西城區高三統一測試試卷

數學2024.4

本試卷共6頁，150分.考試時長120分仲.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷

上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一?并交回晨

第一部分(選擇題共40分)

一'選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項。

(I)已知全集。=1<,集合4={x|x<3},B={x\-2^x^2},則力“心二

(A)(2,3)(B)(一8,一2)U(2,3)

(C)[2,3)(D)(-<?,-2]U[2,3)

(2)下列函數中，既是偶函數又在區間(0,+8)上單調遞增的是

(A)y=x2+x(B)y=cosx

x

(C)y=2(D)y=log21x|

7

(3)在(X-彳)6的展開式中，常數項為

X

(A)60(B)15

(C)-60(D)-15

(4)已知拋物線C與拋物線V=4x關于直線y=x對稱，則C的準線方程是

(A)x=-l(B)x=-2

(C)y=-\(D)y=-2

(5)設"=/_；,〃=/+:,c=/(2+/),其中T</<0,貝I」

(A)b<a<c(B)c<a<b

(C)b<c<a(D)c<b<a

西城區高三統一測試試卷數學2024.4第1頁(共6頁)

（6）已知向量明兒c在正方形網格中的位置如圖所示?若網格紙

上小正方形的邊長為1，則C,（G-力）=

（A）-1（B）1

（C）-7（D）7

-2<X<0,若/（X）存在最小值，則C的最大值為

(7)已知函數/（'）=

一瓜,0Wx<c.

（A）

七（B）i

(8)在等比數列｛%｝中,%,>0.則”代>勺。+1"是"%+1>%3”的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

(9)關于函數/（乃=5皿工+8$2%，給出下列三個命題:

①/（X）是周期函數;

②曲線V=/（x）關于直線》=四對稱；

2

③在區間［0,2兀）上恰有3個零點.

其中真命題的個數為

(A)0(B)1

(C)2(D)3

(10)德國心理學家艾?賓浩斯研究發現，人類大腦對事物的遺忘是有規律的，他依據

實驗數據繪制出“遺忘曲線”.“遺忘曲線”中記憶率V隨時間，（小時）變化的

趨勢可由函數丁=1-0.6/°"近似描述，則記憶率為50%時經過的時間約為

（參考數據：1g2x0,30,lg3?0.48）

（A）2小時（B）0.8小時

（C）0.5小時（D）0.2小時

西城區高三統一測試試卷數學2024.4第2頁（共6頁）

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)若復數z湖足Q+2i),z=3+i,則|z|=.

(12)已知a,/?G(0㈤.使tan(a+夕)<tan(a-4)成立的一組a,Z7的值為a=，

P-............，

(13)雙曲線一q=i的漸近線方程為；若M與圓。:/+,=/(「>0)交

于用8,C,。四點，且這四個點恰為正方形的四個頂點，則尸=.

(14)在數列｛/｝中，/=2,%=-3.數列｛〃｝滿足々=。用一4(〃eN').若｛"｝是公差

為1的等差數列，則｛4｝的通項公式為6“=,4的最小值為

(15)如圖，正方形相8和矩形血印所在的平面互相垂直.點尸在正方形4B8及其

內部運動，點。在矩形4BM及其內部運動.設48=2,4F=1,給出下列四個結論:

①存在點尸,。，使？。=3；

②存在點尸,。，使CQ//EP；

③到直線和E尸的距離相等的點尸有無數個；

④若PAJLPE,則四面體以以體積的最大值為;.

其中所有正確結論的序號是.

西城區高三統一測試試卷數學2024.4第3頁(共6頁)

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題14分)

如圖，在三棱柱/次?-/田G中，側面41CG為正方形，ABJLAC,AB=AC=2,

。為8C的中點.

(I)求證：平面/8Q;

(II)若4。，AB,求二面角D-ABX-4的余弦值.

(17)(本小題13分)

在△A3C中，atanB=2bsinA.

(I)求N3的大小；

(口)若4=8,再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使△4BC存在，求△48C的面積.

條件①：邊上中線的長為歷；

2

條件②：cosA=—；

3

條件③：b=7.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件

分別解答，按第一個解答計分.

（18）（本小題13分）

10米氣步槍是國際射擊聯合會的比賽項目之一，資格賽比賽規則如下：每位選手采用立姿

射擊60發子彈，總環數排名前8的選手進入決賽,三位選手甲、乙、丙的資格賽成績如下：

環數6環7環8環9環10環

甲的射擊頻數11102424

乙的射擊頻數32103015

丙的射擊頻數24101826

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的射擊成績相互獨立.

（I）若丙進入決賽，試判斷甲是否進入決賽，說明理由；

（II）若甲、乙各射擊2次，估計這4次射擊中出現2個“9環”和2個“10環”的概率;

（皿）甲、乙、丙各射擊10次，用乂（i=1,2,3）分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于。

環的次數，其中ae{6,7,8,9}.寫出一個a的值,使。（工）>。（苞）>。（乂）?

（結論不要求證明）

（19）（本小題15分）

已知橢圓G:W+《=l（a>b>0）的一個頂點為4-2,0）,離心率為L

ab2

（I）求橢圓G的方程；

（II）設。為原點.直線/與橢圓G交于C,。兩點（C,。不是橢圓的頂點），/與直線x=2

交于點E,直線工。,4。分別與直線OE交于點M,N.求證：|OM|=|ON|.

西城區高三統一測試試卷數學2024.4第5頁（共6頁）

(20)(本小題15分)

已知函數/(x)=x+ln3)+：xe*.

(I)當。=1時，求曲線夕=/(刈在點(1,/⑴)處切線的斜率;

(II)當°=-1時，討論/(x)的單調性；

(III)若集合有且只有一個元素，求。的值.

(21)(本小題15分)

對正整數加23,”26,設數列4瑪,生,…嗎，ate{0,1}(z=1,2,???,??).3是加行〃列

的數陣，馬表示8中第i行第，列的數，Z>,7e{0,l}==且8同時滿

足下列三個條件：①每行恰有三個1；②每列至少有一個1；③任意兩行不相同.

記集合{/1叫+a2bi2+?-?+a也=0或3,i=1,2,…,加}中元素的個數為K.

’111000、

(I)若4:1,1,1,0,0,0,5=101100,求K的值；

、000111,

(U)若對任意夕Me{l,2,…，力(p<q),8中都恰有r行滿足第p列和第q列的數均為1.

(i)5能否滿足加=3r?說明理由；

(ii)證明：

(考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效)

西城區高三統一測試試卷數學2024.4第6頁(共6頁)

西城區高三統一測試試卷

數學答案及評分參考2024.4

一'選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)B(2)D(3)A(4)C(5)C

(6)A(7)A(8)B(9)D(10)C

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(II)x/2(12)yy(答案不唯一)

(13)y=土百x6(14)n—6—13

(15)①③④

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(共14分)

解：(I)連接43,設43nAB1=E,連接。E.1分

因為在三棱柱431G中，四邊形4犯用是平行四邊形,

所以E為43的中點.2分

因為。為的中點，

所以DE〃4c.?3分

又因為4。二平面OEu平面4BQ,

所以4。〃平面ZBQ.,5分

(II)因為Z8_L4C,ABLAC,

所以.平面4/CG.......6分

所以4B144-

又陰JL/C,所以力兩兩相互垂直?

如圖建立空間直角坐標系4-xyz.......7分

則4(0,0,0),4(2,0,2),D(l,l,0),C(0,2,0).

所以離=(2,0,2),而=(1,1,0).

西城區高三統一測試試卷數學答案及評分參考2024.4第1頁(共6頁)

n??AB.=0.2x+2s=0,

設平而彳BQ的法向砒為加=（x,y,2），Wi|而°即匕+八。,

令x=-[,則.p=1,2=1.J'W:w=（-!,1,1）............10分

因為/CJ.平而

所以撫=（0、2.0）他平匍4IB々的一個法向Hl............”分

所以cos⑴四產坐......T3分

I^H/fCl3

由時設，二:而角D-AJix-4的平而角為鈍角,

所以二面角D-AB{-4的余弦值為一半.......14分

（17）（共13分）

解：（I）由atanB=25sinN,得asinB=26sinJcosB............1分

在△NBC中，由正弦定理得sin4sin5=2sin?lsinBcosB............3分

因為sin/>0,sinB>0,

所以cosB=1............4分

2

又0<NB<n,......5分

所以NB=2............6分

3

（II）選條件①：5c邊上中線的長為......7分

設6c邊中點為“，連接aW,貝=BM=4.

在△45M中，由余弦定理得NA/?=432+8川2-213?8”通058,...........9分

即21=462+16-846cos3.

3

整理得482-448-5=0.

解得/6=5或力〃=-1（舍）.......11分

所以&ABC的面積為SA..=J,4C,sin8=10百.......13分

西城區高三統一測試試卷數學答案及評分參考2024.4第2頁（共6頁）

選條件③：6=7......7分

在△/8C中，由余弦定理御川=/+c'-2acco,A,.....9分

即7'=8'+/-16<?9￡個?

整理得c'-&+1$?>0，

解褥C=3或CH5.....TI分

當c=3時，ZX/RC的而枳為金械、=g〃c9in〃=6jS,

當c=5時，△/BC的面積為SAM=："$訪〃=106......13分

（1$）（共13分）

解：（1）甲進入決賽，理由如下：

丙射擊成績的總環數為2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射擊成績的總環數為1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因為549>542,所以甲進入決賽......3分

（II）根據題中數據，“甲命中9環”的概率可估計為2幺4=工2；

605

242

“甲命中10環”的概率可估計為右=二；

605

301

“乙命中9環”的概率可估計為九二彳；

602

“乙命中10環”的概率可估計為善=：.......5分

604

所以這4次射擊中出現2個“9環”和2個“10環”的概率可估計為：

卓吟fc號端4）端………I。分

（JII）〃=7和8.（寫出一個即可）......13分

西城區高三統一測試試卷數學答案及評分參考2024.4第3頁（共6頁）

<19)(共15分)

。=2、

3分

解：（I）由題設，，￡=；,

（72

,-I）1=C’，

解得"=4、〃=3.

所以橢圓G的方程為工+?=1.

43

<n）由題設,直線/的斜率存在，設其方程為），=丘+〃>

則￡（2,2k+〃。,直線0E的方程為），=（%+y）x.

由、j,"+〃?，得（4d+3*+8ATHX+47n2-12=0.

31+4y2=12,

由』=48（4/一m2+3）>。，得m2<4^+3.

8^2247M2—\2

設C（X”弘），。（工2，%），則3=y相

T'/C?3??*,?

直線AC的方程為y=」-(x+2).............9分

x,+2

聯立直線2C和。E得二^(x+2)=(k+-)x.

Xi+22

解得“二——孫——二氣二姐舞...........11分

/zm\f.wx.znx.+4k

(左+5)(芭+2)-％11

同理可得4=隨讓黑

mx2+4k

(fog+加)(啊+4k)+(姐+加)(啊+4%)

所以+4=4x............12分

(叫+4左)(嗎+妹)

因為(如+w)(wx2+44)+(fcc2+ni)[mxx+4%)

2

=2kmxlx2+(4/+nj)(X1+x2)+8km

2配(4/-12)8M(4*+/)8袖(4/+3)

4k2+34爐+34/+3

=0,

所以X”+XN=0,即點M和點N關于原點。對稱.

所以|O〃|=|ON|.15分

西城區高三統一測試試卷數學答案及評分參考2024.4第4頁（共6頁）

C20)(共15分)

解：(I)當。=1時，/(x)=x+lnx+xc'，

所以/Xv)=1+g+。+x)c'............2分

所以"l)=2e+2.

所以曲線)，=〃、)在點(1、/⑴)處切”的斜率為2c+2............4分

(II)當。=-1時,f(x)=x+1n(r)-xc、，/(x)的定義域為(-s,0)?

=1+--(I+V)e'=(1+.v)(-^-cT).,”"..”6分

因為c"v0,

X

所以、￡(-8,-1)時，/'(\)>0;1€(-1,0)時，f'(X)<0.

所以〃*)的單調遞增區間為(-8,-1)；單調遞減區間為(-1,0)...........9分

1px

(皿)/'(x)=(l+xX-+y).

當。>0時，“X)的定義域為(0,+8).

所以/'(x)>0,〃x)在(0,+8)上單調遞增.

因為/(3>0,所以。>0不合題意?.....11分

a

當。<0時，〃x)的定義域為(-8,0).

因為X€(-8,_1)時，f'(x)>Q;xe(-1,0)時，r(x)<0.

所以/(X)的單調遞增區間為(-8,-1);單調遞減區間為(-1,0)?

所以/(X)皿=/(-l)=-l+ln(-a)--^-?...........13分

C

111Ay-L1

設g(x)=T+ln(-x)------,則g'(x)=-+-=——,

exxexrex

因為xe(-8,-1)時，g'(x)<0；xw(-1,0)時，g'(x)>0,

ee

所以g(X)的單調遞減區間為(-8,-I);單調遞增區間為(-1,0)?

ce

所以gWU.=g(-1)=-l-

所以集合｛x|〃x)dT｝有且只有一個元素時a=-1...........15分

西城區高三統一測試試卷數學答案及評分參考2024.4第5頁(共6頁)

(21)(共15分)

解：(1)記乙=哂+。乩+…+”也.

因為，?=3、，,=2,八=0,