新高考金卷2024屆全國n卷適應卷(三)

數學試題

注意事項：

I.本試題滿分150分，考試時間120分鐘；

2.考生答題前請在規定位置填寫姓名、班級、考號等相關信息，在答題卡上正確填涂準考證號(或粘貼

條形碼)并仔細核對自己的信息；

3.選擇題請用2B鉛筆在答題卡對應的位置準確填涂，非選擇題請用0.5mm黑色字跡簽字筆在答題卡的

非選擇題區域作答；在本試卷及草稿紙上作答，答案無效；

4.考試結束后，本試題、答題卡、草稿紙一并收回，請勿帶出考場。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設i為虛數單位，則(上勺4=()

1+Z

A.-1B.1C.iD.-i

2.已知集合4={》|一一3工一4<0},5={X|X2-OX=0},若ZClB中有且僅有兩個元素，則實數a的范圍

為()

A.(-1,4)B.(-1,0)C.(0,4)D.(-l,0)U(0,4)

3.某生產線正常生產狀態下生產的產品4的一項質量指標X近似服從正態分布N(10,4),若

P(X<a)=P(X>l-2a),則實數a的值為()

A.-10B.-19C.10D.19

4.設。為雙曲線的中心，以雙曲線的實軸為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線交于4,B兩點,若A4O8為等

邊三角形，則雙曲線的離心率為()

?2百c26c4c

A.B.或2C.D-§或2

333

5.已知平面向量Z,3滿足15=|句=歷|=2,設)=￡+石(teR),則|中的最小值為()

A.y/3B.3C.1D.2

6.已知三棱錐尸一NBC中，PA=PB=PC=24B=2BC=4,ZJ5C=120°,則三棱錐P-4BC外接球

的表面積為()

16c64〃64c64百

A.—KB.—兀C.—7TD.------n

332727

萬3

7.設。,46(0,5),tana=?itan￡,sin(a-^)=-,若滿足條件的a與￡存在且唯一，則

tanatan尸=()

A.-B.1C.2D.4

2

8.已知函數/(x)=ae、-(a-l)x+l-a(a>0),g(x)=x+b,點尸與。分別在函數y=/(x)與y=g(x)

的圖象上，若|?。|的最小值為J5,則6=()

A.-1B.3C.一1或3D.1或3

數學試題【第1頁】(共4頁)

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.如圖1所示，圓臺的母線與下底面的夾角為60°,上底面與下底面的直徑之比為1:2,力尸為一條母線，且

幺尸=2,。為下底面圓周上的一點，ZABD=3Q°,貝(1()

A.三棱錐尸一48。的體積為2B.圓臺的表面積為Ibr

C.AP8O的面積為36D.直線力P與8。夾角的余弦值為巨

4

10.設正實數x>0,y>0,且滿足x+y+3=孫，貝ij()

ii2

A.4x+y>13B.xy<9C.x2+y2<18D.—+—

xy3

11.已知圓片：(x+l)2+y2=i,圓B：a—l)2+y2=9,動圓尸與圓片外切于點M,與圓月內切于點N.

圓心尸的軌跡記為曲線C,貝M)

A.C的方程為《+己=1

B.NMPN的最小值為120°

43

C.MP-PE+NP-PK<-D.曲線C在點尸處的切線與線段垂直

122

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.為弘揚志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務活動，現安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每

個地方至少1人，若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有.

9

109

13.已知(1一24+%2)5=a10x+a9xH-\-aQ,則Z女，=.

i=l

7FTT

14.已知/(x)=sin(0x+])的圖象關于直線x=w對稱，且/(x)在(0,萬)上恰有兩條對稱軸.在A48c中,

角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。=百，/(|幺)=0,則A4BC面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

設數列｛勺｝的前〃項和為S〃，｛2｝為等比數列，且q=l,a,,a2,03-3成等差數列.

(I)求數列｛%｝的通項公式;

1o

(H)設4=工，數列｛-------2------｝的前"項和為7；,證明：T<~.

?+1'(—+1)'n3

數學試題【第2頁】(共4頁)

16.（本小題滿分15分）

如圖2所示，在長方體488-44Gq中，AAI=4D=6AB,〃在棱44上，且4CJ.8M.

（1）若/8=2,求平面截長方體所得截面的面積；

（H）若點N滿足函=西，求平面BBM與NMD所成夾角的余弦值.

圖2

17.（本小題滿分15分）

垃圾分類是普惠民生的一項重要國策.垃圾分類不僅能夠減少有害垃圾對環境的破壞，減少污染，同時

也能夠提高資源循環利用的效率.垃圾分類共分四類，即有害垃圾，廚余垃圾，可回收垃圾與其他垃圾.某

校為了解學生對垃圾分類的了解程度，按照了解程度分為Z等級和6等級，隨機抽取了100名學生作為樣

2

本進行調查.已知樣本中4等級的男生人數占總人數的：，兩個等級的女生人數一樣多，在樣本中隨機抽

取1名學生，該生是8等級男生的概率為

5

（I）根據題意，完成下面的二維列聯表.并根據小概率值a=0.05獨立性檢驗，判斷學生對垃圾垃圾分類

的了解程度是否與性別有關？

男生女生

4等級

3等級

附：

a0.050.0250.010.005

X”3.8415.0246.6357.879

2n(ad-bc)2廿方,,

X--------------------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

數學試題【第3頁】（共4頁）

(II)為了進一步加強垃圾分類工作的宣傳力度，學校特舉辦垃圾分類知識問答比賽活動.每局比賽由二人

參加，主持人力和8輪流提問，先贏3局者獲得第一名并結束比賽。甲，乙兩人參加比賽，已知主

持人力提問甲贏的概率為上，主持人8提問甲贏的概率為上，每局比賽互相獨立，且每局都分輸贏.

32

抽簽決定第一局由主持人N提問.

(1)求比賽只進行3局就結束的概率；

(2)設X為結束比賽時甲贏的局數，求X的分布列和數學期望E(X).

18.(本小題滿分17分)

已知實數aeR,函數/(x)=21nx—ox2有兩個不同的零點玉，“

(1)求實數a的取值范圍；

(H)設與是方程lnx+ax-2=0的實根，證明：x<xx<—.

0t2a

19.(本小題滿分17分)

已知直線y=H+l(%wO)與拋物線交于M,N兩點.7是線段的中點，點4在直

線歹=一1上，且N7垂直于x軸.

(I)求證：47的中點在G上；

(II)設點3在拋物線。2號=一，一1上，BP,80是G的兩條切線，P,0是切點.若48//MN,

且4,5位于歹軸兩側，求證：17Mli刀^1=17^11701.

數學試題【第4頁】(共4頁)

新高考金卷2024屆全國n卷適應卷(三)

數學答案

單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目的要求.

1.選B

【解析】(±)4=[^^]4=(—)4=z4=l.

1+z22

2.選。

【解析】A=(-1,4),因為2口3中有且僅有兩個元素，則8={0,研，則

ae(-l,0)U(0,4).

3.選B

【解析】由正態分布的概率分布曲線的對稱性知，~1~2a-=10,則a=T9.

2

4.選8

【解析】由題可以知道2=3或2=6,則由e=+解得e=2或2.

a3aVa3

5.選/

--1

【解析】由條件得cos<凡6〉=—,則

2

|c|=yja2+t2b2+2ta-b=，4+4/+4/=2小+!)2+|>^

6.選B

【解析】在A48C中，由余弦定理得Ze?=ZB2+ZC2—2Z8?ZCCOSNZBC=12,則

ZC=2百.由正弦定理可得AABC的外接圓半徑為r=—2內—=2.設AABC的外接

2sin120°

圓的圓心為a,過已作平面48。的垂線/,由外接球的性質知外接球的球心。在直線/上,

由于PA=PB=PC,則點尸在/上.計算得PO17PA2—產=2粗,則有

戶+(26—Rf=普，解得R=手，則三棱錐尸-4BC的外接球表面積

1

5=4介=等

7.選8

jr34

【解析】方法1：由條件得a—尸6(0,萬)，由sin(a—0=]得cos(a—0=],則

c、tana-tan￡3心，,八、

tazn("0=i+tanatanV“整理得3加tad0〃—4(〃,—l)ta“+3=°.因為,唯一

存在，則有A=16(加一I)之一36加=0,解得加=4或加=；,又因為(/〉，，則加=4,

則tan尸=g,tancr=2,則tanatan夕=1.

77

方法2：因為滿足題意的。與力唯一存在，所以a與力的終邊關于角/勺終邊對稱，且

JI

a+,二萬，則tanatan/?=1.

8.選/

【解析】注意到，/(0)=1,因為/'(x)=a優一且/(0)=1,所以函數y=/(x)

在點(0,1)處的切線方程為y=x+l.當?>0時，由ex>x+l可知，

/(x)=aex-(a-l)x+l-a>a(x+1)--l)x+1-tz=x+1,所以|尸。|的最小值為直

線y=x+l與直線y=g(x)=x+b的距離，由點到直線的距離公式知=J5,解得

b=—1或6=3(舍去)，所以b=—1.

多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多

個選項要求，部分選對的得部分分，有選錯的不得分.

9.選ABD

【解析】由條件知圓臺的高為G，AB=4,AD=2,BD=273>則

vP_ABD=|x(1x2x2V3)x^=2,所以選項/正確.設圓臺的上下底面圓的半徑分別為

rx,弓，由條件可得?1=1,々=2,則圓臺的表面積

S="刀+萬々2+萬億+r2)-AP=\\n，所以選項3正確.如圖，過點尸作AB的

垂線交48于T,過點T作BD的垂線交RD于。，連接尸。，則易證尸。，8￡?

TQ=3，PT=C，則尸。=巨,則

22

2

S?BD=；BD-PQ=；X2CX^=*，所以選項C錯誤.過Z作RD的平行線交底

面圓周于點M，連接產河，W'JAPAM即為直線4P與RD所成角(或補角)，在APZM中,

AM=BD=26，AP=2,PM=回，由余弦定理得

AP+AMPM

cosNPAM=^~~L=立，則直線AP與BD夾角的余弦值為直，選項D

2AP-AM44

正確.選項。妙解，由三余弦定理得COSNPAM=cos-cos.

634

10.選40

x+3

【解析】由條件》+^+3=個得^=----(x>1),貝I]

X-1

4x+y=4X+'+3=4X+1T———=4(X-1)H——---1-5>2\f6"+5=13

x-1x-1x-1

，當且僅當x=2,y=5是取等號，選項Z正確.由x+.v+3=q^2而+3,即

(歷+1)(歷—3)20,解得孫29,當且僅當x=y=3時取等號，選項8錯誤.

由J+y2=(x+y)2-2xy=(xy-3)2-2xy得x?+y2=(xy)2-Sxy+9,從而

X2+/>18,當且僅當x=y=3時取等號，選項。錯誤.由x+y+3=中得

113112

—+—=1—，因為肛29,所以一+一之；，當且僅當x=y=3時取等號，選項。正

xyxyxy3

確.

11.選BCD

【解析】設動圓尸的半徑為人由條件得|「6|=廠+1,\PF.\=3-r,則

l^l+lPF|=4>|I,且「，M,N不重合，故點尸的軌跡為以片，耳為焦點的

2FXF2

橢圓(去掉與尸，M,N重合的三點)，則曲線。的方程為工+匕=l(xw-2),選項Z

43

錯誤.易知NMW與/原隼互補，而/心的最大值為60。，則NMW的最小值為

120°，選項5正確.

3

--?---??r*1—yI

2

MP.PF[+NP-PF2=-r(r+\)+r(3-r)=2r(l-r)<2x(—-)=選項C正確.

由橢圓的光學性質知D選項正確.

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填寫在答題卡相應位置上.

12.答案為30

【解析】先將4人任意分成3組，共有“；?=6種分法,而甲，乙在一組的分法有1種,

因此滿足題意的分組方法共有5種，再將分好的3組分配到三個不同的地方，有用=6種方

法，根據分步計數原理，滿足題意的安排方法共有5x6=30種.

13.答案為-10

249

【解析】對條件兩邊求導得5(l-2x+x)(2%-2)=10?10x+9ae/+…+%，再令x=1

9

得4+2a2+—卜9a9+10a10=0,Jfffa10=1,則工kak=%+2&+—卜9%=-10.

k=\

14.答案為

TTTTTETC

【解析】因為/(X)的圖象關于直線X=—對稱，則一。+—=—+丘，左eZ,即

3332

G)=-+3k,kEZ.因為/(X)在(0,萬)上恰有兩條對稱軸，當。〉0時，

2

3兀715兀E/口713、5兀7i一3九

——<CD71——<——，解得一一，此It時無解.當69<0時，----<(071+—<----，

23266232

解得----4①<----，此時co——,故實數①的值為—.則f(x)—sin(—xH—)，因

662223

為/(-|71)=sin(-71+y)=0,且Ne(0,O,則一2+三€(-器,(),則/=：.在AASC

中，由余弦定理得3=/+C2一bcxbc,貝i]bc<3,當且僅當b=c=百時取等號，則

A48C的面積S.BC=；AsinZ=^bcW苧，故A48C面積的最大值為手.

四.解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

15.(I)a“=(〃+1)X2"-2(II)證明略.

【解析】(I)因為%,%%一3成等差數列，所以2a2=%+的—3，即2a2=a3-2,

又｛I｝為等比數列，則1,邑，邑也成等比數列，貝IJ(二馬)2=(1+4+生),聯立解

n2323

4

得出=3，%=8,則數列｛&｝的公比為2,則邑=2"i,即S'=〃X2”T.當“22時，

nn

R2

an=Sn-S=(〃+l)x2"-,q=1也適合an=(〃+1)x2"",則數列｛%｝的通項公式為

2

an=(z?+1)x2"~.

(II)由(I)矢口，%=(〃+1)X2"-2,則％=人=2"-2,貝ij

n+1

n2

b2-2八2

_____________乜______-_________________記C=_____________

(4+1)0用+1)(2"-2+1)(21+1)'"(2"-2+l)(2n-l+l)

"2"-?+12"-'+1'

廠11111121

±—---------------------------p-------------------------p.??+------------------------------------------------

”2^+12°+12°+12*+124+12,H+132^+1

——〉0,所以北=2——J—<-.

2"-'+1"32,!-1+13

37263底

111J

2----------11

【解析】（I）解法1：如圖，因為ABCD-4與。12為長方體,所以A8］，平面ABCD，

又因為ZCu平面48CD,則/CLBAf,又4CLBM,且34n氏攸=8,

,8河u平面BB[M,則AC±平面BBXM.設平面BBXM與棱AD交于點Q

連接MQ,80,則NC，8。.因為AD=yflAB,不妨設AB=a,AQ=AAD,

設=易知A50C?AQOZ,則生=效=2,又AC=同,

OC0B

萬+上,貝有

80=，2U0B=——BQ,OC=-^-AC則

2+12+1

（,22-+1+2+（巫）2=（宿）2,解得x=所以。為ZD中點.由面面平行性質知

2+12+12

MQHBBX,則M為42的中點.設平面8。/交棱4月于點尸，連接MP,BP,則四

邊形APMD即為所作截面.由面面平行性質知"P//8D,則尸為44的中點，則四邊形

APMD為梯形.因為48=2,則40=2后，則BD=2百，MP=6又BP=3,

5

___________既

M）=JHL設梯形APMD的高為〃，則有,9-/+Jio—川=6,解得力=空，則

V3

四邊形的面積S=工x（G+2x畢=力區.

2V32

解法2：以/為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則/（0,0,0）,5（2,0,0）,

。（2,2行,0）,屈（0/,2行），則就=（2,2拒,0）,兩=（—2/,2后）.因為/。，8河,

則/，麗7,即—4+2岳=0,解得y=J5,又因為2。=2亞，所以M為42的

中點.以下同解法1.

（2）由（I）知M為4A的中點，因為函=近，則N為CO1的中點.不妨設48=2,

則2（0,0,0）,C（2,2A/2,0）,M（0,后,2行）,。（0,2亞,0）,N（2,2后，行），則

AC=（2,242,0）,^D=（0,V2,-2V2）,布=（―2,0,—亞）.由（I）知平面臺4/的

一個法向量為2。=（2,2亞,0）,設平面MWD的一個法向量為加=（x,y,z）,則

^0,^=0,gpF2一，取》=1,貝ijz=—后，y=2也，則蔡=（1,—20,一收）.

ND-m=QV2x+z=0

__h%八？

所以cos<%,菊〉=---,則平面BB,M與NMD所成夾角的余弦值--.

11111

17.（I）根據小概率值a=0.05獨立性檢驗，學生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關

【解析】（I）根據題意，樣本中Z等級的男生有40人，8等級的男生有20人，兩個

等級的女生都為20人，列聯表如下:

男生女生合計

Z等級402060

8等級202040

合計6040100

零假設笈。：學生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關.

則/=喘焉意2-78<3-84e所以沒有充分的理由說明為不

成立，即學生對垃圾垃圾分類的了解程度與性別無關.

6

(11)(1)根據題意，比賽只進行3局就結束，則有甲連勝3局或者乙連勝3局兩種情況.

設比賽只進行3局就結束為事件A.

2122

第一種情況，甲連勝3局.此時，R=--x-=-.

13x239

第二種情況，乙連勝3局.此時，P,=-x-x-=—.

232318

則尸⑷=々+舄=得，即比賽進行3局結束的概率為《.

(2)由題意X取值為0,1,2,3.則

…，、/211111112、15

P(X=0)=-x-x-=—,P(X=1)=(―x—x--1——x—x--1——x—x—)x—=—

32318323323323236

211121212111112111111121113

P(X=2)=(―x—x—x—H--X—X—X—H--X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—)x-=----

3232323232323232323232323108

【解析I)/'(x)=2—2依=2(1一")，若aVO,則當xe(0,+oo)時,/(x)>0,

/(x)單調遞增，則/(x)至多只有一個零點，不符題意.若。〉0,令/(x)=0得，x=—

a

則當xe(O,Y￡)時，/(x)>0,/(x)單調遞增，當xe(也,+oo)時，/(x)單調遞減.

aa

因為/(X)有兩個不同的零點，則必有/(也)=2山江-a(逅)2=—1n。―1〉。，解得

aaa

0<a<一,又x—0時，f(x)-oo,當x—+8時，f(x)-oo,故當0<a<一時,

ee

/(X)有兩個不同的零點，所以實數。的取值范圍為(0,-).

e

(II)由(I)知X],%是函數/(X)的兩個不同零點，不妨設0<X1<YZ<X2

a

7

,則有/(xj=/(x2)=0,即21nxi-axj-o,21nx2-cix^-0,作差得

]2_2

2

2(lnx2-InXj)=a(x2-x^)，先證xrx2<—,即證xrx2<——————-----，即證

一一a2(lnx2-InXj)

1<*%,設/=三〉1,則只需證1<—L,即證z—1〉21IU,TSg(r)=r---21nr,

2M上xi21nrtt

~X]

則g'(/)=l+，—|■=與Di〉0,則g?)單調遞增，則g(7)〉g(l)=0,則/—：〉21n/成

立，也即占％2〈工成立.再證<玉％2，因為玉)是方程lnx+ax—2=0的根，則

a

Inx0+ax^-2=0,又有21nxi-axJ=0,2Inx2-ax^-0,則

222

21n(x1x2)=a(xj+x2)=。(再+x2)-2axrx2,則a(xx+x2)=2ln(x1x2)+2axxx2,因為

函數y=Inx+ax單調遞增，貝121n（占％2）+2axi%＞Zin/+2ax0,故要證/〈不々，只

2?

需證a(X]+x2)>4,即證再+、2>~~7=?只需證%因為馬￡(—^，+0°)，

-