2025屆安徽蚌埠龍湖中學高一下數學期末聯考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正四棱柱，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．2．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是()A． B． C． D．3．平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．4．已知扇形的圓心角，弧長為，則該扇形的面積為（）A． B． C．6 D．125．已知，實數、滿足關系式，若對于任意給定的，當在上變化時，的最小值為，則（）A． B． C． D．6．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．7．已知函數,若使得在區間上為增函數的整數有且僅有一個,則實數的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知中，，，若，則的坐標為（）A． B． C． D．9．函數，若方程恰有三個不同的解，記為，則的取值范圍是()A． B． C． D．10．已知數列的通項公式，前項和為，則關于數列、的極限，下面判斷正確的是（）A．數列的極限不存在，的極限存在B．數列的極限存在，的極限不存在C．數列、的極限均存在，但極限值不相等D．數列、的極限均存在，且極限值相等二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，則直線與直線所成角的余弦值為____________.12．數列中，若，，則______；13．如果事件A與事件B互斥，且，，則＝．14．在中，角,,所對的邊分別為，，，若的面積為，且,,成等差數列，則最小值為______．15．已知數列中，，當時，，數列的前項和為_____．16．數列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），則稱為的一個“谷值”。若且存在“谷值”則實數的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設的內角所對的邊分別為，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．如圖，邊長為2的正方形中.（1）點是的中點，點是的中點，將、分別沿，折起，使，兩點重合于點，求證：；（2）當時，將、分別沿，折起，使，兩點重合于點，求三棱錐的體積.19．如圖所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點，求證：（1）平面；（2）.20．記為等差數列的前項和，已知，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．21．某校準備從高一年級的兩個男生和三個女生中選擇2個人去參加一項比賽.（1）若從這5個學生中任選2個人，求這2個人都是女生的概率；（2）若從男生和女生中各選1個人，求這2個人包括，但不包括的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

作出兩異面直線所成的角，然后由余弦定理求解．【詳解】在正四棱柱中，則異面直線與所成角為或其補角，在中，，，．故選A．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形求之．2、C【解析】

本題首先可以根據直角三角形的三邊長求出三角形的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．3、A【解析】

試題分析：如圖，設平面平面=，平面平面=，因為平面，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點睛】求解本題的關鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補.4、A【解析】

可先由弧長計算出半徑，再計算面積．【詳解】設扇形半徑為，則，，．故選：A．【點睛】本題考查扇形面積公式，考查扇形弧長公式，掌握扇形的弧長和面積公式是解題基礎．5、A【解析】

先計算出，然后利用基本不等式可得出的值.【詳解】，由基本不等式得，當且僅當時，由于，即當時，等號成立，因此，，故選：A.【點睛】本題考查極限的計算，考查利用基本不等式求最值，解題的關鍵就是利用數列的極限計算出帶的表達式，并利用基本不等式進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.6、D【解析】

根據為銳角可求得，根據特殊角三角函數值可知，從而得到，進而求得結果.【詳解】，又，即本題正確選項：【點睛】本題考查三角函數值的求解問題，關鍵是能夠熟悉特殊角的三角函數值，根據角的范圍確定特殊角的取值.7、A【解析】

根據在區間上為增函數的整數有且僅有一個,結合正弦函數的單調性,即可求得答案.【詳解】,使得在區間上為增函數可得當時，滿足整數至少有,舍去當時，，要使整數有且僅有一個,須,解得:實數的取值范圍是.故選:A．【點睛】本題主要考查了根據三角函數在某區間上單調求參數值,解題關鍵是掌握正弦型三角函數單調區間的解法和結合三角函數圖象求參數范圍,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.8、A【解析】

根據，，可得；由可得M為BC中點，即可求得的坐標，進而利用即可求解．【詳解】因為，所以因為，即M為BC中點所以所以所以選A【點睛】本題考查了向量的減法運算和線性運算，向量的坐標運算，屬于基礎題．9、D【解析】

由方程恰有三個不同的解，作出的圖象，確定，的取值范圍，得到的對稱性，利用數形結合進行求解即可．【詳解】設

作出函數的圖象如圖：由

則當

時

,,

即函數的一條對稱軸為

，要使方程恰有三個不同的解，則

,

此時

,

關于

對稱，則

當

，即

，則

則

的取值范圍是，選D.【點睛】本題主要考查了方程與函數，數學結合是解決本題的關鍵，數學結合也是數學中比較重要的一種思想方法．10、D【解析】

分別考慮與的極限，然后作比較.【詳解】因為，又，所以數列、的極限均存在，且極限值相等，故選D.【點睛】本題考查數列的極限的是否存在的判斷以及計算，難度一般.注意求解的極限時，若是分段數列求和的形式，一定要將多段數列均考慮到.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與直線所成角的余弦值．【詳解】解：四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，，平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設直線與直線所成角為，則，直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，屬于中檔題．12、【解析】

先分組求和得，再根據極限定義得結果.【詳解】因為，，……，，所以則.【點睛】本題考查分組求和法、等比數列求和、以及數列極限，考查基本求解能力.13、0.5【解析】

表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比．所以根據互斥事件概率公式求解．【詳解】【點睛】此題考查互斥事件概率公式，關鍵點在于理解清楚題目概率表示的實際含義，屬于簡單題目．14、4【解析】

先根據,,成等差數列得到，再根據余弦定理得到滿足的等式關系，而由面積可得，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因為,,成等差數列，，故.由余弦定理可得.由基本不等式可以得到，當且僅當時等號成立.因為，所以，所以即，當且僅當時等號成立.故填4.【點睛】三角形中與邊有關的最值問題，可根據題設條件找到各邊的等式關系或角的等量關系，再根據邊的關系式的結構特征選用合適的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把與邊有關的目標代數式轉化為與角有關的三角函數式后再求其最值.15、．【解析】

首先利用數列的關系式的變換求出數列為等差數列，進一步求出數列的通項公式，最后求出數列的和．【詳解】解：數列中，，當時，，整理得，即，∴數列是以為首項，6為公差的等差數列，故，所以，故答案為：．【點睛】本題主要考查定義法判斷等差數列，考查等差數列的前項和，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．16、【解析】

求出,,,當,遞減,遞增,分別討論,,是否存在“谷值”,注意運用單調性即可.【詳解】解：當時,有,,當,遞減,遞增,且.若時,有,則不存在“谷值”；若時,,則不存在“谷值”；若時,①,則不存在"谷值"；②,則不存在"谷值"；③,存在"谷值"且為.綜上所述,的取值范圍是故答案為：【點睛】本題考查新定義及運用,考查數列的單調性和運用,正確理解新定義是迅速解題的關鍵,是一道中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因為，所以分別代入得解得（Ⅱ）由得，因為所以所以【考點定位】本題考查了正弦定理和余弦定理的應用，考查了方程思想和運算能力.由求的過程中體現了整體代換的運算技巧，而求的過程則體現了“通性通法”的常規考查.18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）折疊過程中，，保持不變，即，，由此可得線面垂直，從而有線線垂直；（2）由（1）知面，即是三棱錐的高，求出底面積可得體積．【詳解】（1）證明：由，.可得：，，，面又面（2）解：在三棱錐中，，，面，由，，可得．【點睛】本題考查證明線線垂直，考查求棱錐的體積．立體幾何中證明線線垂直，通常由線面垂直的性質定理給出，即先證線面垂直，而證線面垂直又必須證明線線垂直，注意線線垂直與線面垂直的轉化．三棱錐中任何一個面都可以當作底面，因此一般尋找高易得的面為底面，常用換底法求體積．19、(1)見解析.(2)見解析.【解析】

（1）先取的中點，連接，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；（2）根據線面垂直的判定定理先證明平面，再由線面垂直的性質，即可得到.【詳解】（1）取的中點，連接，可得，且.平面，平面，.又，，且，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面.（2）在中，，為的中點，.是正三角形，為的中點，，.平面，∴四邊形是矩形，，又，平面.又平面，.，平面.又平面，.【點睛】本題主要考查線面平行以及線面垂直，熟記線面平行與垂線的判定定理以及性質定理即可，屬于常考題型.20、（1），（2），最小值為?1．【解析】

（Ⅰ）根據等差數列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通項公式；（Ⅱ）根據等差數列的求和公式得Sn=n2-8n，根據二次函數的性質，可得Sn的最小值.【詳解】（I）設的公差為d，由題意得．由得d=2．所以的通項公式為．（II）由（I）得．所以當n=4時，取得最小值，最小值為?1．【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了等差數列的前n項的和公式，考查了等差數列前n項和的最值問題；求等差數列前n項和的最值有兩種方法：①函數法，②鄰項變號法.21、（1）；（2）.【解析】

（1）寫出從5個學生中任選2個人的所有等可能基本事件，計算事件2個人都是女生所含的基本事件個數；（2）寫出從男生和女生中各選1個人的所有等可能基本事件，計算事件