備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（全國(guó)卷專用）黃金卷01（文科）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解絕對(duì)值不等式求出集合，最后根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得或，所以或，則，由，則，解得，所以，所以.故選：C2．在中，點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及平行四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，設(shè)的對(duì)角線的交點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以點(diǎn)，即點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故其共軛復(fù)數(shù).故選：B3．已知函數(shù)（且），則其大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】計(jì)算出時(shí)，，排除A；時(shí)，，排除D；，C正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，故，排除A；當(dāng)時(shí)，，，故，排除D，，，則，故，C正確，B錯(cuò)誤.故選：C4．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，分別標(biāo)記兩次骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)，則事件“兩次正面朝上的點(diǎn)數(shù)之積大于8”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】列舉法求解相應(yīng)的概率.【詳解】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次的結(jié)果用有序數(shù)對(duì)表示，其中第一次在前，第二次在后，不同結(jié)果如下：，共36個(gè)．不滿足條件的有共16個(gè)，所以滿足條件的有個(gè)，所以概率為，故選：B5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸【答案】C【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺(tái)的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】

如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.6．已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．或2 D．【答案】D【分析】先確定所在的象限，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角的正切公式求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系化弦為切即可得解.【詳解】由題意，得角是第二象限角，則，故，當(dāng)時(shí)，，為第一象限角，當(dāng)時(shí)，，為第三象限角，所以是第一象限角或第三象限角，則，又因?yàn)椋曰颍ㄉ崛ィ裕蔬x：D．7．已知命題p：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立，命題q：關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根.若為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出命題分別為真命題時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，再由為真命題，可知至少有一個(gè)為真命題，從而可求得結(jié)果【詳解】對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，則由對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立，得，解得，綜上，當(dāng)命題為真命題時(shí)，，對(duì)于命題，由有實(shí)數(shù)根，得，解得，因?yàn)闉檎婷}，所以至少有一個(gè)為真命題，若都為假命題，則，得，所以當(dāng)時(shí)，至少有一個(gè)為真命題，即為真命題，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：C8．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，作y軸，過(guò)A，B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，由梯形中位線得到，然后求得r，進(jìn)而得到，然后，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】解：如圖所示：

設(shè)，作y軸，過(guò)A，B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，則，所以，則，即，解得或（舍去），則，設(shè)，由，消去y得，則，解得，所以直線方程為，即，故選：A9．已知，給出下列結(jié)論：若，，且，則；存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；若，則在上單調(diào)遞增；若在上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式得，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】①由題意可得，由，，且得兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，所以，解得，故①錯(cuò)誤；②的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，若關(guān)于軸對(duì)稱，則，即，解得，所以當(dāng)時(shí)符合題意，故②正確；③當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；④設(shè)，當(dāng)時(shí)，，在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故④錯(cuò)誤．故選：A．10．在平面四邊形中，，則的最大值為（

）A． B．C．12 D．15【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出C的軌跡方程，根據(jù)向量數(shù)量積及C點(diǎn)坐標(biāo)的范圍得最值.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋裕矗O(shè)，由可知，點(diǎn)的軌跡為外接圓的一段劣弧，且，即外接圓半徑，設(shè)外接圓的方程為，代入點(diǎn)可得，，解得或（舍去），即點(diǎn)的軌跡方程為，所以，即，又，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在劣弧上，滿足題意，故的最大值為12.故選：C11．設(shè)是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和，若一個(gè)數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則稱數(shù)列為和諧數(shù)列，判斷下列2個(gè)命題的真假：（

）①若等差數(shù)列是和諧數(shù)列，則一定存在最小值；②若的首項(xiàng)小于零，則一定存在公比為負(fù)數(shù)的一個(gè)等比數(shù)列是和諧數(shù)列.A．①假命題，②真命題 B．①假命題，②假命題C．①真命題，②假命題 D．①真命題，②真命題【答案】D【分析】對(duì)于①：根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合可得，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于②：可以取一個(gè)公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列說(shuō)明其存在性即可.【詳解】對(duì)于①：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，即為公差為的等差數(shù)列，若為和諧數(shù)列，則，即，則，所以關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向上，所以在上一定存在最小值，所以①正確;對(duì)于②：取，則，且,為和諧數(shù)列等價(jià)于，證明上述不等式即說(shuō)明存在公比為負(fù)數(shù)的一個(gè)等比數(shù)列是和諧數(shù)列,即證，即證，當(dāng),上式左邊為負(fù)數(shù),顯然成立；當(dāng)時(shí)，即證，即證，（*）設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，可得，即（*）式成立，所以②正確.故選：D.12．設(shè)函數(shù)，，在上的零點(diǎn)分別為，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得出，，，再根據(jù)，可得，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖谑沟茫裕驗(yàn)椋獾茫海?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，，所以存在使得，所以最大，因?yàn)椋裕蔬x：B．第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．已知是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則與的夾角是．【答案】/【分析】分別求出與的數(shù)量積與各自的模，利用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】由題是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,所以設(shè)夾角大小為，則，所以.故答案為：14．將邊長(zhǎng)為2的等邊沿邊中線折起得到三棱錐，當(dāng)所得三棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，三棱錐體積最大，利用等體積法：，從而可求解.【詳解】由題意知：當(dāng)時(shí)，三棱錐有最大體積，此時(shí)：，所以：，，因?yàn)椋裕?故答案為：.15．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，且，則.【答案】【分析】利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意，，則由正弦定理可得，∵，∴，∴，又∵，則，∴，∴.又由，可得：，則，∴，即，則，∴，即，由解得：，∴由解得：，.∴由正弦定理可得：，解得：，，∴.故答案為：16．已知函數(shù)的定義域均為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則；．【答案】【分析】①利用是奇函數(shù)，求出即可；②結(jié)合是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，以及條件求出函數(shù)為周期函數(shù)，再利用賦值法，結(jié)合，求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值，進(jìn)而利用周期求出即.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以即，由，又，所以，又是偶函數(shù)，，即，，，由，所以，①即，②②①：，所以函數(shù)的周期為4，所以由，則令時(shí)，，再令時(shí)，，所以，由，所以由所以，故答案為：；.三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，當(dāng)時(shí)，是4的常數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列，即是4的常數(shù)列，故， 1分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 3分∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列，，， 5分. 6分（2）， 8分∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和為 10分 12分18．（12分）第三十一屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕．來(lái)自113個(gè)國(guó)家和地區(qū)的6500名運(yùn)動(dòng)員在此屆運(yùn)動(dòng)會(huì)上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團(tuán)結(jié)、友誼的新篇章．外國(guó)運(yùn)動(dòng)員在返家時(shí)紛紛購(gòu)買紀(jì)念品，尤其對(duì)中國(guó)的唐裝頗感興趣．現(xiàn)隨機(jī)對(duì)200名外國(guó)運(yùn)動(dòng)員（其中男性120名，女性80名）就是否有興趣購(gòu)買唐裝進(jìn)行了解，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：有興趣無(wú)興趣合計(jì)男性運(yùn)動(dòng)員8040120女性運(yùn)動(dòng)員404080合計(jì)12080200(1)是否有99%的把握認(rèn)為“外國(guó)運(yùn)動(dòng)員對(duì)唐裝感興趣與性別有關(guān)”；(2)按分層抽樣的方法抽取6名對(duì)唐裝有興趣的運(yùn)動(dòng)員，再?gòu)闹腥我獬槿?名運(yùn)動(dòng)員作進(jìn)一步采訪，求抽取的兩名運(yùn)動(dòng)員恰好是一名男性和一名女性的概率．參考公式：臨界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)沒(méi)有的把握認(rèn)為“外國(guó)運(yùn)動(dòng)員對(duì)唐裝感興趣與性別有關(guān)”(2)【詳解】（1）提出假設(shè)外國(guó)運(yùn)動(dòng)員對(duì)唐裝感興趣與性別無(wú)關(guān)， 1分由已知 4分故沒(méi)有的把握認(rèn)為“外國(guó)運(yùn)動(dòng)員對(duì)唐裝感興趣與性別有關(guān)” 6分（2）按分層抽樣的方法抽取6名對(duì)唐裝有興趣的運(yùn)動(dòng)員，則其中男性運(yùn)動(dòng)員4名，記為A、B、C、D，女性運(yùn)動(dòng)員2名，記為， 7分從6人中隨機(jī)抽取兩人，有，共15個(gè)基本事件， 9分其中滿足抽取的兩名運(yùn)動(dòng)員恰好是一名男性和一名女性的有，，共8個(gè)基本事件， 11分抽取的兩名運(yùn)動(dòng)員恰好是一名男性和一名女性的概率為 12分19．（12分）已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，，E為PD中點(diǎn).

(1)求證：平面PAB；(2)設(shè)平面EAC與平面DAC的夾角為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：

取中點(diǎn),連, 1分是中點(diǎn),∴且,又∵且.∵且, 3分∴四邊形為平行四邊形，, 4分又∵平面，?平面，∴平面． 5分（2）取中點(diǎn)，連，過(guò)作交于，連, 6分∵分別是中點(diǎn)，∴，又∵平面．∴⊥平面,平面,∴，又∵，平面，∴⊥平面，平面， 8分∴，∴是平面與平面的夾角的平面角. 9分∴.,∴. 11分∴ 12分20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）因?yàn)椋运詸E圓的方程為. 2分因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以. 4分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 5分（2）存在定點(diǎn)，使.理由如下： 6分由（1）知，，則點(diǎn).設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使成立.當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線右焦點(diǎn)的直線即軸與交于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，若，則，或. 7分當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，.由消去并整理，得，則. 9分因?yàn)椋裕裕?所以，即，恒成立，即對(duì)，恒成立，則，即. 11分又點(diǎn)滿足條件.綜上所述，故存在定點(diǎn)，使. 12分

21．（12分）（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在[上存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上為增函數(shù)，即在上恒成立， 1分所以在上恒成立，即在上恒成立， 3分又（僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)）， 4分故a的取值范圍為； 5分（2）在上存在，，使成立，即當(dāng)時(shí)， 6分又，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，由（1）知，因?yàn)椋值呐袆e式， 7分①當(dāng)時(shí)，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，即，得，又，所以； 9分②當(dāng)時(shí)，的兩根為，，此時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增．由①知，所以 11分綜上，a的取值范圍為． 12分（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)）．(1)將的參數(shù)方程化為普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．若射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用消參法與完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；（2）分別求得的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立射線，從而得到，，進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則，， 2分兩式相減，得的普通方程為：；曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以的普通方程為：. 5分（2）因?yàn)椋郧€的極坐標(biāo)方程為，即，聯(lián)立，得，所以射線與曲線交于A， 7分而的普通方程，可化為，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，