2025屆湖南省邵陽市洞口一中、隆回一中、武岡二中高一下數學期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．方程的解所在的區間為（）A． B．C． D．2．函數的圖像與函數，的圖像的交點個數為（）A． B． C． D．3．已知的內角的對邊分別為，若，則（）A． B． C． D．4．我國古代數學名著《九章算術》第六章“均輸”中有這樣一個問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”（注：“均輸”即按比例分配，此處是指五人所得成等差數列；“錢”是古代的一種計量單位），則分得最少的一個得到()A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢5．已知函數，正實數是公差為正數的等差數列，且滿足，若實數是方程的一個解，那么下列四個判斷：①；②；③；④中一定不成立的是（）A．① B．②③ C．①④ D．④6．用數學歸納法證明這一不等式時，應注意必須為（）A． B．， C．， D．，7．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A． B． C． D．8．某賽季甲、乙兩名籃球運動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則下列結論錯誤的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位數和眾數都為26D．乙得分的方差小于甲得分的方差9．已知一組正數的平均數為，方差為，則的平均數與方差分別為（）A． B． C． D．10．若函數（）的最大值與最小正周期相同，則下列說法正確的是（）A．在上是增函數 B．圖象關于直線對稱C．圖象關于點對稱 D．當時，函數的值域為二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在中，已知點在邊上，，，則的長為____________．12．已知，則______．13．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，的面積等于，則外接圓的面積為______．14．九連環是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環相連成串，以解開為勝.據明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合面為一”.在某種玩法中，用表示解下個圓環所需的移動最少次數，滿足，且，則解下4個環所需的最少移動次數為_____.15．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的側面積為________.16．在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列{}的首項.(1)求證：數列為等比數列；(2)記，若，求最大正整數.18．已知方程有兩個實根,記,求的值.19．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面積．20．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°,E是BC的中點，M（1）求證：AE⊥平面PAD；（2）若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.21．設數列的前n項和為，已知．（Ⅰ）求通項；（Ⅱ）設，求數列的前n項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：由題意得，設函數，則，所以，所以方程的解所在的區間為，故選B.考點：函數的零點.2、A【解析】

在同一坐標系中畫出兩函數的圖象，根據圖象得到交點個數.【詳解】可得兩函數圖象如下圖所示：兩函數共有個交點本題正確選項：【點睛】本題考查函數交點個數的求解，關鍵是能夠根據兩函數的解析式，通過平移和翻折變換等知識得到函數的圖象，采用數形結合的方式得到結果.3、B【解析】

已知兩角及一對邊，求另一邊，我們只需利用正弦定理.【詳解】在三角形中由正弦定理公式:，所以選擇B【點睛】本題直接屬于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.屬于簡單題.4、B【解析】

設所成等差數列的首項為，公差為，利用等差數列前項和公式及通項公式列出方程組，求出首項和公差，進而得出答案．【詳解】由題意五人所分錢成等差數列，設得錢最多的為，則公差.所以，則.又，即則，分得最少的一個得到.故選：B【點睛】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、D【解析】

先判斷出函數的單調性，分兩種情況討論：①；②．結合零點存在定理進行判斷．【詳解】在上單調減，值域為，又．（1）若，由知，③成立；（2）若，此時，①②③成立．綜上，一定不成立的是④，故選D．【點睛】本題考查零點存在定理的應用，考查自變量大小的比較，解題時要充分考查函數的單調性，對函數值符號不確定的，要進行分類討論，結合零點存在定理來進行判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題．6、D【解析】

根據題意驗證，，時，不等式不成立，當時，不等式成立，即可得出答案.【詳解】解：當，，時，顯然不等式不成立，當時，不等式成立，故用數學歸納法證明這一不等式時，應注意必須為，故選：.【點睛】本題考查數學歸納法的應用，屬于基礎題．7、D【解析】

由扇形的弧長公式列方程得解.【詳解】設扇形的半徑是，由扇形的弧長公式得：，解得：故選D【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式，考查了方程思想，屬于基礎題．8、B【解析】

根據題意，依次分析選項，綜合即可得答案．【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，甲得分的極差為32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正確，對于B，甲得分的平均值為，其方差為，B錯誤；對于C，乙的數據為：12、25、26、26、31，其中位數、眾數都是26，C正確，對于D，乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：B．【點睛】本題考查莖葉圖的應用，涉及數據極差、平均數、中位數、眾數、方差的計算，屬于基礎題．9、C【解析】

根據平均數的性質和方差的性質即可得到結果.【詳解】根據平均數的線性性質，以及方差的性質：將一組數據每個數擴大2倍，且加1，則平均數也是同樣的變化，方差變為原來的4倍，故變換后數據的平均數為：；方差為4.故選：C.【點睛】本題考查平均數和方差的性質，屬基礎題.10、A【解析】

先由函數的周期可得，再結合三角函數的性質及三角函數值域的求法逐一判斷即可得解.【詳解】解：由函數（）的最大值與最小正周期相同，所以，即，即，對于選項A，令，解得：，即函數的增區間為，當時，函數在為增函數，即A正確，對于選項B，令，解得，即函數的對稱軸方程為：，又無解，則B錯誤，對于選項C，令，解得，即函數的對稱中心為：，又無解，則C錯誤，對于選項D，，則，即函數的值域為，即D錯誤，綜上可得說法正確的是選項A，故選：A.【點睛】本題考查了三角函數的性質，重點考查了三角函數值域的求法，屬中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由誘導公式可知，在中用余弦定理可得BD的長。【詳解】由題得，，在中，可得，又，代入得，解得.故答案為：【點睛】本題考查余弦定理和誘導公式，是基礎題。12、【解析】

由題意得出，然后在分式的分子和分母中同時除以，然后利用常見的數列極限可計算出所求極限值.【詳解】由題意得出.故答案為：.【點睛】本題考查數列極限的計算，熟悉一些常見數列極限是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.13、4π【解析】

利用三角形面積公式求解,再利用余弦定理求得,進而得到外接圓半徑,再求面積即可.【詳解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圓的面積為4π．故答案為：4π．【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦與面積公式的運用,屬于基礎題型.14、7【解析】

利用的通項公式，依次求出，從而得到，即可得到答案。【詳解】由于表示解下個圓環所需的移動最少次數，滿足，且所以，，故，所以解下4個環所需的最少移動次數為7故答案為7.【點睛】本題考查數列的遞推公式，屬于基礎題。15、【解析】

先求出四棱錐的底面對角線的長度，結合勾股定理可求出四棱錐的高，然后由圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，可知四條側棱的中點連線為正方形，其對角線為圓柱底面的直徑，圓柱的高為四棱錐的高的一半，分別求解可求出圓柱的側面積.【詳解】由題可知，四棱錐是正四棱錐，四棱錐的四條側棱的中點連線為正方形，邊長為，該正方形對角線的長為1，則圓柱的底面半徑為，四棱錐的底面是邊長為的正方形，其對角線長為2，則四棱錐的高為，故圓柱的高為1，所以圓柱的側面積為.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，考查了學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.16、【解析】

根據余弦定理，可得，然后利用均值不等式，可得結果.【詳解】在中，，由，所以又，當且僅當時取等號故故的最小值為故答案為：【點睛】本題考查余弦定理以及均值不等式，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）99.【解析】

（1）利用數列遞推公式取倒數，變形可得，從而可證數列為等比數列；（2）確定數列的通項，利用等比數列的求和公式求和，即可求最大的正整數．【詳解】解（1）∵，∴，∵，∴∴數列為等比數列.（2）由（1）可求得，∴.∴.因為在上單調遞增，又因為，∴【點睛】本題考查數列遞推公式，考查等比數列的證明，考查等比數列的求和公式，屬于中檔題．18、【解析】

求出的值和的范圍即可【詳解】因為，所以又有兩個實根所以所以因為所以，所以所以所以故答案為：【點睛】1.要清楚反三角函數的定義域和值域，如的定義域為，值域為2.由三角函數的值求角時一定要判斷出角的范圍.19、（1）（2）【解析】

（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大邊對大角可求C為銳角，根據同角三角函數基本關系式可求cosC的值．（2）利用三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式可求sinB的值，根據三角形的面積公式即可計算得解．【詳解】（1）由題意，BC=7，AB=3，∠A=60°．∴由正弦定理可得：sinC=∵BC＞AB，∴C為銳角，∴cosC===，（2）因為A+B+C=π，A=60°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，∴S△ABC=BC?AB?sinB=．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數基本關系式，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．20、(1)見證明；(2)3【解析】

(1)本題首先可以通過菱形的相關性質證明出AE⊥AD，然后通過PA⊥菱形ABCD所在的平面證明出PA⊥AE，最后通過線面垂直的相關性質即可得出結果；(2)可以將三角形APM當成三棱錐P-ACM的底面，將AE當成三棱錐P-ACM的高，最后通過三棱錐的體積計算公式即可得出結果．【詳解】（1）證明：連接AC，因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，所以因為E是BC的中點，所以AE⊥BC，因為AD//BC，所以AE⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因為PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．（2）AB=AP=2,則AD=2，AE=3所以Vp【點睛】本題考查立體幾何的相關性質，主要考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，可以通過證明平面外一條直線垂直平面內的兩條相交直線來證明線面垂直，考查推理能力，是中檔題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，根據，構造，利用，兩式相減得到，然后驗證，得到數列的通項公式；（Ⅱ）由上一問可知.根據零點分和討論去絕對值，利用分組轉化求數列的和.試題解析：（Ⅰ）因為，所以當時，，兩式相減得：當時，，因為,得到，解得，，所以數列是首項，公比為5的等比