北京市朝陽區17中2024屆高一數學第二學期期末聯考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知、的取值如下表所示：如果與呈線性相關，且線性回歸方程為，則（）A． B． C． D．2．平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，B的坐標分別為(1，1)，(-3，3).若動點P滿足，其中λ，μ∈R，且λ+μ=1，則點P的軌跡方程為()A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．12π B．45π C．57π D．81π4．已知為的一個內角，向量.若，則角()A． B． C． D．5．執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為A． B．C． D．6．我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內接正多邊形細割圓，并使正多邊形的面積無限接近圓的面積，進而來求得較為精確的圓周率.如果用圓的內接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為，那么用圓的內接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．7．若非零實數滿足，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．8．如圖所示是的圖象的一段，它的一個解析式為()A． B．C． D．9．《趣味數學·屠夫列傳》中有如下問題：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？”（）A． B． C． D．10．單位圓中，的圓心角所對的弧長為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下列命題中：①若，則的最大值為；②當時，；③的最小值為；④當且僅當均為正數時，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號)12．函數的最小正周期是__________.13．設無窮等比數列的公比為，若，則__________________．14．若角的終邊經過點，則的值為________15．在數列中，，是其前項和，當時，恒有、、成等比數列，則________．16．方程的解為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，.（1）若、、三點共線，求；（2）求的面積.18．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計劃在S市的A區開設分店，為了確定在該區開設分店的個數，該公司對該市已開設分店的其他區的數據作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區開設分店的個數，y表示這個x個分店的年收入之和.(1)該公司已經過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程(2)假設該公司在A區獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x，y之間的關系為，請結合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應在A區開設多少個分店時，才能使A區平均每個分店的年利潤最大?(參考公式:，其中，)19．已知向量.(1)當時，求的值；(2)設函數，當時，求的值域.20．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北的方向上，仰角為，行駛4km后到達B處，測得此山頂在西偏北的方向上．（1）求此山的高度（單位：km）；（2）設汽車行駛過程中仰望山頂D的最大仰角為，求．21．如圖，在中，為邊上一點，，若.（1）若是銳角三角形，，求角的大小；（2）若銳角三角形，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

計算出、，再將點的坐標代入回歸直線方程，可求出的值.【詳解】由表格中的數據可得，，由于回歸直線過樣本的中心點，則有，解得，故選：A.【點睛】本題考查回歸直線方程中參數的計算，解題時要充分利用回歸直線過樣本的中心點這一結論，考查計算能力，屬于基礎題.2、C【解析】

設點坐標，代入，得到即，再根據，即可求解.【詳解】設點坐標，因為點的坐標分別為，將各點坐標代入,可得，即，解得，代入，化簡得，故選C.【點睛】本題主要考查了平面向量的坐標運算和點的軌跡的求解，其中解答中熟記向量的坐標運算，以及平面向量的基本定理是解答的關鍵，著重考查了推理運算能力，屬于基礎題.3、C【解析】由三視圖可知，此組合體上部是一個母線長為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C4、C【解析】

帶入計算即可．【詳解】即,選C.【點睛】本題考查向量向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．5、B【解析】分析：初始化數值，執行循環結構，判斷條件是否成立，詳解：初始化數值循環結果執行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循環結束，輸出，故選B.點睛：此題考查循環結構型程序框圖，解決此類問題的關鍵在于：第一，要確定是利用當型還是直到型循環結構；第二，要準確表示累計變量；第三，要注意從哪一步開始循環，弄清進入或終止的循環條件、循環次數.6、C【解析】

設圓的半徑為，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，問題得解.【詳解】設圓的半徑為，將內接正邊形分成個小三角形，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：，此時，即：同理，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：此時所以故選C【點睛】本題主要考查了圓的面積公式及三角形面積公式的應用，還考查了正弦的二倍角公式，考查計算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

對每一個不等式逐一分析判斷得解.【詳解】A,不一定小于0，所以該選項不一定成立；B,如果a＜0，b＜0時，不成立，所以該選項不一定成立；C,，所以，所以該不等式成立；D,不一定小于0，所以該選項不一定成立.故選：C【點睛】本題主要考查不等式性質和比較法比較實數的大小，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解析】

根據函數的圖象，得出振幅與周期，從而求出與的值．【詳解】根據函數的圖象知，振幅，周期，即，解得；所以時，，；解得，，所以函數的一個解析式為．故答案為D．【點睛】本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，考查三角函數的解析式的求法，屬于基礎題．9、D【解析】

根據題意，得到該屠戶每天屠的肉成等比數列，記首項為，公比為，前項和為，由題中熟記，以及等比數列的求和公式，即可得出結果.【詳解】由題意，該屠戶每天屠的肉成等比數列，記首項為，公比為，前項和為，所以，，因此.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的應用，熟記等比數列的求和公式即可，屬于基礎題型.10、B【解析】

將轉化為弧度，即可得出答案.【詳解】，因此，單位圓中，的圓心角所對的弧長為.故選B.【點睛】本題考查角度與弧度的轉化，同時也考查了弧長的計算，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②【解析】

根據均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【詳解】①若，則的最大值為，正確②當時，，時等號成立，正確③的最小值為，取錯誤④當且僅當均為正數時，恒成立均為負數時也成立.故答案為①②【點睛】本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關鍵.12、；【解析】

利用余弦函數的最小正周期公式即可求解.【詳解】因為函數，所以，故答案為：【點睛】本題考查了含余弦函數的最小正周期，需熟記求最小正周期的公式，屬于基礎題.13、【解析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質計算得出即可.【詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數列求和公式,且,故.此時當時,求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【點睛】本題主要考查等比數列求和公式,當時.14、.【解析】

根據三角函數的定義求出的值，然后利用反三角函數的定義得出的值.【詳解】由三角函數的定義可得，，故答案為.【點睛】本題考查三角函數的定義以及反三角函數的定義，解本題的關鍵就是利用三角函數的定義求出的值，考查計算能力，屬于基礎題.15、.【解析】

由題意得出，當時，由，代入，化簡得出，利用倒數法求出的通項公式，從而得出的表達式，于是可求出的值.【詳解】當時，由題意可得，即，化簡得，得，兩邊取倒數得，，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，，，則，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查數列極限的計算，同時也考查了數列通項的求解，在含的數列遞推式中，若作差法不能求通項時，可利用轉化為的遞推公式求通項，考查分析問題和解決問題的能力，綜合性較強，屬于中等題.16、或【解析】

由指數函數的性質得，由此能求出結果．【詳解】方程，，或，解得或．故答案為或．【點睛】本題考查指數方程的解的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意指數函數的性質的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據題意，若、、三點共線，則表達和，根據向量共線定理的坐標表示，可求解參數值，即可求解模長.（2）根據題意，先求，，再求向量、的夾角，代入三角形面積公式，即可求解.【詳解】解：（1）已知向量，，∴，，由點、、三點共線，得.解得.，（3）因為，，所以，，，，，【點睛】本題考查（1）向量共線的坐標表示；（2）三角形面積公式；考查計算能力，屬于基礎題.18、(1);(2)該公司應開設4個分店時，在該區的每個分店的平均利潤最大【解析】

（1）由表中數據先求得.再結合公式分別求得,即可得y關于x的線性回歸方程.（2）將（1）中所得結果代入中,進而表示出每個分店的平均利潤,結合基本不等式即可求得最值及取最值時自變量的值.【詳解】（1）由表中數據和參考數據得:,,因而可得,,再代入公式計算可知,∴,∴.（2）由題意,可知總收入的預報值與x之間的關系為:,設該區每個分店的平均利潤為t,則,故t的預報值與x之間的關系為,當且僅當時取等號,即或（舍）則當時,取到最大值,故該公司應開設4個分店時,在該區的每個分店的平均利潤最大.【點睛】本題考查了線性回歸方程的求法,基本不等式求函數的最值及等號成立的條件,屬于基礎題.19、(1)-7，(2)【解析】試題分析：(1)由向量共線得到等量關系，求出角的正切值，再利用兩角差正切公式求解：(2)先根據向量數量積，利用二倍角公式及配角公式得到三角函數關系式，再從角出發研究基本三角函數范圍：試題解析：(1),3分6分(2)8分11分，的值域為14分考點：向量平行坐標表示，三角函數性質20、（1）km．（2）【解析】

(1)設此山高,再根據三角形中三角函數的關系以及正弦定理求解即可.(2)由題意可知,當點C到公路距離最小時,仰望山頂D的仰角達到最大,再計算到直線的距離即可.【詳解】解：（1）設此山高,則,在中,,,．根據正弦定理得,即,解得（km）．（2）由題意可知,當點C到公路