（多選）已知數列｛0,｝中，％=1,a2=l,%=%,則下列說法正

確的是（）

A.a3+a6=a4+a5B.a—+%+?=3%

.4]II?|。2021^^2022D.a?+++,,,+。2020—。2021

13.在數列｛%｝中，冊=產苒,則數列｛。,｝中的最小項是第項.

14.已知數列｛為｝的通項公式為%=〃2f〃（XeR）,且｛%｝為嚴格單調遞增數列，則實數

久的取值范圍是.

（3-a）x-3,x<7,,、,.

15.設函數/Xx）=.67數列｛%｝滿足%=/（"），”€*,且數列｛%｝是遞增數

列，則實數。的取值范圍是.

16.在數列｛%｝中，若%+（-1）%“=2〃-1,則數列｛為｝的前12項和等于.

17.已知數列｛%｝滿足％=33,a-a=In,則｛%｝的通項公式為，色■的最

n+lnn

小值為

答案以及解析

1.答案：A

解析：①說法錯誤，構成數列的數是有順序的，而集合中的元素是無序的；②說法錯

誤，兩數列的數排列順序不相同，不是相同的數列；③說法錯誤，數列1,3,5,7是

有窮數列，而數列1,3,5,7,…是無窮數列；④說法錯誤，由數列的定義，可知

1,1,1,…能構成一個常數列.

2.答案：B

解析：對于A,數列-1,-2,-3,-4,…是遞減數列，故A不符合題意；對于B,數

列-1,-3，＜-g,…是遞增數列，也是無窮數列，故B符合題意；對于C,數

列一1,-2,-4,-8,…是遞減數列，故C不符合題意；對于D,此數列不是無窮數列，

故D不符合題意.故選B.

3.答案：B

解析：將數列改寫為3，（亞匕（應兒（血）3…，由此可歸納該數列的通項公式為

（行）”eN*）.又160=（0）9,所以16后是這個數列的第9項.故選B.

4.答案：B

解析：假設等比數列｛%｝的首項％=-2,公比q=-2,則%=4嗎=16,

出＜&，但數列｛風｝不是遞增數列，

若數列｛與｝是遞增數列，由定義可知，出＜%，

故“%＜@”是“｛a?｝是遞增數列”的必要不充分條件.

5.答案：D

解析：由有窮數列1,2326,23…,2』可得指數為0,3,6,9,3〃+6,

構成首項為0,公差為3的等差數列，設3〃+6為此數列的第左項，則

3"+6=0+（左-1）x3,解得左=〃+3.故選D.

6.答案：D

解析：解法一：設數列｛%｝的公差為小則%+%+今=%+%+6d+7%=0,即

a5_ax+4dd1

ax--3d,所以一§.故選D.

S66q+15d

7(q+%)

解法二：設數列｛%｝的公差為d,則-2一_0，即

4]十]7十=Q]十-----------......-U

生_%+4d_d_d_1

%+%=0,所以q=-3d,所以Sf6(4]+4)3(4+%-")~~3d3.故選D.

2

7.答案：B

解析：因為%+1-%=lgfl+-Klg-^=lg(M+l)-lgn,

nJn

所以為00-%9=lgl°0-lg99,

a3-a2=lg3-lg2,

a2_%=lg2-lgl,

以上99個式子累加得《。。-q=IglOO,所以％°。=lgl00+l=3.

故選B.

8.答案：C

a+b

=?J

7fZ?—3Q2_1_a

解析：將為=2,%=?代入通項公式，得/卜7解得一'則里,=「，所以

44a+b_1[c=2〃，2n

、2c/

1914133

〃4?=---X----=------.

458520

9.答案:B

解析：設年齡最小者的年齡為〃，年齡最大者的年齡為〃?(加?[90,100]),所以

"+(〃+1)+…+("+18)+〃?=1520,所以19"+〃?=1349,所以冽=1349-19力，所以

14S

90<1349-19?<100,所以65而令《66歷，因為年齡為正整數，所以〃=66,故選B.

10.答案：ABD

解析：可以驗證A,B,D均可以是該數列的通項公式；對于C,%=cos2]=0,不符

合，故C錯誤.故選ABD.

11.答案：ABC

解析：若％=-2應=2>1,則｛叫的各項為-2,-4,-8,…，是遞減數列，A不正確；若等比

數列｛%｝的各項為-16,-8,-4,-2,…，是遞增數列，則”;<1,B不正確，D正確；若

%=-!6,q=ge(O,l),則何｝的各項為T6,-8,-4,…，顯然是遞增數列，C不正確.

12.答案:BC

解析：對于選項A,由%=1,%=1，%+a“-2(”N3,〃eN")可得的=2,%=3,

%=5,4=8,則％+&#%+%，選項A錯誤；

對于選項B,an_2+an+2=an_2+an+l+an=an_2+an_x+an+an=3a",選項B正確;

對于選項c,由題可知，

a+a+aFa=a+(tz—a)+—%)HH(^2022—02020)=a2022>選項C正確;

t35202l242

對"丁1頁D,出+04+&+…+。2020=(%-%)+(%-)+(07-%)+…+(。2021-42019)=“2021-1，

選項D錯誤.故選BC.

13.答案:5

解析：因為1所以當"26時，??>0,且4>%>網>???，當

3n-163\3n-16J

“W5時，%<0,且見<。4<。3<?<%，所以當〃=5時，。,取得最小值.

14.答案：(-oo,3)

解析：由數列｛%｝是嚴格單調遞增數列，得?！?「4>0,

2

BP(M+1)2-A(z?+1)-n+An-2n+｝—A>0,即彳<2〃+1(〃eN*J恒成立，

又數列｛2"+1｝是單調遞增數列，

所以當"=1時，2〃+1取得最小值，最小值為3,所以2<3.

15.答案:(2,3)

/、f(3-a)x-3,x<7,

解析：由題意得，點(〃，。“)在分段函數〃》)=_r的圖像上，

[ax6,x>7

因此當3-a>0時，fl1<a2<a3<-??<a7；

當a>l時，a8<a9<?io<■■->為使數列｛%,｝遞增，還需。7<。8，

3—a>0,

故實數a滿足條件小>1,解得2<a<3,故實數a的取值范圍是(2,3).

/(7)</(8),

16.答案：78

解析：因為%+(-1)〃=2〃-1,

所以/—4=1,%+%=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a1+^6=11,as-a7-13,

cig+tz8—15,a]。一%=17,。]]+。]0=19,a1？一6i—21,

從第一個式子開始，相鄰的兩個式子作差得：％+%=%+%=%+%尸2.

從第二個式子開始，相鄰的兩個式子相加得：a4+a2=8,a6+a8=24,a10+a12=40,

把以上的式子依次相加可得：

S]?=q+%+…+11+42

=(〃i+。3)+(〃5+%)+(。9+&)+(〃2+〃4)+(〃6+/)+(。10+42)=2+2+2+8+24+40=78.

91

2

17.答案：an=33+H-H；—

解析：因為

—(“〃一％一1)+(%—1_%―2)---(“2_I)+q—2[(n—1)+(n-2)H----F1]+33=33+/—n(n>2),

當〃=1時，也滿足上式，所以4=33+*一〃，所以=_=史+〃一1.

nn

設〃x)=±+x_l(x>0),由對勾函數的單調性，知/(X)在(庖,+00)上單調遞增，在

X

(0,庖)上單調遞減.因為“eN*,所以2有最小值.又*T，%￡=斗，所以外的

n55662n

最小值為％斗.

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2024屆高考數學數列進階訓練

——（2）等差數列

1.已知｛4｝為等差數列，生+。9=28,則《=（）

A.14B.16C.18D.20

2.《海島算經》有如下問題：某地有一佛塔共13層，每層塔的高度依次構成等差數

列，下面7層每層塔的高度之和為25.9米，第5層塔的高度為3.6米，則最上層的塔

高為（）

A.3B.2.9C.2.8D.2.7

3.已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15,偶數項之和為30,則其公差為（）

A.5B.4C.3D.2

4.在等差數列｛%｝中，已知%=2,%+/+/=24,貝I]%+%+%等于（）

A.38B.39C.41D.42

5.已知數列｛%｝是單調遞減的等差數列，？、%分別是方程必-6x+5=0的兩根，則

。5=（）

A.7B.3C.lD.-1

6.已知在等差數列｛%｝中，出與4的等差中項為5,生與%的等差中項為7,則數列

｛%｝的通項公式為（）

A.a〃=2nB.。〃=2加一1C,an=2n+\D"=2〃一3

7.已知數列｛%｝滿足q=1,且?！?（1+?！埃?+1,”€、1,則%%++…+。2。20a2021=()

A.2021C.2LD.22021

-2s$=2,則乎的最小值為（）

8.設正項等差數列｛%｝的前n項和為S,,且滿足品+S,

A.36B.24C.16D.8

9.有兩個等差數列｛%｝,也｝,其前〃項和分別為5“和9.若方二白，則

%+4+%4+49

打+e+%+bl4（）

10.已知數列｛%｝為等差數列，首項％〉0,若4%1,則使得S.〉0的〃的最大值為

。1005

（）

A.2007B.2008C.2009D.2010

11.（多選）已知等差數列｛%｝的首項為1,公差為d（deN*）,若81是該數列中的一

項，則公差d可能的值是（）

A.2B.3C.4D.5

12.（多選）已知等比數列｛4｝的公比q=-三,等差數列出｝的首項4=12,若名〉為

且用。>如，則以下結論正確的有（）

A.a9-o10<0B.a9>al0C.bl0>0D.b9>bl0

13.（多選）若等差數列｛4｝的前〃項和為S,,且％>0,Sl0=S20,則下列結論中正確

的是（）

A.d<0B.[6<。

C.s“v幾D.當且僅當〃》32時，S/0

14.在數列｛%｝中，已知。3=2,%=1，若為等差數列，則如=.

15.記S“為等差數列｛an｝的前〃項和.若2s3=3$2+6,則公差d=.

16.直角三角形的三條邊長成公差為1的等差數列，則最短邊長為.

17.已知數列｛%｝滿足%=1,且（匕2）,則數列｛%｝的通項公式

an-?

Q1

18.已知在數列｛%｝中，4=、，%=2----（?>2,〃eN*）,數列｛4｝滿足

a

5n-\

b“=^-r

（1）求證：數列抄“｝是等差數列；

（2）求數列｛%｝中的最大項和最小項，并說明理由.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因為%+為=28,所以％=氣％=14,

故選：A.

2.答案：C

解析：設該塔每層的高度自下而上依次構成的等差數列為｛%｝,公差為d,

則$7=7"%)=7%=25.9,Aa4=3.7,:.d=a5-a4=3.6-3.7=-0.1,

?13=a4+9d=2.8,故選C.

3.答案：C

解析：由已知，S奇-S偶=54=15,故1=3.

4.答案：D

解析：設等差數列｛%｝的公差為“，由％=2,出+/+%=24,得3x2+64=24,得

d=3,%+%+4—3%+12d=42.故選D.

5.答案：D

解析：求得方程——6x+5的兩根分別為西=5,x2=l,因為數列｛%｝為遞減等差數

列，所以的=5,。4=1，易得公差為-2,則。5=%+(-2)=-1.故選D.

6.答案：D

解析：由題意，得。2+%=1。=2%，貝11。4=5,。3+%=14=2%,貝1]%=7,故公差

d=a5-a4=2,所以=%+(〃-4)Q=2n-3,

7.答案：B

解析：由%=1及%=(1+%)?！?1可知a-0,所以」一=匕"=’+1,所以數列是

a

??+i??n[anJ

首項為1=1,公差為1的等差數列，所以;=〃，即%=’,所以

an〃

,11111

4Zi6Zn++,?,+—lx1XF???H-----X----=

3u。22320202021

.11111112020―

2232020202120212021

8.答案：C

解析：由題意得S9+S3-2s6=@9-S6）-36-$3）=2,則Sg-ia-Ss，邑是以2為公差,

$3為首項的等差數列，設星=》。>0）,則$6-W=X+2,S「S6=X+4,

則應=也￡=回上魚=魚苴=宜包=x+電+[^+8=16,

a232ax+a2+a3S3xxVx

當且僅當》="，即x=4時等號成立，所以應的最小值為16,故選C.

xa2

9.答案:C

，

解析：設等差數列｛%｝,也｝的公差分別為4d2,所以

%+%+%4+。19%+%+&+%+13d]+%+18t/j

b[+b[+b[3+b]4b]+d?+4+6d2+4+12d?+&+13d2

q+84a934%17（%+。"）S173x1751,

--

1+風34/J-17（Z>1+617）T^~2X17+1"藥?故選。

10.答案：B

解析：數列｛%｝為等差數列，若況<-1,則%。。4與%。。5異號.又首項4〉0,則公差

4005

99

d<0,所以。1004>。"1005<。則%004>—。10059即。1004+。1005〉°?由幕差數列的刖〃

項和公式及等差數列的性質可得$2。。8=⑼4(*+喙)>o'

加『。9(一二迎『=2。叫。。5<0’所以使得、>°的〃的最大值為

2008.故選B.

11.答案：ACD

QQ

解析：v81=l+(n-l)d,/.(n-l)d=80,/.d=------,

n-1

???〃和d都為正整數，，〃=41時，d=2,故選項A正確；

當d=3時，〃=?,不成立，故選項B錯誤；

〃=21時，d=4,故選項C正確；

〃=17時，d=5,故選項D正確.

故選：ACD.

12.答案：AD

解析：對A,\,等比數列｛%｝的公比9=-§,，為和qo異號，故A正

確；

對B,因為不確定。9和40的正負，所以不能確定％和1