儲油罐的變位識別與計量監測管理模型分析摘要：本文根據微積分原理建立監測管理模型，用以研究儲油罐的變位識別與罐容表標定。根據罐容表的定義，文章從罐內油位高度和儲油量（即罐內油品所占體積）的角度出發。對于問題一，文章解決了小橢圓型儲油罐在無變位情況下的油位高度與儲油量的關系問題，并建立了相關模型；其次，還得到了小橢圓型儲油罐在僅有縱向變位條件下，油位高度與儲油量的關系，其中針對其特殊位置的油量關系，進行了分類討論；最后，根據題目要求，對于罐體變位后的油位高度間隔為1cm的罐容表進行重新標定，標定結果見表一，得出實際計算進油量與油罐內油量的偏差率為4.5%。對于問題二，在解決問題一的前提下，根據之前建立的模型，研究了實際儲油罐在既有縱向變位又有橫向變位的條件下罐內儲油量與油位高度之間的一般關系，過程中主要討論了在實際情況下儲油罐在無變位情況，僅存在縱向變位或橫向變位情況，以及既有縱向變位又有橫向變位的條件下罐內儲油量與油位高度之間的一般關系，并建立理想數學模型。另外，在模型求解的過程中，充分運用了mathematics數學軟件，省去了繁瑣的積分演算過程，并且利用了罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據，確定變位參數，得出，，從而確立實際數學模型，對罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表重新標定，標定結果見表三。最后，為了將模型付諸于實踐，我們利用實際檢測數據分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性，利用包面法在mathematics軟件中的應用，得出實際出油量與計算所得的出油量的偏差率為1.45﹪，數值較為理想，模型可應用于實際。關鍵詞：儲油罐；變位參數；微積分；包面法；偏差問題重述隨著社會經濟發展迅速，汽車逐漸普及，加油站點數目不斷增長。通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況?？紤]到，儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形、外力條件、長期使用維護不力等因素，會使罐體的位置發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發生改變，需要定期對罐容表進行重新標定。現為了掌握罐體變位后對罐容表的影響——首先，利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為=4.1o的縱向變位兩種情況做了實驗，由實驗數據建立數學模型，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。另外，對于所示的實際儲油罐，建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度和橫向偏轉角度）之間的一般關系。針對罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據，確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。最后，進一步利用實際檢測數據來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。問題與現狀分析地下儲油罐主要目的在于節省地表使用面積以供應油品，但儲油罐的變位影響著周圍土壤和地下水污染的系列問題，所以實時監測罐容表的狀態就顯得尤為重要。根據罐容表的定義，我們將主要研究對象放在罐內油位高度和儲油量（即罐內油品所占體積）。根據題目要求以及考慮實際情況發生的變位變化，我們給出以下問題解決的方向：解決小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體）無變位情況下的油位高度與儲油量的關系。根據假設，處理小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體）在以下條件下油位高度與儲油量的關系：獨立存在縱向傾斜角度α角獨立存在橫向偏轉角度β角③共同存在α、β角變位情況根據實際情況下，處理實際儲油罐（主體為圓柱體，兩端為球冠體）在以下條件下罐內儲油量與油位高度及變位參數之間的一般關系：獨立存在縱向傾斜角度α角獨立存在橫向偏轉角度β角③共同存在α、β角變位情況根據實際問題給出的檢測數據，確定參數，建立理想數學模型。根據要求給出罐容表標定值。利用實際檢測數據來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。影響因素與模型假設所有討論都以靜止狀態時的儲油罐為主。地基預先處理，除非有外力影響，否則α、β角變化不大。土壤松軟程度不變化。溫度變化不大，或者溫度變化對儲油罐內液體無影響。油罐自身無形變。油的種類統一，密度一定，不存在溶解現象。油位探針、注油口、出油口等設備于油品中所占體積忽略。8）油浮子對水平面無影響。符號說明：無變位情況時，某一液面高度下橢圓柱體內油品體積（）：只存在縱向傾斜角α情況時，某一液面高度下橢圓柱體內油品體積（）H：罐內油品液面高度(標定高度)：液面高度L：油罐橢圓柱體部分的長度：油罐長度：橢圓面的長半軸：橢圓面的短半軸：X、Y、Z軸：截面面積：縱向傾斜角：橫向傾斜角：球面半徑模型的建立小橢圓型儲油罐5.1.1無變位情況以小橢圓型儲油罐左投影面為參考。圖1無變位情況下(a)小橢圓油罐正面示意圖(b)小橢圓油罐截面示意圖以橢圓長半軸所在直線為x軸，以橢圓短半軸所在直線為y軸的圖1無變位情況下(a)小橢圓油罐正面示意圖(b)小橢圓油罐截面示意圖根據積分的概念，陰影部分面積即體積元素又滿足橢圓公式根據微分方程所以，（1）獨立存在縱向傾斜角度α角情況根據圖2小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖(b)小橢圓油罐截面示意(b)小橢圓油罐截面示意圖α油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小橢圓油罐正面示意圖圖2小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖BBCCAADD考慮到，當油面很低時一頭無油而另一頭有油，H=0時罐內也并非無油的情況；當油面較高，油罐傾斜時油面與罐底垂直高時，一頭油多而另一頭油少的情況；H=2R時油罐內也并非全滿的情況。如圖2（a）已知：當油面正好過A點，；正好過C點，1.2因此，傾斜儲油罐容油量的計算可分為以下三種情形。1）當時，油面只與一面有交線。將儲油罐左邊表面為底，進行理想化放置，使表面平置于水平表面。圖3以過中心的橢圓長軸所在直線為x軸，以過中心的橢圓短軸所在直線為y軸，以過中心點且垂直于橢圓表面的直線為y軸，建立三維直角坐標系，如圖3圖3首先，儲油罐在xoy上的投影為中心過原點的橢圓且滿足方程：則另外，儲油罐在xoz上的投影，根據三角形相似定理可以得出：且所以，根據XOZ坐標所示油面，可以把體積元素S看成為三角形面積的積分問題則體積元素Sdx根據微分定理：2）當時，油面與兩面圓柱體面都有交線圖4（a）同情況1，建立三維直角坐標系，如圖4(a)。圖4（a）首先，用平行于平面xoy的平面截取橢圓柱體，將截取的圖像投射于平面xoy，得到圖4(b)。圖4（b）易知，儲油罐在xoy面上的投影滿足橢圓方程：圖4（b）為了能得到y與α的關系，用平行于平面yoz的平面截取橢圓柱體得到圖4(c)，根據三角形相似定理以及平面幾何定理，容易得到以下關系式：圖4（c）圖4（c）整理關系式得到陰影部分面積根據微分定理：3）當時，油面與沒過較低端橢圓面，與另一端橢圓面有交線同上，建立直角坐標系，如圖5所示。不同的是，此處所用的方法先用積分法算出多余體積，最后用整個油罐的體積，減去單個多余體積就可成為油罐體積。已知，橢圓柱體在平面xoy上的投影滿足圖5（b）為平面空余油量在平面zoy上的投影，求得與的關系：圖5（a）圖5（a）根據微分定理：實際儲油罐5.2.1無變位情況圖5（b）以球冠面于xoy坐標軸的投影中心為原點，建立三維直角坐標系。圖5（b）根據勾股定理，求出球心坐標：（）又半徑=1.5m球面方程：由圖6可知，水平油面與球冠面的交線為圓弧。球冠面于xoy坐標軸的投影區域為：球冠體內油品體積：圖6柱面方程：圖6柱體內油在xoy平面內投影的面積為則柱體部分油的體積為：所以油的總體積為：5.2.2僅存在變位時同樣根據5.1.2考慮三種情況：1）6-時，如圖7所示①右球罐體積表達式：圖7以球冠面于xoy坐標軸的投影中心為原點，建立三維直角坐標系。圖7根據勾股定理，求出球心坐標：（）從而，得到右球罐面方程為又油面與Z軸交點，單位法向量油面的方程：即將z的結果帶進右球罐面方程消去z得從而求得到右球罐內油的體積②左球罐內油的體積表達式同上，建立直角坐標系得球心坐標：（）球面方程為：又：平面與z軸交點單位法向量平面方程為即③罐體中間圓柱內油的體積表達式：根據圖8圖8圖8綜上：則++2）只有左邊球冠內有油即H<6tan方法同上。V=V+VV=V=S=V:+=V==則V=+=3）左面球罐油滿即3-<H時 方法同上：V=V+V+VV=V=此時，H0=V：罐體只存在變位時由圖9中可知顯示油高（2）由前面計算可知水平位置時：圖9圖9因為我們使用Mathematica進行積分處理，的積分結果比較復雜，所以在附件中列出其結果。 因為，所以共同存在α、β角變位情況根據5.2.2所得 ①只有左邊球冠內有油即H<8時 ②左邊球冠滿，右邊球冠也有油即時 根據5.2.3公式（2）所得 將帶入5.2.2中有關的公式中，得：（3）模型的求解6.1問題一首先，我們要研究橢圓柱無變位角時體積V與高度H之間的關系，這樣便于與存在變位時進行比較。在研究變位角度為時，由于此時油平面與橢圓柱的交面存在三種情況，這就需要我們分情況進行討論，分別得到時的積分表達式，我們認為，這樣所得到的計算結果更合理。由積分表達式，求出V與H的關系式。列出變位后小橢圓型儲油罐罐容表標定值，如表一。表一變位后小橢圓型儲油罐罐容表標定值高度/H體積/V高度/H體積/V高度/H體積/V0.150.1578180.451.165340.752.448370.160.1802590.461.206160.762.491260.170.2039990.471.247230.772.534020.180.2289070.481.288560.782.576640.190.2548850.491.330110.792.619120.200.2818580.501.371880.802.661420.210.3097610.511.413850.812.703550.220.3385390.521.456020.822.745490.230.3681430.531.498350.832.787220.240.3985280.541.540850.842.828740.250.4296570.551.58350.852.870020.260.4614910.561.626280.862.911060.270.4939970.571.669190.872.951830.280.5271440.581.712210.882.992330.290.5609020.591.755320.893.032530.300.5952450.601.798520.903.072430.310.6301460.611.84180.913.1120.320.6655810.621.885130.923.151230.330.7015260.631.928510.933.190110.340.7379580.641.971930.943.228610.350.7748580.652.015370.953.266720.360.8122030.662.058820.963.304420.370.8499750.672.102280.973.341690.380.8881540.682.145710.983.378510.390.9267220.692.189130.993.414860.400.9656610.702.23251.003.450720.411.004950.712.275821.013.486060.421.044580.722.319091.023.520870.431.084530.732.362271.033.555110.441.124790.742.405376.2問題二首先，根據包面法，利用Mathematica軟件在程序中，分別在給定的、角范圍內求得最佳的角度，使得在取用的高度范圍的達到最小，則此時的兩個角度就可認為是實際中的角度。在軟件中，我們取得的高度與出油量的對應數據，如表二：表二油面高度與出油量的對應數據高度1868.461856.541850.511841.921830.911818.96出油量328.52166.13237.66303.97330.11235.69高度1789.131777.511768.051759.421752.191747.59出油量323.39263.59240.84201.31128.8324.38取3.1到4.1度，取2.1度到3.1度范圍計算得到的最佳，根據公式（3），通過計算可給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值表三：變位后實際罐體的標定值高度/m罐內油的體積V/m高度/m罐內油的體積V/m00.08063731.631.99690.10.3828091.734.80070.20.9826341.837.59090.31.93281.940.35230.43.25774243.0690.54.875032.145.72510.66.721012.248.30380.78.758552.350.78760.810.95922.453.15770.913.29932.555.3938115.75772.657.47271.118.31532.759.36741.220.95452.861.04351.323.65822.962.4481.426.4103363.48831.529.195驗證與誤差分析問題一驗證進油量與油位高度的誤差表四進油量與油位高度的誤差油位高度/mm累加進油量/L實際計算進油量總計油罐含量偏差率576.561397.731.69741612.730.049882173588.741447.731.749891662.730.049808845599.561497.731.796621712.730.046693235611.621547.731.848811762.730.046559679623.441597.731.900051812.730.045956685635.581647.731.952741862.730.046094206693.031897.732.202272112.730.040658048704.671947.732.252742162.730.039955787716.451997.732.303742212.730.039505326727.662047.732.352172262.730.038024463739.392097.732.402752312.730.037465404750.902147.732.452242362.730.036501321做完之后，我們驗證了自己所列出了自己的方程式將油位高度代入，計算出實際油罐中體積的理論值，并對誤差進行了討論，我們隨即抽取了12組數據，（從編號15至20，從編號25至30共12組數據），我們將所求的數據與實際的數據進行對比，得出偏差率為4.5%，雖然誤差不大，但我認為以下幾點不可忽視，由于在計算過程中我們省去了小數點，對后面的結果產生影響；其次一些不可抗拒的因素，例如我們題設中已經避免的氣溫、石油腐蝕等問題，可是在實際過程中仍然不能忽視。綜上所述，認為我們就這題所建立的模型在精確度一般的情況下是可以廣泛應用的。問題二利用附件2中的實際檢測數據來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。首先，在分析數據中對結果可能影響較大的數據進行剔除工作，在剩余數據中隨即抽取附件（2）中的20個顯示油高與出油量的對應數據。分析計算所得的實際出油量與計算所得的出油量的偏差率（）。根據mathematic編程操作，得到以下數據，整理得表五：表五：誤差分析表顯示油高/m計算體積值/實際/計算偏差率﹪平均偏差率﹪2.6322358.10490.149090.15373.091.452.624357.95122.5795757.0620.080650.0844.152.5754456.9782.5081755.56980.171340.17451.842.5000755.39532.4273253.78280.114460.11631.612.422253.66652.3481351.94370.206680.20830.782.3393751.73542.2749250.17460.153020.15541.562.2686150.01922.051344