2024年北京市朝陽區高考數學一模試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知全集U={1,2,3,4}.A={XEU\X<2},，則CM=()

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.復數A在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在A4BC中,若Ca=26sin4,則NB=()

A1B公C.李吟D.3或：

A-3B.6

4.已知aeR,則“0<a<1”是“函數f(x)=（1-a）/在R上單調遞增”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知直線可y+6=0和圓/+丫2=產0>0）相交于A,B兩點.若|AB|=6,貝葉=（）

A.2B.273C.4D.3<2

6,已知等比數列{每}的前〃項和為先,且%+。2=1，a3+a4=4,則56=（）

A.9B.16C.21D.25

7.已知雙曲線C：3=1（。>0">。）的右焦點為尸，過點尸作垂直于x軸的直線/,M,N分別是/

與雙曲線C及其漸近線在第一象限內的交點.若M是線段印的中點，則C的漸近線方程為（）

A.y=+xB.y=±^-xC.y=±-xD.y=±-^x

8.在△ABC中，AB=AC=2,BC=2g點P在線段BC上.當同?麗取得最小值時，24=（）

B-?D.j

A號4

9.在棱長為1的正方體48CD—A/iGDi中，E,F,G分別為棱BC,CG

的中點，動點”在平面EPG內，且D”=1,則下列說法正確的是（）

A.存在點”，使得直線。”與直線FG相交

B.存在點H,使得直線平面E/G

C.直線名”與平面EFG所成角的大小為與

D.平面斯G被正方體所截得的截面面積為苧

10.已知〃個大于2的實數久1，%2，…，Xn，對任意/0=12…，n),存在力22滿足％</，且%F=

yf,則使得%1+&+…+%九-1工15%成立的最大正整數幾為()

A.14B.16C.21D.23

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.在(口-1)6的展開式中，1的系數為.(用數字作答)

12.已知拋物線％2=20丫(2>0)的焦點為F，準線方程為y=—l,則0=；設O為原點，點

M(&,yo)在拋物線上,若|OM|=|FM|,則y°=.

13.已知函數/(%)=｛1_若實數〃，b,c(aVb<c)滿足f(a)=/(b)=/(c),則a+

b=；a+b+c的取值范圍是.

14.已知函數/(%)=gsin2%.若曲線y=在點處的切線與其在點8(%2，/(%2))處的切線相互垂

直，則%1-冷的一個取值為.

15.設A,8為兩個非空有限集合，定義J(4B)=1-粵魯其中|S|表示集合S的元素個數.某學校甲、乙、

|/iUo|

丙、丁四名同學從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門高中學業水平等級性考試科目中自主

選擇3門參加考試，設這四名同學的選考科目組成的集合分別為S],S2,S3,S4.已知S]=｛物理，化學，

生物｝,S2=｛地理，物理，化學｝,53=｛思想政治，歷史，地理｝,給出下列四個結論：

①若/(S2，S4)=1,則54=｛思想政治，歷史，生物｝;

②若/(S1，S2)=/(S1，S4),則54=｛地理，物理，化學｝;

③若54=｛思想政治，物理,生物｝,則/(Si，S4)</&2，S4)=/(S3，S4)；

④若/(Si,S。>/(S2，S4)=/(53"4),則S4=｛思想政治，地理,化學｝.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題13分)

已知函數f(x)=Asin(3x+s)(A>0,3>0,0<9</)的最小正周期為兀.

(I)若4=1,f(0)=苧，求9的值；

(II)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定f(x)的解析式，并求函數h(x)=

f(x)—2cos2%的單調遞增區間.

條件①：/（久）的最大值為2；

條件②：f（x）的圖象關于點（震,0）中心對稱;

條件③：/⑴的圖象經過點給，、⑶.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

17.（本小題14分）

如圖，在三棱錐D—ABC中，側面DAC_L底面ABC,AD=DC,AB=BC.

（I）求證：ACLBD；

（II）已知=AC=2,AD=72,尸是線段BD上一點，當2尸18。時，求二面角F—4C—8的余

弦值.

18.（本小題13分）

為提升學生用數學知識解決現實生活或其他學科領域中的問題的能力，發展學生數學建模素養，某市面向

全市高中學生開展數學建模論文征文活動.對于參加征文活動的每篇論文，由兩位評委獨立評分，取兩位評

委評分的平均數作為該篇論文的初評得分.從評委甲和評委乙負責評審的論文中隨機抽取10篇，這10篇論

文的評分情況如下表所示.

序號評委甲評分評委乙評分初評得分

1678274.5

2808683

3617668.5

4788481

5708577.5

6818382

7848685

8687471

9667771.5

10648273

(I)從這10篇論文中隨機抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的概率；

(II)從這10篇論文中隨機抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不超過5的篇數記

為X,求X的分布列及數學期望；

(III)對于序號為i(i=1,2,…，10)的論文，設評委甲的評分為X”評委乙的評分為匕，分別記甲、乙兩位評

委對這10篇論文評分的平均數為夕，工標準差為s尹，Sz，以厘)作為序號為，的論文的標準化

zS甲S乙

得分.對這10篇論文按照初評得分與標準化得分分別從高到低進行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名

結果是否相同？(結論不要求證明)

19.(本小題15分)

已知橢圓E：盤+，=l(a>b>0)的離心率為苧，A,8分別是E的左、右頂點，P是E上異于A,8的

點，A4PB的面積的最大值為241

(1)求￡的方程；

(II)設。為原點，點N在直線x=2上，N,P分別在x軸的兩側，且AAPB與ANBP的面積相等.

①求證：直線ON與直線AP的斜率之積為定值；

(ii)是否存在點尸使得AAPB絲ANBP,若存在，求出點尸的坐標，若不存在，說明理由.

20.(本小題15分)

已知函數/(%)=(1—ax)ex(aER).

(I)討論/(%)的單調性；

(II)若關于x的不等式f(%)>a(l-%)無整數解，求a的取值范圍.

21.（本小題15分）

若有窮自然數數列A：的,。2，…，冊（幾之2）滿足如下兩個性質，則稱A為當數列：

①以之max｛cii+在_1，%+在一2,…，縱_1+。1｝（々=2,3,…，九），其中，max｛支?上，…，％｝表示％1，

牝，…，%,這S個數中最大的數；

,>>

?ak<minfa-L+ak_lfa2+afc_2/*s以_1+%｝+l（/c=2,3,…，九），其中，max（x1/x2//｝表示》「

牝，…，%,這s個數中最小的數.

（1）判斷4：2,4,6,7,10是否為反數列，說明理由；

（II）若A：的,。2，…，生是%數列，且。1，。2，。3成等比數列，求。6；

（III）證明：對任意當數列A：%,a2,…，an（n>2）,存在實數九使得以=/田a=1,2,…,九）.（印表

示不超過x的最大整數）

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因為全集U={1,2,3,4},A={xeU\x<2}={1},

則Q4={2,3,4).

故選：D.

先求出集合A,然后結合集合補集運算即可求解.

本題主要考查了集合補集運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解.上=M3F=犯!=工+乙,

UflTVI13+;(3+0(3-i)9+11010

對應點的坐標為舄高)位于第一象限，

故選：A.

根據復數的幾何意義進行化簡求解即可.

本題主要考查復數的幾何意義，根據條件進行化簡是解決本題的關鍵.

3.【答案】C

【解析】【分析】

通過正弦定理求與題設的條件求出sinB的值，進而求出B.

本題主要考查正弦定理的運用.在三角形邊、角問題中常與面積公式、余弦定理等一塊考查，應注意靈活

運用.

【解答】

解：V~3a=2bsinZ

ab

sinZ一0

???根據正弦定理輸=白

b_b

"sinB—/3

~T

73

???sinB=

?'B=

故選C.

4.【答案】A

【解析】解:若函數"%）=（1-a）/在R上單調遞增，

則1-a>0,即a<1,

因為{a[0<a<1}<{a\a<1},

所以"0<a<1”是“函數/（久）=（1一a）/在R上單調遞增”的充分不必要條件.

故選：A.

若函數f（x）=（1-。）乂3在R上單調遞增，貝打-a>0,求得a<l,再利用集合間的包含關系判斷即可.

本題主要考查了函數單調性的判斷，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：圓/+*=/T>0）的圓心為（0,0）,半徑為廠，

圓心到直線的距離d=9=3,

所以|4B|=2A/r2—d2,即6=2Vr2—9,

解得：r=3/2.

故選：D.

由圓的弦長公式建立方程，求解即可.

本題考查圓的弦長公式，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：因為等比數列{即}中，a1+a2-1,a3+a4-4,

則q2=號1=4,

所以+。6=4（。3+。4）=16,

則56—+0,2+++Qg+=1+4+16=21.

故選：C.

由己知結合等比數列的性質可求出+。6,進而可求.

本題主要考查了等比數列的性質在求和中的應用，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：由題意得，F(c,O),M(c,[),N(c,號,

因M為線段FN的中點，

故如=空,

CLCL

所以c=2b,a2=c2—b2=3b2,即a=

故雙曲線的漸近線方程為y=±3久=±?久-

故選：C.

由題意先表示FN,M,然后結合中點坐標公式可得a,b關系，結合雙曲線性質即可求解.

本題主要考查了雙曲線的性質的應用，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：因為在AABC中，AB=AC=2,BC=24，點P

在線段8C上，

所以以BC的中點。為坐標原點，BC所在直線為無軸，BC的中

垂線為y軸建立平面直角坐標系，

則8(—C,。)，C(73,0),4(0,1),

設P20)(-<3<A<73),

則刀=(-尢1),pg=(_/3-2,0).

所以P2,PB=—A(—V-3—A)+1x0=下+——>

所以當4=—苧時，PA,而取得最小值，

此時方=(苧,1)，所以|西=|1匚=3.

故選：B.

建立平面直角坐標系，設p(2,o)(-V^w2W，可)，由平面向量數量積的坐標表示可得麗?麗=(4+

亨)2_|,從而求得4=一亨，再求|兩|即可.

本題考查平面向量的數量積與模，涉及二次函數的最值，屬于中檔題.

9.【答案】C

【解析】解：連接。憶DG,所以|0F|=|DG|=字,|FG|=苧，取EG的中點M,連接。M,

所以|DM|=苧>1，點。到線段尸G的最短距離大于1,所以不存在點

H,使得直線。H與直線FG相交，

故A不正確；

以。為坐標原點，分別以ZM,DC,DA所在直線為x軸，y軸，z軸建立

空間直角坐標系，

則E(1,O,》-1，F&1,O),G(O,1,》1，￡>(0,0,0),

所以前=(―：,1,一》，EG=(-1,1,0)，屁=(l,0[),

設平面EFG的法向量為元=(x,y,z),

所以回？=0,即卜”〉-*0,

^EG-n=0I—%+y=0

令久=1,則y=l,z=1,所以祠=(1,1,1),

所以點。到平面跖G的距離為塔空=義=￥<1,而DH=1,所以不存在點X,使得直線。H1平面

\n\2V32

EFG,故8不正確；

因為西=(1,1,1),所以DBi，平面跖G,連接交EG于點。，所以。為的中點，DO=BrO=

--,

2

所以立當”。為直線當“與平面MG所成角，

因為。“=1,在RtZk。。“中，sinNDH。=岑=歲，

DH2

所以4//。=會因為R%OBi”與RM。。“全等，所以乙當”。=ADH。=(故C正確；

延長G尸交的延長線于N,連接EN交AB于尸，連接PR取的中點K,AA的中點J,連接

KG,EJ,KJ,

則KG〃EP,EJGF,KJ////PF,平面斯G被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為苧,

所以截面面積為6義段乂，義苧=孚，故。不正確.

2244

故選：C.

取FG的中點連接。可求得國叼=竿>1，可知不存在點”，使得直線。"與直線EG相交，進

而可判斷A,以。為坐標原點，分別以ZM,DC,DA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

利用空間向量知識可判斷CD,根據正方體的結構特征可判斷。.

本題主要考查了利用空間向量證明線面垂直，以及求直線與平面所成的角，考查了正方體的結構特征，屬

于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：由且%22,>2,故%In%=々In%即“也=也,

xi%

令/0）=華（久22）,，（久）=審

故當％E(2,e)時，/'(%)>0,當％W(e,+8)時,/'(%)<0,

即/(%)在(2,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，

由粵=字即/(%)=/(%)，故比i>e,2<yt<e,

又/'(2)=警=學=/⑷,故/<4,即e<Xj<4,

Z4

若尤1+x2+-+xn_j<15xn,則有15>YE…+—>生押,

xn4

即nW絲+1,由e=2.72,+1-22.06+1=23.06,

ee

故最大正整數〃為23.

故選：D.

構造函數/（乃=竽022）,結合函數單調性可得e<%W4,則有152巧+犯：+赤-1甘匕即可得

解.

本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，考查了同構的數學思想，屬于中檔題.

11.【答案】15

1cl

【解析】解：在（口―1）6的展開式的通項公式：.+1=1式松尸CR=%（-1）33一尹,

1,

令3-5r=1,解得r=4,

故尤的系數為程（一1）4=15.

故答案為：15.

根據已知條件，結合二項式定理，即可求解.

本題主要考查二項式定理，屬于基礎題.

12.【答案】22

【解析】解:因為尤2=2py（p>0）的焦點為F,

所以F（O-）,準線方程為y=-,

又準線方程為y=-1,

所以％1,

解得P=2,

所以％2=4y,

M（&,yo）在拋物線上，

所以詔=4y0,

即也心苧），

所以|。叼2=/+（務=詔+竟

根據拋物線定義可知：\FM\=d,（d為點M到準線y=-1的距離），

所以=（鳥+1）2=理+3+1,

因為|OM|=\FM\,

所以￡=1,

解得以=2,

所以=守=宏

1

故答案為：2；2-

利用拋物線方程結合準線方程即可求得p的值，再利用拋物線的定義即可求得y0.

本題考查拋物線定義的應用，屬于中檔題.

13.【答案】2[6,7)

【解析】解：畫出f(x)的圖象，如圖所示：

令5—x=1,得x=4,

所以4<c<5,

所以6Wa+b+c<7,

即a+6+c的取值范圍是[6,7).

故答案為：2；[6,7).

畫出f(x)的圖象，數形結合求解即可.

本題主要考查了分段函數的應用，考查了數形結合的數學思想，屬于中檔題.

14.【答案】-其答案不唯一)

【解析】解：f(x)=|sin2x.

則f'(x)=cos2x,

曲線y=/(久)在點aOi.fOi))處的切線的斜率的=C0S2%!，

曲線y=/(X)在點8(刀2，/(%2))處的切線上2=cos2x2,

由題意可知，ki-k2=—1,

貝！|cos2X1?COS2X2=—1>

不妨取X1=0,x2=I，滿足上式，

故修-久2的一個取值為-I(答案不唯一).

故答案為：-p答案不唯一).

根據已知條件，結合導數的幾何意義，以及直線垂直的性質，即可求解.

本題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程，屬于基礎題.

15.【答案】①③

【解析】解：對于①：/(52，54)=1—曾黜=1,

l^2U54l

所以|S2cs41=0,所以s2ns4=0,

又52=｛地理，物理，化學｝,所以54=｛思想政治，歷史，生物｝,①正確；

對于②：m1應)=雁1國)，即螺喘4=3=今

|31*21P1U34I4，

所以2|S1ns/=島USJ所以|S1US4I必為偶數，又3W區US4IW6,

當|S1US4|=6時,|S1CSU=[0[=0,不符合2|S1CSj=|S1USJ

所以|S1US4I=4且電nsq=2,此時S4情況較多，比如54=｛物理，地理，生物｝,②錯誤；

對于③：若54=｛思想政治，物理，生物｝,貝U(S1,S4)=1-^=1，J(S2,S4)=1-^=1，J(S3,S4)=1-

1_4

5=5f

所以/(SLSD<J(S2fS4)=J(S3fS4)f③正確；

對于④：當$4=｛物理，地理，歷史｝時，

142121

/⑸國)=1十強廢2島)=1-2,嶼島)=l-^=p

滿足J(S1，S4)>/(S2,S4)=/(S3,S4),但不是S4=｛思想政治，地理，化學｝,④錯誤.

故答案為：①③.

對于①③：直接根據定義計算即可；對于②：通過定義計算得到IS1US4I必為偶數，討論|S1US41=6和

IS1US4I=4兩種情況下的求解即可；對于④：通過舉例54=｛物理，地理，歷史｝來說明.

本題屬于新定義試題，考查對于新定義的理解以及運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：由題意得，6J=-=2,

71

故/(%)=i4sin(2x+cp),

(1)若4=1,則f(x)=sin(2x+<jp)>f(0)=sin?=苧,

因為0<0<》

所以0=%

(II)因為f(%)=i4sin(2x+cp),

若選①②，由①得，/(%)=2sin(2x+0),

q7r

由②得2X適+0=/CTT,fcGZ,

因為0<(pW，

所以以0屋，/(%)=2sin(2x4-^),

h(x)=/(%)—2cos2x=V_3sin2x—cos2x=2sin(2x—*),

令一［+2/CTT<2x—gg+2/CTT，kE.Z

解得，—B+kjiWxW^+kTT,kEZ,

o3

故函數以%)的單調遞增區間為［一卷+?譚+時，kez；

若選①③，由①得，/(%)=2sin(2x+(p),

由③得'f(y1)=2sin/+9)=C且0V0<宏

所以9屋，/(%)=2sin(2%+9

h(x)=/(%)—2cos2x=V_3sin2x—cos2x=2sin(2x—*),

令——+2kli42.x——+2/C7T，kEZ,

zoz

解得，一g+/CTT<%<J+k",k￡Z,

O3

故函數h(%)的單調遞增區間為［—F+而(+"］，kez；

若選②③，/(%)=i4sin(2x+cp),

q

由②得，2x—7r+(p=k7T,kEZ,

因為0<(p<^9

所以以9=看/(%)=i4sin(2x+

由/位)=Asin號=V-3,可得Z=2,

所以/(%)=2sin(2x+^),

/i(x)=/(%)—2cos2%=V_3sin2x—cos2x=2sin(2x—》

令——+2/CTT<2x-gg+2/CTT，kCZ,

LoL

解得，—T4~kir<%Wj+kji，kE.Zf

OD

故函數九(%)的單調遞增區間為［弋+々植+時，kEZ.

【解析】(I)由已知結合周期公式可求3,結合力=1及〃0)=苧可求9；

(II)結合所選條件，結合最值與A的關系，正弦函數的對稱性及函數圖象所經過的點的坐標即可分別求出

/(%),然后結合和差角公式及輔助角公式求出h(x),再由正弦函數的單調性即可求解.

本題主要考查了正弦函數性質的綜合應用，屬于中檔題.

17.【答案】(I)證明：取AC的中點O,連接OB,

因為AD=DC,AB=BC,

所以。D1AC,OBLAC,

又。。dOB=0,OD、OBu平面OBD,所以AC1平面OBD,

因為BDu平面OBD,所以AC1BD.

A

(II)解：由(I)知，ACOBD,

因為。Fu平面OBD,

所以力C1OF,

又OBIAC,所以NBOF即為二面角F—NC—B的平面角,

因為力B=AC=2,AD-yTi,

所以。A=1,OD=1,OB=2,

由（I）知，AC1BD,

因為4F1BD,ACQAF=A,AC,4Fu平面ACF

所以BD1平面AC尸，

又。Fu平面ACF,所以BD1OF,

因為側面DHC1底面ABC,側面C底面4BC=4C,ODLAC,。。u平面AC。,

所以。。1平面ABC,

因為。Bu平面ABC,

所以。D1OB,BD=VOD2+OB2=VI2+22=<5，

所以SABOD=^OD-OB=^BD?OF,

在RtABO尸中，c°sNBOF=^=子=￥，

OB25

故二面角尸-AC-8的余弦值為g.

【解析】(I)取AC的中點。，連接。。，OB,易知。。INC,OBLAC,再由線面垂直的的判定定理與性

質定理，即可得證；

(H)由二面角的定義知NBOF即為所求，再結合線面垂直、面面垂直的判定定理或性質定理證明。D1

OB,OFLBD,然后由等面積法及三角函數的知識求解即可.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定、性質定理，以及利用向

量法求二面角是解題的關鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)設事件A為“從這10篇論文中隨機抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對

值不超過5”，

在這10篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的有2篇，

所以PQ4)=^="；

(II)依題意，X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=m=3P(X=1)=冬=3P(X=2)=魯=白

5。13「io135o

所以X的分布列為

X012

771

P

151515

X的數學期望為EX=0x^+lx^+2x^=|：

（III）相同.

【解析】（/）直接利用古典概率公式即可求解；

（n）x的可能取值為o,1,2,利用超幾何分布分別求出概率，然后求解期望即可；

（III）結合序號為2的論文和3的論文的標準化排名即可求解.

本題主要考查了古典概率公式的應用，還考查了離散型隨機變量的期望及分布列的求解，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）由題知又初/5的最大值為3*2。*6=￡16,

ab=2V-2

e=-=—，解得。=2,b=V-2,

a2

a2=h2+c2

所以E的方程為：9+q=1；

（II）設N（2,t）,pGo,yo）*±2），則

證明：（i）由題知=SANBP，

所以抑8|%|=1|BN|（2一死）,

一仇

即罔=熱所以"

2ro'

設直線ON的斜率為女以，直線AP的斜率為％p,

所以k°N題P=g?算為=昌.癮=晶=沿=—1；

所以直線ON與直線AP的斜率之積為定值-1；

（譏）假設存在點p使得AAPB竺ANSP,因為|4B|,|4P|,\NP\>\NB\,\BP\=\BP\,所以|4P|=|NB|,

由①可知t=蕓=磬&，所以J（x0+2）2+%=2|等I，即（軟+2）2+據=*產，

所以（久。+2/=/，又據=2—壬

所以8+2T=端,所以a+2尸=鼻嚴,

整理得空算=0,解得x0=—2,與右力-2矛盾，

-

onZ%Q

所以不存在點P使得△APB=ANBP.

【解析】（I）由APAB的面積的最大值可得"的值，再由離心率的值，可得a,b的關系，進而求出a,b

的值，即求出橢圓的方程；

設N,尸的坐標，由A4PB與ANBP的面積相等，可得N的縱坐標與P的坐標的關系，求出直線

ON,AP的斜率之積，整理可證得ON,AP的斜率之積為定值；

(ii)存在點P使得AAPB名ANBP,由①可得點尸的橫坐標為-2,由題意可得點P的橫坐標不等于-2,可

得假設不成立.

本題考查橢圓的方程的求法及直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題.

20.【答案】解:函數的定義域為(-%+8).

(1)當。=0時，f(x)-ex,則函數/(x)在區間(-8,+8)上單調遞增.

當a豐0時，f'(x)=(1—a—ax)ex=-a(x—~p)eX>

①若a>0,當平時，fz(x)<0,函數f(x)在區間(?,+8)上單調遞減，

當時，f(x)>0,函數f(x)在區間(一8,平)上單調遞增.

②若a<0,當萬〉平時，f(x)>0,函數f(x)在區間(寧,+8)上單調遞增，

當x<十時，f(x)<0,函數f(x)在區間(一8,平)上單調遞減.

(H)由/'(x)>a(l—x)可得a(x—靛-)<1,

設函數八(久)=》一3。6/?)，則"(久)=勺匚，

令t(x)=ex+x—2,則t'(x)=ex+1>0,

所以函數t(x)在區間(-00,+8)上單調遞增.

又t(0)=-1<0,t(l)=e-1>0,

所以函數t(x)在區間(一8,+8)上存在唯一零點6(0,1),

所以函數何式)在區間(-OO,&)上單調遞減，在區間(%0,+8)上單調遞增，

所以當久W0時，h(x)>h(0)=1,當x21時，h(x)>h(l)=1.

①若aW0,當xW0時，a,h(x)W0<l,

此時a?h(久)<1有無窮多個整數解，不符合題意.

②若aNL因為函數旗久)在區間(-8,0］上單調遞減，在區間［1,+8)上單調遞增，

所以當xeZ時，旗久)>min{h(0),h(l)}=1>

所以ad(x)<1無整數解，符合題意.

③若0<a<1,因為h(0)=/i(l)=1<：,

所以0,1是a?%(%)<1的兩個整數解，不符合題意.

綜上，a的取值范圍是［1,+8).

【解析】(I)對。分類討論，結合導數與單調性的關系即可求解；

(II)由/(久)>a(l-x)可得a(x-J)<1,設函數九(無)=x一3(%eR),利用導數判斷拉(乂)的單調性及

大小，再對。分類討論，求出符合題意的。的取值范圍.

本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查不等式問題，考查運算求解能力，屬于難題.

21.【答案】解：(1)42,4,6,7,10不是殳數列.理由如下：

因為=8,=8,

所以max?1+a3,a2+a2]=8.

但*=7<8,所以A不滿足性質①，故不是為數列.

(H)根據舔數列的定義，可知A：。1，。2，…，。6滿足：

。2=~+Q]+1，。3=+。2+1，

(1)若。2=+。1，因為的，的，。3成等比數列，所以。3=%=4。1，

al

又因為的W0,所以的W%.+

當。3=%+劭+1時，由。3=3al+1=4al得的=1,

(2)若+1，因為。1，。2，。3成等比數列，所以。3="=+

當。3=%+。2時，由。3=3al+1=+得%=

與由是自然數矛盾，舍去；

當的=%+劭+1時，由的=3al+2=(2%+1)得%——1,

與的是自然數矛盾，舍去；

所以Qi=1,a2—2,a3=4,

由的+%=5,。2+。2=4,以及max