立體幾何大題練習(xí):

1.如圖，三棱錐尸一ABC中，AB=AC=BC=43PA＞尸3_1面以。，E,尸分別為AC,尸3的中

點(diǎn).

(1)求證：ACYEF-,

(2)求PB與平面ABC所成角的正弦值.

JT

2.已知四棱錐尸—ABCD,底面ABCD是菱形，ZDAB=-,PC±PD,PC=PD,PA=^2AB.

(1)證明：平面PCD_L平面ABCD；

(2)求直線PC與平面所成角的正弦值.

AB

3.在三棱錐A—BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DC=y/2,AC=2.

(1)求證：BDA.AC-,

3

⑵若尸為AC上一點(diǎn)'且"RAC'求直線成與平面48所成角的正弦值.

JTTT

4.四棱錐尸—ABCD中，平面上平面尸3C.若ZBCD=-,ZPBC=-,AD=CD=2,BC=1.

(1)證明：PBLPA；

(2)若PA=2PC,求二面角P-BC-A的余弦值

AB

5.如圖，已知△ABC與△BCD所在的平面互相垂直，ZBAC=60°，ZBCD=90°.AB=AC,

CD=2BC,點(diǎn)、P,。分別在邊3C,CD上，沿直線尸。將△PQ。翻折，使。與A重合.

(I)證明：ADLPQ

(II)求直線AP與平面A3C所成角的正弦值.

6.如圖，在多面體ABCDP中，AABC是邊長為4的等邊三角形，PA=AC,BD=CD=272,

尸3=PC=4拒，點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，平面3DCJL平面A5C.

(1)求證：￡>￡7/平面上4C；

(2)線段3c上是否存在一點(diǎn)T,使得二面角T-DA-3為直二面角？

若存著，試指出點(diǎn)T的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

E

C

立體幾何大題練習(xí):

2.如圖，三棱錐尸一ABC中，AB=AC=BC=6PA，尸3_1面24。,E,尸分別為4C,尸3的中

點(diǎn).

(1)求證：ACYEF-,

(2)求PB與平面ABC所成角的正弦值.

(1)解析：連接PE,BE,易得8E_LAC,因?yàn)槭?_1面24(7,

所以PB_LAC,由BE]PB=B,所以AC_L平面尸EB,

而所匚平面尸￡6,所以AC_LEF.

(2)解析：

由(1)得，ACJ_平面尸￡B,所以NPBE就是PB與平面ABC所成角,

在等腰三角形P4c中，PA=PC=1,AC=6所以PE=g,在等邊三角形ABC中,

QPH11

BE=-,所以sin/P3￡=/u=w，即期與平面ABC所成角的正弦值為刀.

2BE33

_.…7T

2.已知四棱錐尸—ABCD,底面ABCD是菱形，ZDAB=-,PC±PD,PC=PD,PA=42AB-

(1)證明：平面PCD_L平面ABCD；

(2)求直線PC與平面所成角的正弦值.

(1)解析：(幾何法)

證明：取CD中點(diǎn)連接因?yàn)镻C=PD,所以尸

^AB=AD=2,^iPA=2y/2DM=PM=1,在△ADM中，

AM=y/AD2+DM2-2AD-DM-cosZADM=幣,所以

AM2+PA/2=8=PR2,即24A又因?yàn)镃DAM=M,

所以PM_L平面4BCD,而尸Mu平面尸CD,

所以平面PCD±平面4BCD.

（2）解析：（等體積法）

易得5M_LAB,PM^AB,所以AB_L平面PMB,則旗_LPB,SAPABAB-PB=2,設(shè)點(diǎn)C到

平面的距離為/?,由匕＞TBC=%一⑻，|S^PAB.h=VP_ABC=1S^c-PM=^~,解得//=g,

設(shè)直線尸C與平面上鉆所成角為6,又pc=&，所以.a_h_T_A/6,即直線PC與平面

sin（7==-T="=—

PC64

F4B所成角的正弦值為四.

4

6.在三棱錐4一BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DCf,AC=2.

(1)求證：BD±AC；

3

(2)若P為AC上一點(diǎn)，且AP==AC,求直線8尸與平面ACD所成角的正弦值.

4

(1)解析：取即中點(diǎn)O,連接AO,OC,因?yàn)镸=">,BC=DC,所以BDLAO,BD±OC,

又因?yàn)锳OOC=O,

所以平面AOC,即3Z)J_AC.

(2)解析：(坐標(biāo)法)

由(1)得，gr)_L平面AOC,又因?yàn)槠矫鍮CD,所以平面AOC_L平面BDC,易得

AO=VLOC=L所以AC>2+OC2=AC2,即AOLOC,又因?yàn)槠矫鍭OC平面5DC=OC,所以

AOL^BDC,如圖所示，以射線OB,OC,OD為x,%z正半軸建系.A=(0,0,逐)，5-(1,0,0),

C=(0,1,0),D=(-1,0,0),P=。1，￥,BP=DA=0,73),DC=(1,1,0),設(shè)

.n,DA=0[x+=0

〃=zx,y,z為平面ADC的一個(gè)法向量，貝ij有,u取〃=卜3,3,6),

n-DC=0[x+y=0

93

,八n-BP4#

設(shè)8為直線BP與平面ACO所成角，則sin?=??=---------j==—

H?陽后走7

2

即直線的與平面ACD所成角的正弦值為逑.

7

■7TTT

7.四棱錐尸一ABCD中，平面平面P3c.若ZBCD=-,ZPBC=-,AD=CD=2,BC=1.

32

(3)證明：PB±PA；

(2)若B4=2尸C,求二面角P—BC—A的余弦值

解析：(1)證明：設(shè)平面RW一平面尸3。=/,

TT

平面E4D又13Cu平面依。,二3。/〃,■ZPBCPBLI,又因?yàn)槠矫鍾4D，平

2P

面平面24￡>,可得PB_LB4,得證.

(2)解：連結(jié)BD,在ABCD中，易得BD=^，:.BD上BC,/:\\

AB

又?9，8。,，/「班)為二面角/一3。一4的平面角，以。為原點(diǎn)，

分別以D4,DB的方向?yàn)閤軸，丫軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

.?.4(2,0,0),網(wǎng)0,石,0),。卜1,真,0)BC±BD,BC±PD,BDPD=D

:.3C_L平面P6D,所以平面PBD_L平面ABCD,可設(shè)尸(。，丫㈤,由R4=2PC可得:

（0-2）2+/+z2=4（0+1）2+4（y->/3）2+4z2/tlW^3y2-8A/3V+3Z2+12=0—?,由（1）知

PB±PA.?.（一2,*）.僅》-"2）=0=9一gy+z?=0-②解方程①②可得y=亭,z=寺，

sinZPBD=—=—,IJI!）cosZPBD=—；

PB55

8.如圖，已知△ABC與△BCD所在的平面互相垂直，ZBAC=60°，ZBCD=90°.AB=AC,

CD=2BC,息P,。分別在邊3C,CD上，沿直線PQ將△PQ。翻折，使。與A重合.

(I)證明：ADLPQ

(II)求直線AP與平面A3C所成角的正弦值.

解析1：(傳統(tǒng)方法)

(I)證明：如圖1所示，取AO的中點(diǎn)E,連結(jié)PE,QE.

因?yàn)榉酆蟆ＥcA重合，故?4=2D,M=PD,

從而有△PAD,△QAD都是以AO為底邊的等腰三角形，

因此。E_LAZ),PE_LAO.

又PECQE=E,所以AO,平面PQE,

又PQu平面PQE,所以AD_LPQ.

(II)解：設(shè)AB=4a.由題意，易得CD=8a,△ABC為等比三角形，BC=AC=4a.

如圖1所示，在平面BCD內(nèi)過點(diǎn)P作PF〃CD,交點(diǎn)為則4s.

由已知△ABC與△BCD所在的平面互相垂直，ZBCD=90°，平面ABCC平面§CD=3C，

得CD,平面A3C,故平面A5C,從而NPA尸就是直線AP與平面A3C所成角.

PFPF

易知sinNPAE=——=——.

PAPD

PFCD2PF_2PB

故PF$PBsin/PAF=

又礪=法=忑~PD~lj5~PD

由CD'平面ABC知，CD±AC,故A￡>=，4c2+5=4島.

Ar)2,力R2_Ar)2Q

在△A3。中，由余弦定理得cos/ADB=--------------=——=—,AE=2四,進(jìn)而得

2ADDB10

…AE20^5aPB=BD-PD=*

PD=--------------

cosNADB9

16^5a

故sinZPAF=~^=PB2^9^處

4sPD~J520瓜—25

9

即直線AP與平面ABC所成角的正弦值為之.

25

解析2：（坐標(biāo)法）

（I）證：由題意可如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)3c=4a.NR4c=60°，AB=AC,

則^ABC是正三角形.又匕BCD所在的平面互相垂直，

CD=2BC,可得以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：C（0,0,0）,3（4a,0,0）,D（0,8a,0）,A（2a,0,2品）.

并設(shè)Q?,仇0),尸(c,8a—2c,0).

因?yàn)檠刂本€P。將△PQ。翻折，使。與A重合，故PQ=PAQ0=Q1.

--------L^LIIII

從而PQ.而=豆。一~—?=0,因此AD_LPQ.

容易知道平面ABC的一個(gè)法向量為1=（0,1,0）.

32

APn3°_8后

記直線AP與平面ABC所成角為夕，貝Usin6=

AP-n20加a-25

9

ok

即直線AP與平面ABC所成角的正弦值為—.

25

6.如圖，在多面體ABCDP中，AABC是邊長為4的等邊三角形,PA=AC,BD=CD=2叵，

P3=PC=4應(yīng)，點(diǎn)E為3C的中點(diǎn)，平面平面ABC.

(1)求證：DE//平面PAC；

(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)T,使得二面角T-ZM-3為直二面角？

若存著，試指出點(diǎn)T的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：(1)尸A=AC=4,PB=PC=4夜，.〔ZR4c=90，即以J