第22講天體運動的熱點問題

能力命題點一衛星運行參量的分析與比較

?

核心綜述

1.衛星的軌道

(1)赤道軌道：衛星的軌道在叵］赤道平面內,同步衛星就是其中的一種。

(2)極地軌道：衛星的軌道過南、北兩極，即在畫垂直于赤道的平面內,如極地氣象衛

星。

(3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛星軌道。

注意：①所有衛星的軌道平面一定通過地球的球心。

②除過特殊的橢圓軌道的衛星，一般衛星的運行軌道可認為是圓。

2.衛星的運行參數隨軌道半徑變化的規律

MmV24n22—rz

由G產一ma一叼一m3r一川『r—m?4n可得B：

la/]

v=\l-

3=、怦.械小'X

1____o減小

T=A卜二當r增大時《想大上越高越慢

[〃減小

n—A1A23la減小一

z

4Jir

GM

a=~

3.地球同步衛星的特點

I軌道平面一定I軌道平面與赤道平面共面1

|繞行方:向一定1與地球自轉方向一致,和

地球相對靜止

典題示例

（2019?安徽宣城二模）有a、b、c、d四顆地球衛星，衛星a還未發射，在地球赤道上

隨地球表面一起轉動，衛星b在地面附近近地軌道上正常運行，c是地球同步衛星，d是高空

探測衛星，各衛星排列位置如圖，則有（）

A.a的向心加速度等于重力加速度g

B.方在相同時間內轉過的弧長最長

JI

C.c在4h內轉過的圓心角是工

D.d的運動周期有可能是20h

解析同步衛星的周期與地球自轉周期相同，角速度相同，則知a與。的角速度相同，

根據知，。的向心加速度大于a的向心加速度，由（理=ma,解得：a=",可知衛星

rr

的軌道半徑越大，向心加速度越小，則。的向心加速度小于。的向心加速度，而。的向心加

速度約為g,故a的向心加速度小于重力加速度g,A錯誤；由知，a的線速度小于c

的線速度，由律=《，解得：/=可知衛星的軌道半徑r越大，線速度〃越小，所

以6的線速度最大，在相同時間內轉過的弧長最長，B正確；c是地球同步衛星，周期是24h,

9JInr

則。在4h內轉過的圓心角是方^義4=彳，故C錯誤；由開普勒第三定律得：~i=k,可知衛

J1

星的軌道半徑越大，周期越大，所以d的運動周期大于C的周期24h,故D錯誤。

答案B

【方法感悟】

近地衛星、赤道上靜止物體和同步衛星的比較

如圖所示，a為近地衛星，軌道半徑為八；6為地球同步衛星，軌道半徑為n；c為赤道

上隨地球自轉的物體，軌道半徑為

\赤道上隨地球自轉的物

近地衛星同步衛星

體

5、5、力、a）（々、92、唆、/）

（八、必、制、as）

向心力萬有引力萬有引力萬有引力的一個分力

軌道半徑Z2>n=ri

同步衛星的角速度與地

由（^=印3）得岸,故3〉3?

Q=\球自轉角速度相同，故

角速度

=必

%>32=%

Mmv{

由v=口廣得打＞匕

由勺7=%;得丫=\—9故Vl>V2

線速度

V\>V2>匕

,Min妨GM,,

由5=ma得a=—,故a>/由a—32r得色＞主

向心加速度rr

&＞義2＞會

即時訓練

1.（2019?河北省衡水市武邑中學高三下第一次質檢）2017年11月21日，我國以“一

箭三星”方式將吉林一號視頻04、05、06星成功發射。其中吉林一號04星的工作軌道高度

約為535km,比同步衛星軌道低很多，同步衛星的軌道又低于月球的軌道，其軌道關系如圖

所示。下列說法正確的是（）

塔二同步衛星

『不Trv'吉林一號04星

地球

A.吉林一號04星的發射速度一定小于7.9km/s

B.同步衛星繞地球運行的角速度比月球繞地球的角速度大

C.吉林一號04星繞地球運行的周期比同步衛星的周期大

I）.所有衛星在運行軌道上完全失重，重力加速度為零

答案B

解析第一宇宙速度是7.9km/s,為衛星的最小發射速度，故A錯誤；衛星做勻速圓周

運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：咨故'伴同步衛星

離地球比月球近，可知同步衛星繞地球運行的角速度比月球繞地球的角速度大，故B正確；

衛星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：岸=號%,故T=

/4ity

\吉林一號04星離地球比同步衛星近，可知吉林一號04星繞地球運行的周期比同

步衛星的周期小，故C錯誤；所有衛星做勻速圓周運動，在運行軌道上完全失重，但重力加

速度不為零，故D錯誤。

2.（2019?天津高考）2018年12月8日，肩負著億萬中華兒女探月飛天夢想的嫦娥四號

探測器成功發射，“實現人類航天器首次在月球背面巡視探測，率先在月背刻上了中國足

跡”。己知月球的質量為以半徑為總探測器的質量為如引力常量為G,嫦娥四號探測器

圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運動時，探測器的（）

GMni

動能為~2R

I）.向心加速度為了

解析探測器繞月球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，對探測器，由牛頓第二

定律得，堂=〃（7）八解得周期T—GQA正確；由埠?=%:知，動能

B錯誤；由d粵=“1得，角速度0='/縹C錯誤；由爬=ma得,向心加速度a=W,

rMrrr

D錯誤。

3.（2016?四川高考）國務院批復，自2016年起將4月24日設立為“中國航天日”。1970

年4月24日我國首次成功發射的人造衛星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道

近地點高度約為440km,遠地點高度約為2060km；1984年4月8日成功發射的東方紅二號

衛星運行在赤道上空35786km的地球同步軌道上。設東方紅一號在遠地點的加速度為初，東

方紅二號的加速度為包，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉的加速度為創，則為、a?、金的

大小關系為（）

A.4>a>去B.a>a2>a

C.%>dx>32D.既〉氏〉氏

答案D

解析衛星圍繞地球運行時，萬有引力提供向心力，對于東方紅一號，在遠地點時有

士八

J/ffhnnGM-T-/-?____Mm=

〃卜h'-a\—〃+卜對于東方紅一^F,有GR+h2比=

RY,由于h〉h\,故東方紅二號衛星與地球自轉的角速度相等，由于東方紅二

K~\~hi

號做圓周運動的軌道半徑大于地球赤道上物體做圓周運動的半徑，根據a=1r,故例>備，所

以aDaDa”D正確，A、B、C錯誤。

能力命題點二宇宙速度的理解與計算

核心綜述

1.環繞速度與發射速度的比較

GM_

近地衛星的環繞速度/=|0117.9km/s,通常稱為第一宇宙速度,它是地

球周圍的所有衛星繞地球做勻速圓周運動的最大國運行速度,是在地面上發射衛星的最小

畫發射速度。

2.三種宇宙速度

宇宙速度數值(km/s)意義

第一宇這是衛星的最小發射速度，若7.9km/sWX11.2

國7.9

宙速度km/s,衛星繞地球運行

第二宇這是衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度，若

鬧11.2

宙速度11.2km/sW1/〈16.7km/s,衛星繞太陽系內除地

球外的其他星體運行

這是衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度，若

第三宇

畫16.7y216.7km/s,衛星將脫離太陽系在宇宙空間運

宙速度

行

典題示例

（多選）在星球表面發射探測器，當發射速度為y時，探測器可繞星球表面做勻速圓周運

動；當發射速度達到短丫時，可擺脫星球引力束縛脫離該星球。已知地球、火星兩星球的質

量比約為10：1,半徑比約為2：1,下列說法正確的有（）

A.探測器的質量越大，脫離星球所需要的發射速度越大

B.探測器在地球表面受到的引力比在火星表面的大

C.探測器分別脫離兩星球所需要的發射速度相等

D.探測器脫離星球的過程中，勢能逐漸增大

1/2

解析發射速度為r時，探測器可繞星球表面做勻速圓周運動，蟲節嶗,解得丫=

M為星球的質量,要使探測器脫離星球的吸引，則發射速度為/隱=鏡「=

該速度與探測器的質量無關，由此式可知，探測器分別脫離地球和火星所需要的發射速度不

同,A、C錯誤;探測器在星球表面受到的引力P=瞿，在兩星球表面受到的引力之比勺=當?4

5

=5,B正確；探測器脫離星球的過程中，萬有引力做負功，勢能逐漸增大，D正確。

答案BD

廠【方法感悟】--------------------------------1

⑴第一宇宙速度的推導有兩種方法：①由瑾="日得必=②由mg=%得%=

（2）第一宇宙速度的公式不僅適用于地球，也適用于其他星球，只是收R、g必須與相應

星球對應，不能套用地球的參數。

即時訓練

1.（2019?河北衡水中學高三二調）（多選）使物體成為衛星的最小發射速度稱為第一宇宙

速度小而使物體脫離星球引力所需要的最小發射速度稱為第二宇宙速度必吸與必的關系

是a已知某星球半徑是地球半徑〃的;，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度

g的《，地球的平均密度為0,不計其他星球的影響，貝M）

0

A.該星球上的第一宇宙速度為F警

B.該星球上的第二宇宙速度為摩

C.該星球的平均密度為春

D.該星球的質量為解二

ol

答案BC

解析該星球上的第一宇宙速度”=后產=y|i|="等，故A錯誤;根據題意，

該星球上的第二宇宙速度唆'=鏡匕'故B正確；根據公式g*=G%且游=P

OO

1

3g6p4

故。=77去，所以該星球的平均密度0'=了0=彳，故C正確；該星球的質量"=P'

4uKJiiZo

3

,3P4R.2n

只R-=———,故D錯快。

Zoool

2.（2019?天津高考模擬）近來，有越來越多的天文觀測現象和數據證實黑洞確實存在.

科學研究表明，當天體的逃逸速度（即第二宇宙速度，為第一宇宙速度的隹倍）超過光速時，

該天體就是黑洞。已知某天體與地球的質量之比為上地球的半徑為凡地球的第一宇宙速度

為入光速為c,則要使該天體成為黑洞，其半徑應小于（）

2k/R2kcR

A.——B.——

CVi

vxRcR

C.力D.yr

KCKV\

答案A

ifmr/

解析地球的第一宇宙速度為片，則昨=響,設天體成為黑洞時其半徑為r,第一宇

宙速度為外，則等”=原，而。=/玲，聯立解得：,故A正確。

能力命題點三衛星的變軌問題

核心綜述

1.衛星的發射及變軌過程

人造衛星的發射要經過多次變軌才能到達預定軌道，如圖所示。

（1）為了節省能量，在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道I上。

（2）在4點（近地點）點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供在軌道I上做圓周運

動的向心力，衛星做離心運動進入橢圓軌道H。

（3）在6點（遠地點）再次點火加速進入圓形軌道IH。

2.變軌過程各物理量分析

（1）速度：設衛星在圓軌道I和III上運行時的速率分別為小外在軌道II上過4點和8

點時速率分別為右、“。在/點加速，則右＞%,在6點加速，則小＞%,又因原故有/,（＞Ki＞V3＞VBo

（2）加速度：因為在4點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是軌道n上經過

4點，衛星的加速度都相同，同理，經過6點時的加速度也相同。

（3）周期：設衛星在I、n、in軌道上的運行周期分別為T\、①、加軌道半徑（半長軸）

3

分別為八、八n,由開普勒第三定律夕=4可知東爾隊

（4）機械能：在一個確定的圓（橢圓）軌道上機械能守恒，若衛星在I、II、HI軌道的機械

能分別為〃、良、&則原區〈氏。

3.衛星回收過程與發射過程的對比

衛星發射與回收過程，可以看成可逆過程去理解。

發射過程

較低圓近地點向后噴氣橢圓遠地點向后噴氣較裔圓

軌道,近地點向前噴氣軌道'遠地點向前噴氣軌道

皿收過程

典題示例

（2019?湖南常德高三一模）（多選）2018年12月8日發射成功的“嫦娥四號”探測器經

過約110小時奔月飛行，到達月球附近，成功實施近月制動，順利完成“太空剎車”，被月

球捕獲并順利進入環月軌道。若將整個奔月過程簡化如下：“嫦娥四號”探測器從地球表面

發射后，進入地月轉移軌道，經過〃點時變軌進入距離月球表面100km的圓形軌道I,在軌

道I上經過。點時再次變軌進入橢圓軌道n,之后將擇機在0點著陸月球表面。下列說法正

確的是()

./n\

地月轉移軌道

.....---

A.“嫦娥四號”沿軌道II運行時，在P點的加速度大于在。點的加速度

B.“嫦娥四號”沿軌道II運行的周期大于沿軌道I運行的周期

C.“嫦娥四號”在軌道I上的運行速度小于月球的第一宇宙速度

D.“嫦娥四號”在地月轉移軌道上材點的速度大于在軌道I上M點的速度

解析根據牛頓第二定律有號=加，可得a=#,可知衛星加速度大小只與衛星到月心

的距離有關，距離越大加速度越小，A錯誤；根據開普勒第三定律可知衛星在軌道H上運行軌

道的半長軸小于在軌道I上的軌道半徑，所以衛星在軌道H上運行的周期小于在軌道I上運

行的周期，B錯誤；月球的第一宇宙速度是衛星貼近月球表面做勻速圓周運動的速度，“嫦娥

四號”在軌道I上的軌道半徑大于月球半徑，可知“嫦娥四號”在軌道I上的運行速度比月

球的第一宇宙速度小，C正確；“嫦娥四號”在地月轉移軌道上經過"點若要進入軌道I,需

減速，所以在地月轉移軌道上經過M點的速度比在軌道I上經過M點的速度大，D正確。

答案CD

廠~【方法感悟】|

衛星變軌問題中參量的比較

(1)速度(動能)

①衛星變軌前后在同一位置不同軌道的速度大小比較：可以根據發動機做功的正負比較,

還可以根據變軌后是做近心運動還是離心運動比較。

②衛星在同一軌道不同位置速度的比較：可以根據開普勒第二定律比較，還可以根據萬

有引力做功的正負比較。

③衛星在變軌前后穩定圓軌道的速度比較：根據產比較。

GM

(2)加速度：根據a==比較。

r

(3)周期：根據開普勒第三定律比較。

（4）能量：機械能變化根據發動機做功情況判斷，或者根據引力勢能與動能之和的變化判

斷。引力勢能的變化根據萬有引力做功情況判斷。

即時訓練

1.（2019?河南開封一模）2018年12月12日16時45分“嫦娥四號”探測器經過約110

小時的奔月飛行到達月球附近。假設“嫦娥四號”在月球上空某高度處做圓周運動，運行速

度為n為成功實施近月制動，使它進入更靠近月球的預定圓軌道，運行速度為吸。對這一

變軌過程及變軌前后的速度對比，正確的是（）

A.發動機向后噴氣進入低軌道，外〉上

B.發動機向后噴氣進入低軌道，“〈吸

C.發動機向前噴氣進入低軌道，口＞玲

D.發動機向前噴氣進入低軌道，匕〈吸

答案D

解析為成功實施近月制動，使“嫦娥四號”進入更靠近月球的預定圓軌道，故發動機

應向前噴氣減速，使“嫦娥四號”做近心運動，進入低軌道；在更靠近月球的預定圓軌道上

運動時，軌道半徑變小，根據萬有引力提供向心力，則有：竿?=受，解得：『='序其中

r為軌道半徑，所以運行速度增大，即％＜電故D正確。

2.（2019?湖北八校聯合二模）中國志愿者王躍參與人類歷史上第一次全過程模擬從地球

往返火星的試驗“火星一500”。假設將來人類一艘飛船從火星返回地球時，經歷如圖所示的

變軌過程，則下列說法不正確的是（）

軌道m...............

軌道y........

（軌道【:籍，,

..../＞????/

A.飛船在軌道n上運動時，在。點的速度大于在。點的速度

B.飛船在軌道I上運動時在一點的速度大于在軌道n上運動時在一點的速度

c.飛船在軌道I上運動到0點時的加速度等于飛船在軌道II上運動到一點時的加速度

D.若軌道I貼近火星表面，測出飛船在軌道I上運動的周期，就可以推知火星的密度

答案B

解析在軌道H上，由0點到一點，萬有引力做正功，根據動能定理知，速度增大，則

在一點的速度大于在0點的速度，故A正確；衛星在軌道I上的一點進入軌道H,要做離心

運動，需加速，可知在軌道H上時在P點的速度大于在軌道I上時在。點的速度，故B錯誤;

在不同軌道上的尸點，由于所受的萬有引力相等，根據牛頓第二定律知，加速度大小相等，

故c正確；設火星的半徑為憶根據猾=加*得火星的質量"二:1■芥，則火星的密度p=

MM3n生、干必

4n故D1E確。

3

能力命題點四衛星的追及相遇問題

核心綜述

對于衛星的追及相遇問題一般存在下列兩種情況：

1.衛星對接、摧毀，最常見的是由低軌道向高軌道正常運行的衛星對接。

2.繞行方向相同的兩衛星和天體的連線在同一直線上，處于內軌道的衛星周期不小，處

于外軌道的衛星周期/大。

2JT2n

(1)當兩衛星都在天體同側時，那么當才滿足下列式子時兩衛星相距最近：-pt---t

1\12

=2/7n(〃=1,2,3,???)o

(2)當兩衛星在天體異側時，那么當2滿足下列式子時兩衛星相距最近：

2n2n,/八、

-^rt—^rt=n+2/?n(/?=0,1,2,3,…)。

1\12

-------------典題示例--------------

(2019?安徽定遠重點中學高三二模)(多選)2018年4月2日8時15分左右，中國第一

個目標飛行器“天宮一號”再入大氣層，落到南太平洋中部區域，絕大部分器件在再入大氣

層過程中由于空氣阻力的作用燒蝕銷毀，對航空活動以及地面造成危害的可能性極小。如圖

所示，a是“天宮一號”飛行器，氏c是地球同步衛星，此時a、6恰好相距最近。已知地球

質量為“，半徑為尺地球自轉的角速度為。，“天宮一號”飛行器a的軌道半徑為r,引力

常量為G,貝M)

.....

((04-

A.“天宮一號”飛行器a的周期小于24小時

B.衛星b的機械能一定等于衛星c的機械能

C.若“天宮一號”飛行器a在下落的過程中質量保持不變，則“天宮一號”飛行器a的

機械能將增加

D.若“天宮一號”飛行器a和衛星6均逆時針方向轉動，則到下一次相距最近，還需經

過,時、間言2n

,血4JT2/P

解析根據G^=nr-rr,解得7=2“yj-f可知衛星的軌道半徑越大，周期越大，

因6、c的周期為24h,則''天宮一號”飛行器a的周期小于24小時，A正確；衛星的機械

能等于其動能與勢能之和，因不知道衛星反。的質量大小關系，故不能確定衛星6與c的機

械能大小關系，B錯誤；“天宮一號”飛行器a在下落的過程中質量保持不變，但因下落過程

中空氣阻力做負功，則“天宮一號”飛行器a的機械能將減小，C錯誤；根據萬有引力提供向

心力有逑=/。2"，可得a衛星的角速度脛衛星軌道半徑越大角速度越小，衛星

a、。由相距最近至再次相距最近時，圓周運動轉過的角度差為2n,即ML3t=2",可

2ji

得經歷的時間t—,D正確。

答案AD

廣【方法感悟】1

繞同一天體運動且繞向相同的兩衛星，從第一次相距最近到第二次相距最近，實際情況

就是周期小的比周期大的多轉過了2頁弧度（即一圈）。

即時訓練

1.（2016?天津高考）我國發射了“天宮二號”空間實驗室，之后發射“神舟十一號”飛

船與“天宮二號”對接。假設“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，

為了實現飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是（）

A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現對接

B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現對接

C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者

速度接近時實現對接

D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者

速度接近時實現對接

答案C

解析飛船在同一軌道上加速追趕空間實驗室時，速度增大，所需向心力大于萬有引力，

飛船將做離心運動，不能實現與空間實驗室的對接，A錯誤；同理，空間實驗室在同一軌道上

減速等待飛船時，速度減小，所需向心力小于萬有引力，空間實驗室做近心運動，也不能實

現對接，B錯誤；當飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上加速時，飛船做離心運動，逐漸靠近

空間實驗室，可實現對接，C正確；當飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上減速時，飛船將做

近心運動，遠離空間實驗室，不能實現對接，D錯誤。

2.（多選）太陽系中某行星運行的軌道半徑為吊，周期為幾但天文學家在長期觀測中發

現，其實際運行的軌道總是存在一些偏離，且周期性地每隔,時間發生一次最大的偏離（行星

仍然近似做勻速圓周運動）。天文學家認為形成這種現象的原因可能是該行星外側還存在著一

顆未知行星。假設兩行星的運行軌道在同一平面內，且繞行方向相同，則這顆未知行星運行

軌道的半徑不和周期7是（認為未知行星近似做勻速圓周運動）（）

C.仁叫D.

答案BC

解析行星的軌道發生最大的偏離時一定是行星與未知行星相距最近時，設某時刻行星

和未知行星相距最近，經過功時間，行星和未知行星再次相距最近，則行星轉過的角度為/

=7?to,未知行星轉過的角度為^2—^r,to,有S\—&=2"，解得7=丁處7。，A錯

/0/to—/（）

誤，B正確；根據開普勒第三定律有*故有#=舟\^（芳才，C正確，D錯誤。

能力命題點五雙星與多星問題

-------------核心綜述--------------

1.雙星系統

（1）雙星系統的特點

①是一個繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，不受其他星體影響。如圖所示。

②各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即

③兩個星體的周期及角速度都相同，即T\—T'lt必=320

④兩個星體的軌道半徑與它們之間距離的關系為：力+々=￡。

(2)兩個星體到圓心的距離八、々與星體質量成反比，即叁=必，與星體運動的線速度成

nkri

⑶雙星的運動周期吟7~—。(同學們自己可以證明)

\jGnh+nk

4頁②萬

(4)雙星的總質量加+成=下子。(同學們自己可以證明)

2.多星系統

(1)三星系統

①三星同線：如圖甲所示。

特點：三星轉動方向相同，角速度大小相等，都繞。點轉動。

②三星在三角形三個頂點處：如圖乙所示。

特點：萬有引力的合力指向圓心。點，合力提供向心力；三星同向轉動，角速度大小相

等，都繞。點轉動；三星質量一般不相等。

注：三星質量相等的情況只是理想情況，實際不存在。

典題示例

(2015?安徽高考)由三顆星體構成的系統，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運

動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某

一共同的圓心0在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動(圖示為4、B、。三顆星體質

量不相同時的一般情況)。若/星體質量為2)，B、，兩星體的質量均為加，三角形的邊長為a,

求：

(1)/星體所受合力大小居;

(2)6星體所受合力大小行；

(3)。星體的軌道半徑色

(4)三星體做圓周運動的周期T.

解析(1)由萬有引力定律，/星體所受反「星體引力大小為幾=孥=咨=品，方

向如圖

2

則合力大小為￡,=2&1cos30。=24%。

(2)6星體所受4、C星體引力大小分別為

FkG干―/

A?=吟華=育，方向如圖

2

由&=為cos60°+%=24

2

%=￡流儲60°=/嘩

可得&=4戶取+"丫=干弓。

p22

或：4星體受力星體的引力￡?=%■,%=除方向如圖，由三角形定則結合余弦定理,

得:

FB=7凡+用一2/W訕os120°=

(3)通過分析可知，圓心。在a'的中垂線49的中點，Rc=OC=

I

FDB2a

或：由對稱性可知0B=0C=Rc,cosZ.OBD—,,~~no=~77i可得兄=a。

卜BOBRc4A

(4)三星體運動周期相同，對C星體，由

FC—FH--\^自

可得T=nA/7-0

VGm

答案(1)4=2/礙(2)8=于6?步

(3)Rc=--a(4)T=n\~7T

4\lGm

【方法感悟】)

解決雙星、多星問題的關鍵點

(1)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。

(2)星體的角速度相等。

(3)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要確定星體做圓周運動的圓心，利用幾何知識,

尋找軌道半徑與天體間距離的關系，正確計算萬有引力和向心力。

即時訓練

1.(2019?貴陽一模)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波信號。

根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并之前，它們繞二者連線上的某點做圓周運動，

且二者越轉越近，最終碰撞在一起，形成新的天體。若將兩顆中子星都看做是質量均勻分布

的球體，則此過程中兩中子星的()

A.線速度逐漸變小B.角速度保持不變

C.周期逐漸變大D.向心加速度逐漸變大

答案D

解析設兩顆星的質量分別為陽、帆，軌道半徑分別為右、身，相距Z,根據萬有引力提

供向心力可知：

Gnhnk2z~\

~~=加1刀13~①，

Gnhnt

~7~=nkm/②,

G.Ga.E-r/F.G0+版/t、24”‘￡/G勿1+二

①+②整理可得：~j=(-T1+?2)3——,解得3=\］、

49

n=-T—L,臬=-7一/,,根據線速度和角速度的關系，有F,=。口

加1+徒

G向

由題可知兩顆星的距離減小，故線速度變大,

nh+nkC

角速度變大，周期變小，A、B、C錯誤；兩顆星的向心加速度&=下，a?=T，故可判斷兩

顆星的向心加速度變大，D正確。

2.（2019?河北省衡水市武邑中學高三下第一次質檢）（多選）天文觀測中觀測到有三顆星

位于邊長為/的等邊三角形三個頂點上，并沿等邊三角形的外接圓做周期為T的勻速圓周運

動。已知引力常量為G,不計其他星體對它們的影響，關于這個三星系統，下列說法正確的是

（）

A.三顆星的質量可能不相等

4n2/

B.某顆星的質量為不寧

c.它們的線速度大小均為當世

D.它們兩兩之間的萬有引力大小為端,

答案BD

7

2

解析三顆星的軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，r=---=^-]o根據題意

cos303

可知其中任意兩顆星對第三顆星的合力指向圓心，所以這兩顆星對第三顆星的萬有引力等大,

由于這兩顆星到第三顆星的距離相同，故這兩顆星的質量相同，所以三顆星的質量一定相同,

設為加，則20cos30°=勿?7~?為-/,解得m=3GY'它們兩兩之間的萬有引力尸=存=

G3G[=,A錯誤，B、D正確；它們的線速度大小為七號'?號1,

1z4）u1；J11OO1

C錯誤。

課時作業

［鞏固強化練］

1.科學家預測在銀河系里可能有一個“與地球相似”的行星，這個行星存在孕育生命的

可能性，若質量可視為均勻分布的球形“與地球相似”的行星的密度為0,半徑為凡自轉

周期為％萬有引力常量為G,則（）

OR

A.該“與地球相似”的行星的同步衛星的運行速率為T

lo

B.該“與地球相似”的行星的同步衛星的軌道半徑為《竺

3n

4

C.該“與地球相似”的行星表面重力加速度在兩極的大小為鼻。夕〃冗

D.該“與地球相似”的行星的衛星在星球表面附近做圓周運動的速率為幾力、

答案C

解析設同步衛星軌道半徑為r,根據勻速圓周運動的線速度公式以及行星的同步衛星

周期為4知其運行速率為r=-r是行星的同步衛星的軌道半徑，并不是行星半徑憶A

/o

錯誤；行星對其同步衛星的萬有引力提供同步衛星做勻速圓周運動所需的向心力，則有爬=

r

23/rji.

且404允憶解得r=RB錯誤；由儂星=岑，且M=o解

得g里=%＞沏，C正確；衛星在行星表面附近做圓周運動的速率為n仆

I）錯誤。

2.霍曼轉移軌道（Hohmanntransferorbit）是一種變換太空船軌道的方法，此種軌道操縱

名稱來自德國物理學家瓦爾特?霍曼。在電影和小說《流浪地球》中，利用霍曼轉移軌道，

用最少的燃料地球會到達木星軌道，最終逃出太陽系。如圖所示，科學家利用固定在地面的

萬臺超級聚變發動機瞬間點火，使地球在地球軌道I上的B點加速，通過運輸軌道，再在運

輸軌道上的4點瞬間點火，從而進入木星軌道II。關于地球的運動,下列說法中正確的是（）

地球軌道I

（g）運愉軌道

木星軌道II

A.在運輸軌道上經過1點的速度小于經過E點的速度

B.在軌道II上經過/點的動能大于在軌道I上經過8點的動能

c.在軌道n上運動的周期小于在軌道I上運動的周期

D.在軌道II上經過4點的加速度小于在運輸軌道上經過4點的加速度

答案A

解析在運輸軌道上，/點為遠日點，8點為近日點，根據開普勒第二定律知，力點速度

小于8點速度，故A正確；軌道I和軌道II都是圓軌道，根據。粵=J得動能區=焉，2=華,

rrzZr

由于nX,故瓦⑻,故B錯誤；根據開普勒第三定律知，軌道半徑越大，周期越大，則地

球在軌道II上運動的周期大于在軌道I上運動的周期，故C錯誤；同一物體在同一位置所受

萬有引力相同，則加速度相同，故地球在軌道U上經過0點時的加速度等于在運輸軌道上經

過4點時的加速度，故D錯誤。

3.我國即將展開深空探測，計劃在2020年通過一次發射，實現火星環繞探測和軟著陸巡

視探測，已知太陽的質量為M地球、火星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑分別為用和定，

速率分別為M和上，地球繞太陽運動的周期為T.當質量為加的探測器被發射到以地球軌道上

的A點為近日點、火星軌道上的6點為遠日點的軌道上圍繞太陽運行時（如圖所示），只考慮

太陽對探測