北京市朝陽(yáng)區(qū)17中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析_第1頁(yè)
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北京市朝陽(yáng)區(qū)17中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知、的取值如下表所示:如果與呈線性相關(guān),且線性回歸方程為,則()A. B. C. D.2.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,1),(-3,3).若動(dòng)點(diǎn)P滿足,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A. B. C. D.3.某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為()A.12π B.45π C.57π D.81π4.已知為的一個(gè)內(nèi)角,向量.若,則角()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為A. B.C. D.6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù):“割之彌細(xì),所失彌少,割之割,以至于不可割,則與圓合體,而無(wú)所失矣”,即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓,并使正多邊形的面積無(wú)限接近圓的面積,進(jìn)而來(lái)求得較為精確的圓周率.如果用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓,算得圓周率的近似值記為,那么用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓,算得圓周率的近似值加可表示成()A. B. C. D.7.若非零實(shí)數(shù)滿足,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.8.如圖所示是的圖象的一段,它的一個(gè)解析式為()A. B.C. D.9.《趣味數(shù)學(xué)·屠夫列傳》中有如下問(wèn)題:“戴氏善屠,日益功倍。初日屠五兩,今三十日屠訖,問(wèn)共屠幾何?”其意思為:“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5兩肉,共屠了30天,問(wèn)一共屠了多少兩肉?”()A. B. C. D.10.單位圓中,的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.下列命題中:①若,則的最大值為;②當(dāng)時(shí),;③的最小值為;④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時(shí),恒成立.其中是真命題的是__________.(填上所有真命題的序號(hào))12.函數(shù)的最小正周期是__________.13.設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為,若,則__________________.14.若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值為_(kāi)_______15.在數(shù)列中,,是其前項(xiàng)和,當(dāng)時(shí),恒有、、成等比數(shù)列,則________.16.方程的解為_(kāi)_____.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知向量,,.(1)若、、三點(diǎn)共線,求;(2)求的面積.18.在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司推廣線下分店,計(jì)劃在S市的A區(qū)開(kāi)設(shè)分店,為了確定在該區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù),該公司對(duì)該市已開(kāi)設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù),y表示這個(gè)x個(gè)分店的年收入之和.(1)該公司已經(jīng)過(guò)初步判斷,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程(2)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤(rùn)z(單位:百萬(wàn)元)與x,y之間的關(guān)系為,請(qǐng)結(jié)合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在A區(qū)開(kāi)設(shè)多少個(gè)分店時(shí),才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大?(參考公式:,其中,)19.已知向量.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),求的值域.20.如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北的方向上,仰角為,行駛4km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北的方向上.(1)求此山的高度(單位:km);(2)設(shè)汽車(chē)行駛過(guò)程中仰望山頂D的最大仰角為,求.21.如圖,在中,為邊上一點(diǎn),,若.(1)若是銳角三角形,,求角的大小;(2)若銳角三角形,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

計(jì)算出、,再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程,可求出的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得,,由于回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn),則有,解得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程中參數(shù)的計(jì)算,解題時(shí)要充分利用回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)這一結(jié)論,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),代入,得到即,再根據(jù),即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)分別為,將各點(diǎn)坐標(biāo)代入,可得,即,解得,代入,化簡(jiǎn)得,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和點(diǎn)的軌跡的求解,其中解答中熟記向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】由三視圖可知,此組合體上部是一個(gè)母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑是3的圓錐,下部是一個(gè)高為5,底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C4、C【解析】

帶入計(jì)算即可.【詳解】即,選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】分析:初始化數(shù)值,執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu),判斷條件是否成立,詳解:初始化數(shù)值循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下:第一次:不成立;第二次:成立,循環(huán)結(jié)束,輸出,故選B.點(diǎn)睛:此題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)型程序框圖,解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于:第一,要確定是利用當(dāng)型還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);第二,要準(zhǔn)確表示累計(jì)變量;第三,要注意從哪一步開(kāi)始循環(huán),弄清進(jìn)入或終止的循環(huán)條件、循環(huán)次數(shù).6、C【解析】

設(shè)圓的半徑為,由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得:,由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得:,問(wèn)題得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為,將內(nèi)接正邊形分成個(gè)小三角形,由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得:,整理得:,此時(shí),即:同理,由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得:,整理得:此時(shí)所以故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的面積公式及三角形面積公式的應(yīng)用,還考查了正弦的二倍角公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.7、C【解析】

對(duì)每一個(gè)不等式逐一分析判斷得解.【詳解】A,不一定小于0,所以該選項(xiàng)不一定成立;B,如果a<0,b<0時(shí),不成立,所以該選項(xiàng)不一定成立;C,,所以,所以該不等式成立;D,不一定小于0,所以該選項(xiàng)不一定成立.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)和比較法比較實(shí)數(shù)的大小,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象,得出振幅與周期,從而求出與的值.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象知,振幅,周期,即,解得;所以時(shí),,;解得,,所以函數(shù)的一個(gè)解析式為.故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,考查三角函數(shù)的解析式的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)題意,得到該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列,記首項(xiàng)為,公比為,前項(xiàng)和為,由題中熟記,以及等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)果.【詳解】由題意,該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列,記首項(xiàng)為,公比為,前項(xiàng)和為,所以,,因此.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用,熟記等比數(shù)列的求和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】

將轉(zhuǎn)化為弧度,即可得出答案.【詳解】,因此,單位圓中,的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、①②【解析】

根據(jù)均值不等式依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤,得到答案.【詳解】①若,則的最大值為,正確②當(dāng)時(shí),,時(shí)等號(hào)成立,正確③的最小值為,取錯(cuò)誤④當(dāng)且僅當(dāng)均為正數(shù)時(shí),恒成立均為負(fù)數(shù)時(shí)也成立.故答案為①②【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式,掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關(guān)鍵.12、;【解析】

利用余弦函數(shù)的最小正周期公式即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了含余弦函數(shù)的最小正周期,需熟記求最小正周期的公式,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質(zhì)計(jì)算得出即可.【詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時(shí)當(dāng)時(shí),求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當(dāng)時(shí).14、.【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值,然后利用反三角函數(shù)的定義得出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及反三角函數(shù)的定義,解本題的關(guān)鍵就是利用三角函數(shù)的定義求出的值,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

由題意得出,當(dāng)時(shí),由,代入,化簡(jiǎn)得出,利用倒數(shù)法求出的通項(xiàng)公式,從而得出的表達(dá)式,于是可求出的值.【詳解】當(dāng)時(shí),由題意可得,即,化簡(jiǎn)得,得,兩邊取倒數(shù)得,,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,,,則,因此,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算,同時(shí)也考查了數(shù)列通項(xiàng)的求解,在含的數(shù)列遞推式中,若作差法不能求通項(xiàng)時(shí),可利用轉(zhuǎn)化為的遞推公式求通項(xiàng),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,綜合性較強(qiáng),屬于中等題.16、或【解析】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得,由此能求出結(jié)果.【詳解】方程,,或,解得或.故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)方程的解的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)題意,若、、三點(diǎn)共線,則表達(dá)和,根據(jù)向量共線定理的坐標(biāo)表示,可求解參數(shù)值,即可求解模長(zhǎng).(2)根據(jù)題意,先求,,再求向量、的夾角,代入三角形面積公式,即可求解.【詳解】解:(1)已知向量,,∴,,由點(diǎn)、、三點(diǎn)共線,得.解得.,(3)因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】本題考查(1)向量共線的坐標(biāo)表示;(2)三角形面積公式;考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)該公司應(yīng)開(kāi)設(shè)4個(gè)分店時(shí),在該區(qū)的每個(gè)分店的平均利潤(rùn)最大【解析】

(1)由表中數(shù)據(jù)先求得.再結(jié)合公式分別求得,即可得y關(guān)于x的線性回歸方程.(2)將(1)中所得結(jié)果代入中,進(jìn)而表示出每個(gè)分店的平均利潤(rùn),結(jié)合基本不等式即可求得最值及取最值時(shí)自變量的值.【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得:,,因而可得,,再代入公式計(jì)算可知,∴,∴.(2)由題意,可知總收入的預(yù)報(bào)值與x之間的關(guān)系為:,設(shè)該區(qū)每個(gè)分店的平均利潤(rùn)為t,則,故t的預(yù)報(bào)值與x之間的關(guān)系為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即或(舍)則當(dāng)時(shí),取到最大值,故該公司應(yīng)開(kāi)設(shè)4個(gè)分店時(shí),在該區(qū)的每個(gè)分店的平均利潤(rùn)最大.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求法,基本不等式求函數(shù)的最值及等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)-7,(2)【解析】試題分析:(1)由向量共線得到等量關(guān)系,求出角的正切值,再利用兩角差正切公式求解:(2)先根據(jù)向量數(shù)量積,利用二倍角公式及配角公式得到三角函數(shù)關(guān)系式,再?gòu)慕浅霭l(fā)研究基本三角函數(shù)范圍:試題解析:(1),3分6分(2)8分11分,的值域?yàn)?4分考點(diǎn):向量平行坐標(biāo)表示,三角函數(shù)性質(zhì)20、(1)km.(2)【解析】

(1)設(shè)此山高,再根據(jù)三角形中三角函數(shù)的關(guān)系以及正弦定理求解即可.(2)由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí),仰望山頂D的仰角達(dá)到最大,再計(jì)算到直線的距離即可.【詳解】解:(1)設(shè)此山高,則,在中,,,.根據(jù)正弦定理得,即,解得(km).(2)由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路

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