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連續(xù)系統(tǒng)的時域分析研究的主要內(nèi)容是基于信號時域分解的思想,利用線性時不變系統(tǒng)的特性,得到線性時不變連續(xù)系統(tǒng)在任意激勵作用條件下的零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和激勵信號的卷積積分。第二章
連續(xù)時間信號與系統(tǒng)時域分析本章重點和難點重點:1)熟練掌握典型信號的定義與性質(zhì),微分方程的建立與求解;2)深刻理解系統(tǒng)的特征多項式、特征方程、特征根的意義及求解;3)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的意義及求解;4)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng);5)自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng),瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)難點:掌握卷積積分的定義、運算規(guī)律及主要性質(zhì),并會應(yīng)用卷積積分法求線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第二章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析本章教學(xué)內(nèi)容FFFFFFF常用典型信號連續(xù)時間信號的分解連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)單位沖激響應(yīng)卷積一.實指數(shù)信號函數(shù)表示式為:
圖2.1實指數(shù)信號的波形2.1常用典型信號二.復(fù)指數(shù)信號函數(shù)表示式為:由歐拉公式,可得
圖2.2復(fù)指數(shù)信號實部和虛部的波形根據(jù)、的不同取值,復(fù)指數(shù)信號可表示為下列幾種特殊信號:1.當(dāng)時,為直流信號;2.當(dāng)而時,為實指數(shù)信號;3.當(dāng)而時,稱為正弦指數(shù)信號,的周期信號。不難證明是周期為三.抽樣信號抽樣信號定義為圖2.3抽樣信號可以看出,(1)為偶函數(shù);(2)當(dāng)時,的振幅衰減趨近于0;,(k為整數(shù));(3)信號滿足:
四、單位階躍函數(shù)
2.1常用典型信號奇異函數(shù)——是指函數(shù)本身或其導(dǎo)數(shù)(或積分)具有不連續(xù)點的函數(shù)。此函數(shù)在t=0處不連續(xù),函數(shù)值未定義。1.定義2.可代替電路中的開關(guān),故又稱為開關(guān)函數(shù)3.給函數(shù)的表示帶來方便tt
(a)(b)
(c)五、單位脈沖函數(shù)1、定義2.
=+六、符號函數(shù)Sgn(t)2.1.定義七、單位斜變函數(shù)R(t)
1.定義八.
(1)1、定義unitimpulsefunction或2.的基本性質(zhì)
(1)篩選性:設(shè)f(t)為一連續(xù)函數(shù),則有(2)是偶函數(shù)(證明參看p22)(3)沖激函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)九、1、定義tt2、引入廣義函數(shù)后,瞬息物理現(xiàn)象則可由奇異函數(shù)來描述,例如:
例1.有始周期鋸齒波的分解2.2連續(xù)時間信號分解
分解——將時間函數(shù)用若干個奇異函數(shù)之和來表示。
例2.任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)的積分(例2.4)FF動畫演示
例3.任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分.(例2.3)FF動畫演示
一、線性時不變系統(tǒng)的分析方法第一步:建立數(shù)學(xué)模型第二步:運用數(shù)學(xué)工具去處理第三步:對所得的數(shù)學(xué)解給出物理解釋,賦予物理意義。
例一:對圖示電路列寫電流的微分方程。2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
解:由兩類約束關(guān)系,分別列兩回路方程得:回路1的KVL方程:電阻R的伏安關(guān)系:整理后得:回路2的KVL方程:例2.對圖示電路,寫出激勵e(t)和響應(yīng)r(t)間的微分方程。解:由圖列方程
KCL:KVL:將(2)式兩邊微分,得將(3)代入(1)得*由以上例題可以得出如下結(jié)論:1.求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。例一:含有4個儲能元件,故為四階電路。例二:含有2個儲能元件,故為二階電路。2.無論是電流i(t)或電壓U(t),他們的齊次方程相同。說明同一系統(tǒng)的特征根相同,即自由頻率是唯一的。
二、描述連續(xù)時間系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。
一般,對于一個線性系統(tǒng),其輸入與輸出之間關(guān)系,總可以用下列形式的微分方程來描述:n階常系數(shù)微分方程三、n階常系數(shù)微分方程的求解法thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order全響應(yīng)=齊次方程通解+非齊次方程特解(自由響應(yīng))(受迫響應(yīng))全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)(解齊次方程)(疊加積分法)
時域分析法(經(jīng)典法)變換域法(第五章拉普拉斯變換法)微分方程求解2.4連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬加法器:標(biāo)量乘法器:乘法器:延時器:初始條件為零的積分器初始條件不為零的積分器
描述LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)微分方程。上式縮寫為:2.5連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)令
表2.1不同特征根所對應(yīng)的齊次解式中常數(shù)由初始條件確定。特解是滿足微分方程并和激勵信號形式有關(guān)的解。表2.2列出了幾種激勵及其所對應(yīng)特解的形式。備注B(常數(shù))AA(待定常數(shù))
不等于特征根
等于特征單根
重特征根
所有特征根均不等于零
重等于零的特征根激勵特解或等于A有所有特征根均不等于例描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求(1)當(dāng)f(t)=2e-t,t≥0;y(0)=2,y’(0)=-1時的全解;(2)當(dāng)f(t)=e-2t,t≥0;y(0)=1,y’(0)=0時的全解。解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0,其特征根λ1=–2,λ2=–3。
齊次解為yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2.2可知,當(dāng)f(t)=2e–t時,其特解可設(shè)為YP(t)=Pe–t將其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t
解得P=1于是特解為yp(t)=e–t全解為:
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。y(0)=C1+C2+1=2,y’(0)=–2C1
–3C2–1=–1解得C1=3,C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t
–2e–3t+e–t,t≥0(2)齊次解同上。當(dāng)激勵f(t)=e–2t時,其指數(shù)與特征根之一相重。由表2.2知:其特解為
yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得
P1e-2t=e–2t,所以P1=1
但P0不能求得。全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入,得y(0)=(C1+P0)+C2=1,y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解為
y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一項的系數(shù)C1+P0=2,不能區(qū)分C1和P0,因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。三.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)的齊次解自由響應(yīng)式中零輸入響應(yīng)兩種分解方式的區(qū)別:1、自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的系數(shù)各不相同與不相同由初始狀態(tài)和激勵共同確定由初始狀態(tài)確定2、自由響應(yīng)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的齊次解
對于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式,即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)指時,響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量;而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指時,響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量。1.定義:當(dāng)激勵為單位沖激函數(shù)時,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng),簡稱沖激響應(yīng),用h(t)表示。零狀態(tài)2.6單位沖激響應(yīng)一.沖激響應(yīng)2.h(t)的求解方法例1.描述某系統(tǒng)的微分方程為:試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解:由沖激響應(yīng)的定義,當(dāng)e(t)=時,試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解:二、階躍響應(yīng)1.定義2.g(t)的求解方法另外:解2.7卷積系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解卷積積分定義卷積積分性質(zhì)本節(jié)通過信號分解的思想,把任意信號為沖激信號的疊加,得到線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分。定義:作用于系統(tǒng)時的零狀態(tài)響應(yīng)為一、零狀態(tài)響應(yīng)時域分析法LTILTI任意信號e(t)表示為沖激函數(shù)疊加.FLTI定義:激勵信號e(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為當(dāng)△t-
0時,有則有:當(dāng)△t-
0時,有由沖激響應(yīng)的定義,當(dāng)e(t
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