專題07立體幾何初步第22練簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1．（2023·天津·南開中學(xué)模擬）圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·天津市新華中學(xué)模擬）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱體積比是（

）A． B． C． D．3．（2023·遼寧·二模）如圖所示直三棱柱容器中，且，把容器裝滿水(容器厚度忽略不計(jì))，將底面BCFE平放在桌面上，放水過程中當(dāng)水面高度為AB的一半時(shí)，剩余水量與原來水量之比的比值為(

)A． B． C． D．4．（2023·河北保定·一模）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為（

）A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶35．（2023·上海閔行·二模）已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的___________倍.6．（2023·江蘇江蘇·一模）已知圓柱和圓錐的底面重合，且母線長相等，該圓柱和圓錐的表面積分別為，，則__________.1．（2023·全國·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·三模）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（

）A． B．2 C．3 D．3．（2023·福建省福州第一中學(xué)三模）已知，分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且，.，O分別為上?下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐的體積為18，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A．9 B．12 C．16 D．184．（2023·山東臨沂·三模）戰(zhàn)國時(shí)期的銅鏃是一種兵器，其由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積為（

）A． B．C． D．5．（2023·山東淄博·三模）若球的半徑為，一個(gè)內(nèi)接圓臺(tái)的兩底面半徑分別為和（球心在圓臺(tái)的兩底面之間），則圓臺(tái)的體積為（

）A． B．C． D．6．（2023·湖北·黃岡中學(xué)三模）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______7．（2023·湖南岳陽·模擬）某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個(gè)球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與包裝盒相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為，球形巧克力的半徑為，每個(gè)球形巧克力的體積為，包裝盒的體積為，則________8．（2023·湖北·模擬）表面積為的多面體的每一個(gè)面都與體積為的球相切，則這個(gè)多面體的體積為__________.9．（2023·山西呂梁·三模（文））已知球的一個(gè)截面面積為，若球上的點(diǎn)到該截面的最大距離為3，則球的表面積為__________．10．（2023·天津紅橋·二模）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一個(gè)截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為______.1．（2023·北京二中模擬）如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為（

）A．64π B．40π C．84π D．72π2．（2023·福建·三明一中模擬）已知一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于球O的半徑，則該圓柱的表面積與球O的表面積之比為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東泰安·模擬）在底面是正方形的四棱錐中，底面ABCD，且，則四棱錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·山東聊城·三模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東·華南師大附中三模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線長為2，底面圓直徑為，A，B，C為底面圓周上的三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，M為母線PC上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)A，B為底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，B．△PAB面積的最大值為C．當(dāng)△PAB面積最大值時(shí)，三棱錐C-PAB的體積最大值為D．當(dāng)AB為直徑且C為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為6．（2023·湖南師大附中三模）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體水槽，水面高度為2，水槽側(cè)面上有一個(gè)小孔E，點(diǎn)E到直線CD的距離為3，將該水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）至恰有水從小孔流出，則在傾斜過程中，下列說法正確的有（

）A．沒水的部分始終呈四棱柱形B．水面始終經(jīng)過水槽的外接球的球心C．水面的面積為定值D．E到桌面的最小距離為7．（2023·廣東廣州·三模）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，，且，則（

）A．該圓臺(tái)的高為B．該圓臺(tái)軸截面面積為C．該圓臺(tái)的體積為D．一只小蟲從點(diǎn)沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為8．（2023·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知空間四邊形，，，，，球心O在平面ABC上，且與直線PA、直線PB、直線PC都相切，則球O的半徑為__________．（直線與球面有唯一公共點(diǎn)稱為直線與球相切）9．（2023·河北·模擬）如圖，在正三棱柱中，與平面所成的角為，則該三棱柱外接球的表面積為___________.10．（2023·福建省福州第一中學(xué)三模）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為___________；若動(dòng)點(diǎn)M在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)M的軌跡長為___________.專題07立體幾何初步第22練簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1．（2023·天津·南開中學(xué)模擬）圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．答案:A解析：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面圓的半徑為R，高為2R，所以，解得：，則球的體積為故選：A2．（2023·天津市新華中學(xué)模擬）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱體積比是（

）A． B． C． D．答案:A解析：設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)椋裕蔬x：A3．（2023·遼寧·二模）如圖所示直三棱柱容器中，且，把容器裝滿水(容器厚度忽略不計(jì))，將底面BCFE平放在桌面上，放水過程中當(dāng)水面高度為AB的一半時(shí)，剩余水量與原來水量之比的比值為(

)A． B． C． D．答案:A解析：如圖，柱體體積公式是底面積乘高，高沒變，沒有水的部分底面積變?yōu)樵瓉淼模史懦鏊渴窃瓉硭康模Ｓ嗨渴窃瓉硭康模蔬x：A．4．（2023·河北保定·一模）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為（

）A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3答案:A解析：設(shè)球的半徑的r，依題意圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的側(cè)面積=，球的表面積為，其比例為1:1，故選：A.5．（2023·上海閔行·二模）已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的___________倍.答案:2解析：設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴(kuò)大為原來的4倍，則擴(kuò)大后的體積為，因?yàn)楦卟蛔儯鼠w積，即底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍，原來側(cè)面積為，擴(kuò)大后的圓柱側(cè)面積為，故側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍.故答案為：26．（2023·江蘇江蘇·一模）已知圓柱和圓錐的底面重合，且母線長相等，該圓柱和圓錐的表面積分別為，，則__________.答案:解析：設(shè)圓柱與圓錐的半徑均為，母線為，故，，所以，故答案為：.1．（2023·全國·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．答案:A解析：設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．2．（2023·浙江·三模）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（

）A． B．2 C．3 D．答案:C解析：從三視圖可以得到直觀圖為直六棱柱，如圖所示，在俯視圖中，可以求出底面積為，從正視圖和側(cè)視圖可知直六棱柱的高為1，所以該幾何體的體積是.故選：C.3．（2023·福建省福州第一中學(xué)三模）已知，分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且，.，O分別為上?下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐的體積為18，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A．9 B．12 C．16 D．18答案:D解析：分別過作圓柱的母線，連接，設(shè)圓柱的底面半徑為則三棱錐的體積為兩個(gè)全等四棱錐減去兩個(gè)全等三棱錐即，則圓柱的側(cè)面積為故選：D．4．（2023·山東臨沂·三模）戰(zhàn)國時(shí)期的銅鏃是一種兵器，其由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積為（

）A． B．C． D．答案:A解析：由題意，銅鏃的直觀圖如圖所示，三棱錐的體積，因?yàn)閳A柱的底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，所以圓柱的底面圓的半徑，所以圓柱的體積所以此銅鏃的體積為故選：A.5．（2023·山東淄博·三模）若球的半徑為，一個(gè)內(nèi)接圓臺(tái)的兩底面半徑分別為和（球心在圓臺(tái)的兩底面之間），則圓臺(tái)的體積為（

）A． B．C． D．答案:A解析：解：如圖，由題意可知，，，，則，，圓臺(tái)的高為，圓臺(tái)體積為．故選：A．6．（2023·湖北·黃岡中學(xué)三模）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______答案:解析：球的半徑為，，解得，圓柱的高為：．可得．故答案為：．7．（2023·湖南岳陽·模擬）某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個(gè)球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與包裝盒相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為，球形巧克力的半徑為，每個(gè)球形巧克力的體積為，包裝盒的體積為，則________答案:解析：由圖知，包裝盒的高為，因此，，又，所以.故答案為：8．（2023·湖北·模擬）表面積為的多面體的每一個(gè)面都與體積為的球相切，則這個(gè)多面體的體積為__________.答案:解析：解：因?yàn)榍虻捏w積為．設(shè)球的半徑為，所以，解．因?yàn)楸砻娣e為的多面體的每一個(gè)面都與體積為的球相切，所以球的半徑就是球心到多面體面的距離，所以多面體的體積為．故答案為：．9．（2023·山西呂梁·三模（文））已知球的一個(gè)截面面積為，若球上的點(diǎn)到該截面的最大距離為3，則球的表面積為__________．答案:解析：設(shè)球的半徑為，截面圓的半徑為到截面的距離為，則由題意得解得所以球的表面積為故答案為：10．（2023·天津紅橋·二模）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一個(gè)截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為______.答案:解析：設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻捏w積為，所以有，設(shè)兩個(gè)圓錐的高分別為，于是有且，所以有，設(shè)圓錐的底面半徑為，所以有，因此這兩個(gè)圓錐的體積之和為，故答案為：1．（2023·北京二中模擬）如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為（

）A．64π B．40π C．84π D．72π答案:D解析：解：設(shè)母線與底面的夾角，底面半徑，內(nèi)切球半徑，圓錐的高，則：，，圓錐的體積，而，，所以，又因?yàn)椋憾ㄖ邓裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，所以．故選：D．2．（2023·福建·三明一中模擬）已知一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于球O的半徑，則該圓柱的表面積與球O的表面積之比為（

）A． B． C． D．答案:C解析：設(shè)球的半徑為,則該圓柱的底面半徑為，高為所以圓柱的表面積為：,球的表面積為：則圓柱的表面積與球的表面積之比為故選：C3．（2023·山東泰安·模擬）在底面是正方形的四棱錐中，底面ABCD，且，則四棱錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．答案:B解析：解：由題意，設(shè)四棱錐內(nèi)切球的半徑為r，因?yàn)椋睦忮F的表面積，所以，所以四棱錐內(nèi)切球的表面積為.故選：B.4．（2023·山東聊城·三模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．答案:B解析：設(shè)球半徑為，圓錐的底面半徑為，若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，設(shè)母線為，則，所以直角圓錐的側(cè)面積為：，可得：，，圓錐的高，由，解得：，所以球的體積等于，故選：B5．（2023·廣東·華南師大附中三模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線長為2，底面圓直徑為，A，B，C為底面圓周上的三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，M為母線PC上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)A，B為底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，B．△PAB面積的最大值為C．當(dāng)△PAB面積最大值時(shí)，三棱錐C-PAB的體積最大值為D．當(dāng)AB為直徑且C為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為答案:ACD解析：對(duì)于A，記圓錐底面圓心為O，，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則截面三角形的面積，故B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B中推理可知，此時(shí)，所以點(diǎn)C到AB的距離的最大值為，從而可知三棱錐C-PAB的體積最大值為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由題意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，進(jìn)而，記PC邊上的高為h（垂足為Q），則，所以，當(dāng)M與Q重合時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD．6．（2023·湖南師大附中三模）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體水槽，水面高度為2，水槽側(cè)面上有一個(gè)小孔E，點(diǎn)E到直線CD的距離為3，將該水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）至恰有水從小孔流出，則在傾斜過程中，下列說法正確的有（

）A．沒水的部分始終呈四棱柱形B．水面始終經(jīng)過水槽的外接球的球心C．水面的面積為定值D．E到桌面的最小距離為答案:AB解析：設(shè)水面與棱交于點(diǎn)，與棱交于點(diǎn)，與棱交于點(diǎn)，與棱交于點(diǎn)，由四棱柱的定義，幾何體為直四棱柱，故A正確；水槽繞CD傾斜至恰有水從小孔流出過程中，水的體積不變，，所以線段分別恒過正方形的中心，即水面恒過正方體體心，又因?yàn)檎襟w體心為其外接球球心，B顯然正確；對(duì)于C選項(xiàng)：水面的面積，由于不為定值，所以水面面積不為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)；易知水槽繞CD傾斜至恰有水從小孔流出時(shí)E到桌面的距離最小，如圖，桌面，到桌面的距離等于到桌面的距離，，故D錯(cuò)誤.故選：AB.7．（2023·廣東廣州·三模）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，，且，則（

）A．該圓臺(tái)的高為B．該圓臺(tái)軸截面面積為C．該圓臺(tái)的體積為D．一只小蟲從點(diǎn)沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為答案:BCD解析：如圖，作交于，易得，則，則圓臺(tái)的高為，A錯(cuò)誤；圓臺(tái)的軸截面面積為，B正確；圓臺(tái)的體積為，C正確；將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中，設(shè)為中點(diǎn)，圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形，由可得，則，，又，則，即