廣東省廣州增城市2024年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在AABC中，a,dc分別為所對的邊，^^f（x）=^x3+bx2+（a2+c2-ac）x

+1有極值點，則的范圍是（）

2.已知命題p:元<2加+l,q:%2一5犬+6<0,且2是4的必要不充分條件，則實數(shù)加的取值范圍為（）

11

A.m>—B.m>—C.m>lD.m>l7

22

丫2

3.已知耳，￡是雙曲線y2=i（〃〉o）的兩個焦點，過點片且垂直于1軸的直線與。相交于A,B兩點，若

\AB\=42,則AABF2的內(nèi)切圓半徑為（）

A,也R出「3近D.正

3333

4.計算/og21.n5〃)^^

sin—cos—1等于()

3322

A.——B.-C.——D.-

33

5.已知函數(shù)=［置2（：l），x>L則/［/（_2）］=（）

,?A-—

A.1B.2C.3D.4

已知雙曲線c：123

6.-A=1(。>0,6>0)的漸近線方程為y=?—x,且其右焦點為（5,0）,則雙曲線C的方程為（)

ab4

22

D/

A.乙-乙=1B-cY

9163443

7.在正方體ABC。—4月GA中，點石，F(xiàn),G分別為棱AA，RD,4月的中點，給出下列命題：①AC]LEG；

71

②GC//ED③5c平面8GG；④階和即成角為“正確命題的個數(shù)是()

A.0c.2D.3

6

8.+-I的展開式中的常數(shù)項為()

x

A.-60B.240C.-80D.180

9.歐拉公式為*=cosx+isinx,(i虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù),

建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e至表

示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.已知函數(shù)/(x)=3sin(+>0,0<0<兀)，若/0,對任意xeR恒有/(%)W,在

71兀

上有且只有一個王使/(石)=則。的最大值為(

區(qū)間15"~53,)

123111105117

A.B.——C.D.

~T4~4~

11.設(shè)i是虛數(shù)單位，貝！1(2+3。(3-2。=()

A.12+51B.6-6iC.5iD.13

12.已知函數(shù)/(x)=ln%-@+a在xe[l,e]上有兩個零點，則。的取值范圍是()

X

A.士TB.C.士TD.[-1,e)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知兩個單位向量a,b滿足則向量4與6的夾角為.

14.(x+l)(x-2)6展開式中%2的系數(shù)為

15.已知正四棱柱的底面邊長為3cm,側(cè)面的對角線長是3j$cm,則這個正四棱柱的體積是cm3.

16.AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,若2ccosB=2a+b,則NC=

解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(%)=|%—3|+|%—1].

(1)若不等式/(x)Kx+根有解，求實數(shù)加的取值范圍；

(2)函數(shù)/(%)的最小值為〃，若正實數(shù)〃，b,。滿足Q+Z?+C=〃，證明：4ab+be+ac>Sabc.

x=3+4/

18.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中，直線/的參數(shù)方程為<°.,。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半

[y=-2+3t

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2+2夕cos。-8=0.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點。是直線/的一點，過點0作曲線C的切線，切點為Q,求歸。|的最小值.

19.(12分)以直角坐標(biāo)系x0y的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，且兩坐標(biāo)系取相同的長度單位.已知曲線C的

x=4+3cos9

參數(shù)方程：\.八(。為參數(shù))，直線/的極坐標(biāo)方程：6>=a(?e[0,^),pe7?)

y=3+3sin，

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線。交于A、B兩點,求|。4|+|。河的最大值.

x=2+2cosa

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為〈0.(戊為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為極點，x

y=2sincu

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為夕sin(e+j)=等.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點M(0,l),若直線/與曲線C相交于A、B兩點,求的值

21.(12分)在，ABC中，內(nèi)角A氏C的對邊分別是a,dc,滿足條件c=2b-伍,C=工.

4

(1)求角A；

(2)若ABC邊AB上的高為石，求AB的長.

22.(10分)已知函數(shù)/(X)=e*+ax,g(x)=e*lnx.

(1)若對于任意實數(shù)％之0,/(力>0恒成立，求實數(shù)。的范圍；

(2)當(dāng)a=—1時，是否存在實數(shù)無[Le],使曲線C：y=g(x)—“X)在點尤。處的切線與V軸垂直？若存在，求

出無。的值；若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

試題分析：由已知可得/'(尤)=-+2法+(a?+o2_a,=°有兩個不等實根

=4>A=4b2-4(。2+c2—ac)>0a2+c2-Z?2<ac=>cosB=；———<；=>3e,兀］.

考點：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.

【方法點晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯

思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為

/'(%)=尤2+2法+(4+—ac)=0有兩個不等實根,從而可得

A=4人2-4(?2+c2-ac)>0=>?2+c2-&2<acncosB="———<—=>5e］?，兀］.

'，lac2UJ

2、D

【解析】

求出命題q不等式的解為2(尤<3,。是q的必要不充分條件，得q是。的子集，建立不等式求解.

【詳解】

解：命題〃：x<2根+1，4：/一5%+6<0,即：2<x<3,

。是q的必要不充分條件，

.,.(2,3)=(=?,2m+1,),

:.2m+l>3,解得"21.實數(shù)僧的取值范圍為切21.

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：

⑴解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式(組)求解.

⑵求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.

3、B

【解析】

首先由|A5|=行求得雙曲線的方程，進而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意6=1將x=-c代入雙曲線C的方程，得y=±—則一=12,4={2,。=，3,由

aa

\AF2\-\AF]\=\BF2\-\BFl\=2a=242,^^ABF2的周長為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AFl\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=6y/2,

設(shè)AABK的內(nèi)切圓的半徑為廠，則工x60r=Lx26x0,r=3,

223

故選：B

紂

\

【點睛】

本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.

4、A

【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.

【詳解】

原式=l0g2中xcos(2〃—=log2^xcosM=log2=log22^_3

--

乙\DJ乙\JJ乙乙2,

故選：A

【點睛】

本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出了(-2),進而可求出/[/(-2)].

【詳解】

由題意可得4―2)=32=9,則/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故選:C.

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的值，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6^B

【解析】

I)3X2-V2

試題分析：由題意得一=：,c2=a-+b2=25,所以a=4,b=3,所求雙曲線方程為上―乙=1.

a4169

考點：雙曲線方程.

7、C

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數(shù).

【詳解】

設(shè)正方體邊長為2,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，A(2,0,0),q(0,2,2),G(2,l,2),

C(0,2,0),E(l,0,2),D(0,0,0),JB1(2,2,2),F(0,0,l),JB(2,2,0).

①，=(—2,2,2),EG=(l/,0),AG-￡G=—2+2+0=0,所以AC1，EG,故①正確.

②，GC=(-2,1,-2),ED=(-1,0,-2),不存在實數(shù)彳使GC=丸紅＞,板GCIIED不成立,故②錯誤.

③，BXF=(-2,-2,-1),=(0,-1,2),BCX=(-2,0,2),“麻=0,即.%=2w0,故即F平面不

成立，故③錯誤.

EF?BB[

④,EF=(—1,0,—1),54=(0,0,2),設(shè)即和3耳成角為0,則cos8=由于

\EF[\BB]

,所以9=5,故④正確?

綜上所述，正確的命題有2個.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8、D

【解析】

求（d—的展開式中的常數(shù)項，可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和《項，再求和即可得出答案.

【詳解】

由題意，中常數(shù)項為=60,

：中《項為圖可0=2嗎,

所以（丁―的展開式中的常數(shù)項為：

X3x240^-1x60=180.

x

故選：D

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和二項式展開式的通項公式，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

計算=cos2+isin工得到答案.

3322

【詳解】

根據(jù)題意d*=cosx+isinx,故e?=cos—+zsin—=—H———z,表示的復(fù)數(shù)在第一象限.

3322

故選：A.

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.

10、C

【解析】

IJTJT\

根據(jù)/(%)的零點和最值點列方程組，求得私。的表達式(用人表示)，根據(jù)〃下)在石,W上有且只有一個最大值,

求得0的取值范圍，求得對應(yīng)攵的取值范圍，由左為整數(shù)對左的取值進行驗證，由此求得。的最大值.

【詳解】

兀73(24+1)

---CD~\~(p—CD=------

3

由題意知＜匕,公eZ,貝卜,4其中左=匕一匕，k'=k'+k、.

兀,兀(2左'+1)兀

+/=42兀+'，

9=-4—，

上有且只有一個最大值，所以工—烏=@〈2丁，得0＜。＜30,即3(2k+1)?30,所以

515154

左＜19.5,又左eZ,因此左V19.

717

---G)+(p=女］兀，

11r7Q兀兀

①當(dāng)左=19時，co=——，此時取。二』可使＜3成立，當(dāng)xe

15"~5時,

44兀,71

—a)+(p=k2Ti+—,

—%+ye(2.771,6.6^),所以當(dāng)(匹=4.5兀或6.5兀時，〃%)=3都成立，舍去;

兀7

---CD-\-(P—與冗,

②當(dāng)左=18時，。=工，此時取e=二可使＜3成立，當(dāng)xe兀兀時,?+臬

9(2.1兀,5.8兀),

44兀7兀15744

§口+/=&兀+萬，

所以當(dāng)一匹+：=2.5兀或4.5兀時，/(%)=3都成立，舍去;

兀7

---(p—左］兀，

③當(dāng)％=17時'由及'此時取展+可使'3成立，當(dāng)xe兀兀1053兀

時,-------XH--------G(2.571,671),

兀,兀159?44

+/兀+于

所以當(dāng)學(xué)玉+亍=4.5兀時，/(%)=3成立；

綜上所得。的最大值為U曳.

4

故選:C

【點睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)

學(xué)思想方法，屬于中檔題.

11、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運算可求得結(jié)果.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的乘法法則得(2+3z)(3-2z)=6+5Z-6Z2=12+5Z.

故選：A.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類討論，分別求得函數(shù)/(九)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點處的函數(shù)值進行判斷求解.

【詳解】

:+/=］?國.

當(dāng)1時，/(%)在［l,e］上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)aK—e時，/f(%)<0,/(尤)在［1,6］上單調(diào)遞減，也不合題意.

當(dāng)—e<a<—l時，則時，/'(九)<0,/(%)在［1,一。)上單調(diào)遞減，xe(—a,e］時，/,(%)>0,/(九)在

(—a,e］上單調(diào)遞增，又/⑴=0,所以“力在xe［l,e］上有兩個零點，只需/(e)=l—/+a?0即可，解得

e

-----V〃<-1?

1-e

綜上，。的取值范圍是-^-,-11.

Ll-e)

故選C.

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

3

【解析】

--1

由|a+〃|=|a|得cos〈a力〉=—Q,即得解.

【詳解】

由題意可知|a\=\b\=\,貝！)|a+/＞『=2+2a?5=

解得。必=一,，所以cos〈a,Z?〉=一，，

22

27r

向量。與b的夾角為

2

故答案為：y

【點睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

14、48

【解析】

變換(x+l)(x—2)6=%(%—2)6+(l—2)6,根據(jù)二項式定理計算得到答案.

【詳解】

6rr666

(尤―2)6的展開式的通項為：7；+1=C；x--(-2),(X+1)(X-2)=X(X-2)+(X-2),

取r=5和r=4,計算得到系數(shù)為：C；?(一2丫+或?(—2)4=48.

故答案為：48.

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

15、54

【解析】

Aa設(shè)正四棱柱的高為h得到的+后==勿=6,故得到正四棱柱的體積為7=9x6=54.

故答案為54.

16、120°

【解析】

*/2ccosB=2a+Z?,2cx---------------=2a+b,即a1+b2-c2—cibf

lac

a2+/-2

:.cosC=c：.C=120°.

lab2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)［-l,+oo)(2)見解析

【解析】

⑴分離機得到g(x)=/(九)—x=|x-3|+|x—l|-x,求g(x)的最小值即可求得〃z的取值范圍；(2)先求出"，得到

a+b+c=2,利用乘"1"變化即可證明不等式.

【詳解】

-3x+4,x<1

解：(1)設(shè)g(%)=/(%)_%=k_3|+|%_1_x=<_尤+2,1<%<3,

x-4,x>3

???g(%)在(-8,3］上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增.

故g(%)min=g(3)=一1.

???且":)4根有解，???加2—1.

即加的取值范圍為［-1,+8).

(2)/(x)Hx-3|+|x-l|>|(x-3)-(x-l)|=2,當(dāng)且僅當(dāng)14%V3時等號成立.

.?.〃=2,即a+/?+c=2.

,74〃4bce

V(ez+Z?+c)—+—+—=l+—+——+l+—+——+4z+l—+—

\abc)bcacab

/ab4ac4bc、1「

=6+—+—+——+—+—+—>16.

bacacb

當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=~,c=l時等號成立.

22

II4

—H----F—>8,即4a/?+〃。+。。力8。)。成立.

abc

【點睛】

此題考查不等式的證明，注意定值乘，T變化的靈活應(yīng)用，屬于較易題目.

18、(1)3%—4y—17=0,(x+l)2+/=9；(2)見解析

【解析】

(1)消去t,得直線/的普通方程，利用極坐標(biāo)與普通方程互化公式得曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)判斷/與圓4相離,

連接在放AAPQ中，怛IAQF242—32=7,即可求解

【詳解】

元=3+4%

(1)將/的參數(shù)方程—cC(，為參數(shù))消去參數(shù)，得3x-分-17=0.

[y=-2+3t

X=pcosdc

因為〈,夕？+22cos6-8=0,

y=psinO

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x+l『+y2=9.

(2)由(1)知曲線C是以(—1,0)為圓心，3為半徑的圓，設(shè)圓心為4,

1-3-171

則圓心A到直線I的距離d=J------L=4〉3,

5

所以/與圓A相離，且|出".

連接AQ,AP,在放AAPQ中，怛Q|2=|R4『—|AQ/"2—32=7,

所以，|PQ|之有，即歸0的最小值為近.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)與普通方程互化，直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題

19、(1)02-8夕cos6-6夕sin8+16=0；(2)10

【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程;

(2)將，代入曲線C的極坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得與+22，夕122,進而得到

\O^+\OB\=\PlI+|p21=10|sin(?+^>)|,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

x=4+3cos6、，公

(1)由題意，曲線C的參數(shù)方程為...八(。為參數(shù))，

y=3+3sin，

消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為(x—4)2+(y—3)2=9,即/+8x—6y+16=0,

又由x=pcos0,y=psin0,x~+y2=p1,

代入可得曲線。的極坐標(biāo)方程為02一82cos6—62sine+16=0.

(2)將。=。(。￡[0,乃))代入夕2_8Qcos9-6/7sine+16=0,

夕1+R=8cosa+6sincr

得夕2—(8cosa+6sina)夕+16=0,即<

4P2=16〉0

所以+=回+|/721T8cosa+6sinM=10卜皿。+砌,

4TC

其中tan0=—,當(dāng)a+0=一時，|O4|+|。同取最大值，最大值為10.

32

【點睛】

本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，著重考查

了運算與求解能力，屬于中檔試題.

20、(1)C的普通方程為(x—2)2+寸=4,/的直角坐標(biāo)方程為x+y=l；(2)36.

【解析】

pcos3=x

(1)在曲線。的參數(shù)方程中消去參數(shù)。可得出曲線C的普通方程，利用兩角和的正弦公式以及.八可將直

psmc/=y

線I的極坐標(biāo)方程化為普通方程；

[6

x_-----1t

2

(2)設(shè)直線/的參數(shù)方程為￡la為參數(shù))，并設(shè)點4、3所對應(yīng)的參數(shù)分別為6、%,利用韋達定理可

I2

求得|舷4|+|〃6|=匐+囿的值.

【詳解】

%=2+2cosa

(1)由1,得x—2=2cose,y=2sin。，

y=2sina

???曲線C的普通方程為(x-2)2+丁=4,

由夕sin[e+71?)=乎，

得夕5也夕+夕(：05。=：1,二直線/的直角坐標(biāo)方程為％+丁=1；

4

_A/2

x-------1

2

(2)設(shè)直線/的參數(shù)方程為廣a為參數(shù))，

E+2

2

代入(x—2)?+y2=4,得/+3"+1=0,則A=18—4=14>0,

設(shè)A、6兩點對應(yīng)參數(shù)分別為:、t2>+r2=-3A/2<0,32=1>°，

<0,與<0，阿+|岫=11|+卜2|=，1+胃=3拒.

【點睛】

本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，考查計算能

力，屬于中等題.

21、(1)j.(2)2G-2

【解析】

(1)利用正弦定理的邊角互化可得sinC=2sinB—gsinA，再根據(jù)3=%-A—C=萬-A+f,利用兩角和的

正弦公式即可求解.

L71

(2)已知09=6，由A=一知AT)=1,在ABDC中,解出BD即可.

3

【詳解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-&sinA

由己知C=?,而5=〃_A_C=〃_]A+￡]

=2sin(A+(1—0sinA

=A+^^sinA-\/2sinA

=A/2COSA

“1,n

cosA=—,A=一

23

(2)已知CD=6，

TC

則由A=§知AD=1

5CD

B=7i—A—C=—