連續系統的時域分析研究的主要內容是基于信號時域分解的思想，利用線性時不變系統的特性，得到線性時不變連續系統在任意激勵作用條件下的零狀態響應等于系統的沖激響應和激勵信號的卷積積分。第二章

連續時間信號與系統時域分析本章重點和難點重點：1）熟練掌握典型信號的定義與性質，微分方程的建立與求解；2）深刻理解系統的特征多項式、特征方程、特征根的意義及求解；3）單位沖激響應與單位階躍響應的意義及求解；4）零輸入響應和零狀態響應；5）自由響應和強迫響應，瞬態響應和穩態響應難點：掌握卷積積分的定義、運算規律及主要性質，并會應用卷積積分法求線性時不變系統的零狀態響應。第二章連續時間信號與系統的時域分析本章教學內容FFFFFFF常用典型信號連續時間信號的分解連續時間系統的數學模型連續時間系統的時域模擬連續時間系統的響應單位沖激響應卷積一．實指數信號函數表示式為：

圖2.1實指數信號的波形2.1常用典型信號二．復指數信號函數表示式為:由歐拉公式，可得

圖2.2復指數信號實部和虛部的波形根據、的不同取值，復指數信號可表示為下列幾種特殊信號：1．當時，為直流信號；2．當而時，為實指數信號；3．當而時，稱為正弦指數信號，的周期信號。不難證明是周期為三．抽樣信號抽樣信號定義為圖2.3抽樣信號可以看出，（1）為偶函數；（2）當時，的振幅衰減趨近于0；，（k為整數）；（3）信號滿足：

四、單位階躍函數

2.1常用典型信號奇異函數——是指函數本身或其導數（或積分）具有不連續點的函數。此函數在t=0處不連續，函數值未定義。1.定義2.可代替電路中的開關，故又稱為開關函數3.給函數的表示帶來方便tt

(a)(b)

(c)五、單位脈沖函數1、定義2.

=+六、符號函數Sgn(t)2.1.定義七、單位斜變函數R(t)

1.定義八.

（1）1、定義unitimpulsefunction或2.的基本性質

(1)篩選性:設f(t)為一連續函數，則有(2)是偶函數(證明參看p22)(3)沖激函數的積分等于階躍函數九、1、定義tt2、引入廣義函數后，瞬息物理現象則可由奇異函數來描述，例如：

例1.有始周期鋸齒波的分解2.2連續時間信號分解

分解——將時間函數用若干個奇異函數之和來表示。

例2.任意函數表示為階躍函數的積分(例2.4)FF動畫演示

例3.任意函數表示為沖激函數的積分.(例2.3)FF動畫演示

一、線性時不變系統的分析方法第一步：建立數學模型第二步：運用數學工具去處理第三步：對所得的數學解給出物理解釋，賦予物理意義。

例一：對圖示電路列寫電流的微分方程。2.3連續時間系統的數學模型

解：由兩類約束關系，分別列兩回路方程得：回路1的KVL方程：電阻R的伏安關系：整理后得：回路2的KVL方程：例2.對圖示電路，寫出激勵e(t)和響應r(t)間的微分方程。解：由圖列方程

KCL:KVL:將（2）式兩邊微分，得將（3）代入（1）得*由以上例題可以得出如下結論：1.求得的微分方程階數與電路的階數一致。例一：含有4個儲能元件，故為四階電路。例二：含有2個儲能元件，故為二階電路。2.無論是電流i(t)或電壓U（t）,他們的齊次方程相同。說明同一系統的特征根相同，即自由頻率是唯一的。

二、描述連續時間系統激勵與響應關系的數學模型。

一般，對于一個線性系統，其輸入與輸出之間關系，總可以用下列形式的微分方程來描述：n階常系數微分方程三、n階常系數微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order全響應=齊次方程通解+非齊次方程特解（自由響應）（受迫響應）全響應=零輸入響應+零狀態響應（解齊次方程）（疊加積分法）

時域分析法（經典法）變換域法（第五章拉普拉斯變換法）微分方程求解2.4連續時間系統的時域模擬加法器:標量乘法器:乘法器：延時器：初始條件為零的積分器初始條件不為零的積分器

描述LTI連續系統激勵與響應關系的數學模型是n階線性常系數微分方程。上式縮寫為：2.5連續時間系統的響應令

表2.1不同特征根所對應的齊次解式中常數由初始條件確定。特解是滿足微分方程并和激勵信號形式有關的解。表2.2列出了幾種激勵及其所對應特解的形式。備注B（常數）AA（待定常數）

不等于特征根

等于特征單根

重特征根

所有特征根均不等于零

重等于零的特征根激勵特解或等于A有所有特征根均不等于例描述某系統的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）當f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=－1時的全解；（2）當f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0,其特征根λ1=–2，λ2=–3。

齊次解為yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2.2可知，當f(t)=2e–t時，其特解可設為YP(t)=Pe–t將其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1于是特解為yp(t)=e–t全解為：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常數C1,C2由初始條件確定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1

–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t

–2e–3t+e–t,t≥0（2）齊次解同上。當激勵f(t)=e–2t時，其指數與特征根之一相重。由表2.2知：其特解為

yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得

P1e-2t=e–2t,所以P1=1

但P0不能求得。全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解為

y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一項的系數C1+P0=2，不能區分C1和P0，因而也不能區分自由響應和強迫響應。三．零輸入響應和零狀態響應自由響應強迫響應零輸入響應零狀態響應零狀態響應的齊次解自由響應式中零輸入響應兩種分解方式的區別：1、自由響應與零輸入響應的系數各不相同與不相同由初始狀態和激勵共同確定由初始狀態確定2、自由響應包含了零輸入響應和零狀態響應中的齊次解

對于系統響應還有一種分解方式，即瞬態響應和穩態響應。所謂瞬態響應指時，響應趨于零的那部分響應分量；而穩態響應指時，響應不為零的那部分響應分量。1.定義：當激勵為單位沖激函數時，系統的零狀態響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用h(t)表示。零狀態2.6單位沖激響應一.沖激響應2.h(t)的求解方法例1.描述某系統的微分方程為:試求該系統的沖激響應h(t)。解：由沖激響應的定義，當e(t)=時，試求該系統的沖激響應h(t)。解：二、階躍響應1.定義2.g(t)的求解方法另外：解2.7卷積系統零狀態響應的求解卷積積分定義卷積積分性質本節通過信號分解的思想，把任意信號為沖激信號的疊加，得到線性時不變系統的零狀態響應為輸入信號與系統沖激響應的卷積積分。定義：作用于系統時的零狀態響應為一、零狀態響應時域分析法LTILTI任意信號e(t)表示為沖激函數疊加.FLTI定義：激勵信號e(t)作用下的零狀態響應為當△t－

0時，有則有：當△t－

0時，有由沖激響應的定義，當e(t