2025屆煙臺市重點中學高一數學第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖是一個射擊靶的示意圖，其中每個圓環的寬度與中心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒有脫靶，則其命中深色部分的概率為（）A． B． C． D．2．若關于x，y的方程組無解，則（）A． B． C．2 D．3．已知兩條直線與兩個平面，給出下列命題:①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；其中正確的命題個數為A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在河岸邊選定一點C，測出AC的距離為502m，∠ACB=45°，∠CAB=105A．100m B．50C．1002m5．設x,y滿足約束條件2x-y+2≥0,8x-y-4≤0,x≥0,y≥0,若目標函數z=abx+y(a，A．2 B．4 C．6 D．86．等差數列前項和為，滿足，則下列結論中正確的是（）A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．7．已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值為2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在中，已知是邊上一點，，，則等于（）A． B． C． D．9．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．10．為了得到函數，(x∈R)的圖象，只需將(x∈R)的圖象上所有的點（）.A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數量之比為3:5:7，現用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產品有18件，則樣本容量=．12．把數列的各項排成如圖所示三角形狀，記表示第m行、第n個數的位置，則在圖中的位置可記為____________．13．如圖，在直四棱柱中，，，，分別為的中點，平面平面.給出以下幾個說法：①；②直線與的夾角為；③與平面所成的角為；④平面內存在直線與平行.其中正確命題的序號是__________.14．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_____．15．已知，，若，則實數_______.16．函數的值域為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的各項均不為零．設數列的前項和為，數列的前項和為，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明數列是等比數列，并求的通項公式；（Ⅲ）證明：.18．如圖，在四棱錐中，，底面是矩形，側面底面,是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.19．已知圓圓心坐標為點為坐標原點，軸、軸被圓截得的弦分別為、.（1）證明：的面積為定值；（2）設直線與圓交于兩點，若，求圓的方程.20．已知函數的最小正周期為，（1）求函數的單調遞減區間；（2）若函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.21．某企業用180萬元購買一套新設備，該套設備預計平均每年能給企業帶來100萬元的收入，為了維護設備的正常運行，第一年需要各種維護費用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護費用要增加10萬元（1）求該設備給企業帶來的總利潤（萬元）與使用年數的函數關系；（2）試計算這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

分別求出大圓面積和深色部分面積即可得解.【詳解】設中心圓的半徑為，所以中心圓的面積為，8環面積為，射擊靶的面積為，所以命中深色部分的概率為.故選：D【點睛】此題考查幾何概型，屬于面積型，關鍵在于準確求解面積，根據圓環特征分別求出面積即可得解.2、A【解析】

由題可知直線與平行,再根據平行公式求解即可.【詳解】由題,直線與平行,故.故選：A【點睛】本題主要考查了二元一次方程組與直線間的位置關系,屬于基礎題.3、A【解析】

結合線面平行定理和舉例判斷.【詳解】若，則可能平行或異面，故①錯誤；若，則可能與的交線平行，故②錯誤；若，則，所以，故③正確；若，則可能平行，相交或異面，故④錯誤；故選A.【點睛】本題線面關系的判斷，主要依據線面定理和舉例排除.4、A【解析】

計算出ΔABC三個角的值，然后利用正弦定理可計算出AB的值.【詳解】在ΔABC中，AC=502m，∠ACB=45°，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin【點睛】本題考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形對三角形已知元素類型的要求，考查運算求解能力，屬于基礎題.5、B【解析】

畫出不等式組對應的平面區域，平移動直線至1,4時z有最大值8，再利用基本不等式可求a+b的最小值.【詳解】原不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，當直線z=abx+y(a，b>0)過直線2x-y+2=0與直線8x-y-4=0的交點1,4時，目標函數z=abx+y(a，即ab=4，所以a+b≥2ab=4，當且僅當a=b=2時，等號成立.所以【點睛】二元一次不等式組的條件下的二元函數的最值問題，常通過線性規劃來求最值，求最值時往往要考二元函數的幾何意義，比如3x+4y表示動直線3x+4y-z=0的橫截距的三倍，而y+2x-1則表示動點Px,y與6、D【解析】本題考查等差數列的前n項和公式，等差數列的性質，二次函數的性質.設公差為則由等差數列前n項和公式知：是的二次函數；又知對應二次函數圖像的對稱軸為于是對應二次函數為無法確定所以根據條件無法確定有沒有最值；但是根據二次函數圖像的對稱性，必有即故選D7、D【解析】

化簡函數為正弦型函數，根據題意，利用正弦函數的圖象與性質求得的取值范圍.【詳解】解：函數則函數在上是含原點的遞增區間；又因為函數在區間上是單調遞增，則，得不等式組又因為，所以解得.又因為函數在區間上恰好取得一次最大值為2，可得，所以，綜上所述，可得.故選：D.【點睛】本題主要考查了正弦函數的圖像和性質應用問題，也考查了三角函數的靈活應用，屬于中檔題.8、A【解析】

利用向量的減法將3，進行分解，然后根據條件，進行對比即可得到結論【詳解】∵3，∴33，即43，則，∵λ，∴λ，故選A．【點睛】本題主要考查向量的基本定理的應用，根據向量的減法法則進行分解是解決本題的關鍵．9、C【解析】

根據程序框圖列出算法循環的每一步，結合判斷條件得出輸出的的值.【詳解】執行如圖所示的程序框圖如下：不成立，，；不成立，，；不成立，，；不成立，，.成立，跳出循環體，輸出的值為，故選C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，對于這類問題，通常利用框圖列出算法的每一步，考查計算能力，屬于中等題.10、D【解析】

根據函數的平移原則，即可得出結果.【詳解】因為，，所以為了得到函數的圖象，只需將的圖象上所有的點向左平移個單位.故選D【點睛】本題主要考查三角函數的平移，熟記左加右減的原則即可，屬于基礎題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：由題意得，解得，故答案為．考點：分層抽樣．12、【解析】

利用第m行共有個數，前m行共有個數，得的位置即可求解【詳解】因為第m行共有個數，前m行共有個數，所以應該在第11行倒數第二個數，所以的位置為.故答案為：【點睛】本題考查等差數列的通項和求和公式，發現每行個數成等差是關鍵，是基礎題13、①③.【解析】

利用線面平行的性質定理可判斷①；利用平行線的性質可得直線與的夾角等于直線與所成的角，在中即可判斷②；與平面所成的角即為與平面所成的角可判斷③；根據直線與平面的位置關系可判斷④；【詳解】對于①，由，平面平面，則，又，所以，故①正確；對于②，連接，由，即直線與的夾角等于直線與所成的角，在中，，顯然直線與的夾角不為，故②不正確；對于③，與平面所成的角即為與平面所成的角，根據三棱柱為直棱柱可知為與平面所成的角，在梯形中，，，，可解得與平面所成的角為，故③正確；對于④，由于與平面相交，故平面內不存在與平行的直線.故答案為：①③【點睛】本題是一道立體幾何題目，考查了線面平行的性質定理，求線面角以及直線與平面之間的位置關系，屬于中檔題.14、【解析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進而利用正弦函數的圖象和性質即可得解．【詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．15、【解析】

利用平面向量垂直的數量積關系可得，再利用數量積的坐標運算可得：，解方程即可.【詳解】因為，所以，整理得：，解得：【點睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標關系及方程思想，屬于基礎題．16、【解析】

本題首先可通過三角恒等變換將函數化簡為，然后根據的取值范圍即可得出函數的值域．【詳解】因為，所以.【點睛】本題考查通過三角恒等變換以及三角函數性質求值域，考查二倍角公式以及兩角和的正弦公式，考查化歸與轉化思想，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）證明見解析，；（Ⅲ）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）直接給n賦值求出，的值；（Ⅱ）利用項和公式化簡，再利用定義法證明數列是等比數列，即得等比數列的通項公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比數列求和證明不等式.【詳解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．證明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，從而當時，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．數列是以2為首項，以為公比的等比數列，則.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因為當時，，所以.于是.【點睛】本題主要考查等比數列性質的證明和通項的求法，考查等比數列求和和放縮法證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用即可證明；（2）由面面垂直的性質即可證明．【詳解】證明：（1）在四棱錐中，底面是矩形，，又平面，平面；平面；（2）側面底面，側面平面，，平面，平面【點睛】本題考查了空間線面平行、垂直的證明，屬于基礎題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用幾何條件可知，為直角三角形，且圓過原點，所以得知三角形兩直角邊邊長，求得面積；（2）由及原點O在圓上，知OCMN，所以,求出的值，再利用直線與圓的位置關系判斷檢驗，符合題意的解，最后寫出圓的方程．【詳解】（1）因為軸、軸被圓截得的弦分別為、，所以經過，又為中點，所以，所以，所以的面積為定值.（2）因為直線與圓交于兩點，，所以的中垂線經過，且過，所以的方程，所以，所以當時，有圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓交于點兩點，故成立；當時，有圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相交，故（舍去），綜上所述，圓的方程為.【點睛】本題通過直線與圓的有關知識，考查學生直觀想象和邏輯推理能力．解題注意幾何條件的運用可以簡化運算．20、（1）的單調遞減區間為（2）【解析】

（1）由二倍角公式和兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后得正弦函數的單調性求得減區間；（2）函數在區間上有兩個零點可轉化為函數與的圖像有兩個不同的交點.，利用函數圖象可求解．【詳解】（1）函數的最小正周期，故令，得故的單調遞減區間為（2）函數在區間上有兩個零點，即方程區間上有兩個不同的實根，即函數與的圖像有兩個不同的交點.，故，結合單調性可知，要使函數與圖像有兩個不同的交點，則，所以【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查零點個數問題．解決函數零點個數問題通常需要轉化與化歸，即轉化為函數圖象交點個數問題，大多數情況是函數圖象與直線交點個數問題．象本題，最后轉化為求函數的單調性