數學形態學是一門綜合了多學科知識的交叉科學，其理論基礎頗為艱深，但其基本觀念卻比較簡單。它體現了邏輯推理與數學演繹的嚴謹性，又要求具備與實踐密切相關的實驗技術與計算技術。它涉及微分幾何、積分幾何、測度論、泛函分析和隨機過程等許多數學理論，其中積分幾何和隨機集論是其賴以生存的基石?？傊瑪祵W形態學是建立在嚴格的數學理論基礎上而又密切聯系實際的科學。第9章數學形態學原理9.1數學形態學的發展9.2

數學形態學的基本概念和運算9.3一些基本形態學算法9.4灰度圖像的形態學處理9.1數學形態學的發展數學形態學（MathematicalMorphology）是一種應用于圖像處理和模式識別領域的新的方法。形態學是生物學的一個分支,常用它來處理動物和植物的形狀和結構。

數學形態學的歷史可追溯到19世紀的Eular.steiner.Crofton和20世紀的Minkowski。1964年，法國學者J.Serra對鐵礦石的巖相進行了定量分析，以預測鐵礦石的可軋性。幾乎在同時，G.Matheron研究了多孔介質的幾何結構、滲透性及兩者的關系，他們的研究成果直接導致數學形態學雛形的形成。隨后，J.Serra和G.Matheron在法國共同建立了楓丹白露（Fontainebleau）數學形態學研究中心。在以后的幾年的研究中，他們逐步建立并進一步完善了數學形態學的理論體系，此后，又研究了基于數學形態學的圖像處理系統。

數學形態學是一門建立在嚴格的數學理論基礎上的科學。G.Matheron于1973年出版的Ensemblesaleatoiresetgeometrieintegrate一書嚴謹而詳盡地論證了隨機集論和積分幾何，為數學形態學奠定了理論基礎。1982年，J.Serra出版的專著ImageAnalysisandMathematicalMorphology是數學形態學發展的里程碑，它表明數學形態學在理論上已趨于完備，在實際應用中不斷深入。

此后，經過科學工作者的不斷努力，J.Serra主編的ImageAnalysisandMathematicalMorphology卷2、卷3相繼出版，1986年，CVGIP（ComputerVisionGraphicsandImageProcessing）發表了數學形態學專輯，從而使得數學形態學的研究呈現了新的景象。同時，楓丹白露研究中心的學者們又相繼提出了基于數學形態學方法的紋理分析模型系列，從而使數學形態學的研究前景更加光明。

隨著數學形態學邏輯基礎的發展，其應用開始向邊緣學科和工業技術方面發展。數學形態學的應用領域已不限于傳統的微生物學和材料學領域，80年代初又出現了幾種新的應用領域，如：工業控制、放射醫學、運動場景分析等。數學形態學在我國的應用研究也很快，目前，已研制出一些以數學形態學為基礎的實用圖像處理系統，如：中國科學院生物物理研究所和計算機技術研究所負責，由軟件研究所、電子研究所和自動化所參加研究的癌細胞自動識別系統等。

用于描述數學形態學的語言是集合論,因此,它可以提供一個統一而強大的工具來處理圖像處理中所遇到的問題。利用數學形態學對物體幾何結構的分析過程就是主客體相互逼近的過程。利用數學形態學的幾個基本概念和運算，將結構元靈活地組合、分解，應用形態變換序列達到分析的目的。

利用數學形態學進行圖像分析的基本步驟有如下幾步：1）提出所要描述的物體幾何結構模式，即提取物體的幾何結構特征；2）根據該模式選擇相應的結構元素，結構元素應該簡單而對模式具有最強的表現力；

3）用選定的結構元對圖像進行擊中與否（HMT）變換，便可得到比原始圖像顯著突出物體特征信息的圖像。如果賦予相應的變量，則可得到該結構模式的定量描述；4）經過形態變換后的圖像突出了我們需要的信息，可以方便地提取信息。數學形態學方法比其他空域或頻域圖像處理和分析方法具有一些明顯的優勢。如：

*在圖像恢復處理中，基于數學形態學的形態濾波器可借助于先驗的幾何特征信息利用形態學算子有效地濾除噪聲，又可以保留圖像中的原有信息；

*數學形態學算法易于用并行處理方法有效的實現，而且硬件實現容易；

*基于數學形態學的邊緣信息提取處理優于基于微分運算的邊緣提取算法，它不象微分算法對噪聲那樣敏感，同時，提取的邊緣也比較光滑；

*利用數學形態學方法提取的圖像骨架也比較連續，斷點少。

數學形態學的核心運算是擊中與否變換（HMT），在定義了HMT及其基本運算膨脹（Dilation）和腐蝕(Erosion)后，再從積分幾何和體視學移植一些概念和理論，根據圖像分析的各種要求，構造出統一的、相同的或變化很小的結構元素進行各種形態變換。在形態算法設計中，結構元的選擇十分重要，其形狀、尺寸的選擇是能否有效地提取信息的關鍵。

一般情況，結構元的選擇本著如下幾個原則進行：1）結構元必須在幾何上比原圖像簡單，且有界。當選擇性質相同或相似的結構元時，以選擇極限情況為益；2）結構元的凸性非常重要，對非凸子集，由于連接兩點的線段大部分位于集合的外面，故而用非凸子集作為結構元將得不到什么信息。總之，數學形態學的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和運用好這些特性是取得良好結果的關鍵。

9.2

數學形態學的基本概念和運算

在數學意義上，我們用形態學來處理一些圖像,用以描述某些區域的形狀如邊界曲線、骨架結構和凸形外殼等。另外,我們也用形態學技術來進行預測和快速處理，如形態過濾，形態細化，形態修飾等。而這些處理都是基于一些基本運算實現的。

用于描述數學形態學的語言是集合論。數學形態學最初是建立在集合論基礎上的代數系統。它提出了一套獨特的變換和概念用于描述圖像的基本特征。這些數學工具是建立在積分幾何和隨機集論的基礎之上。這決定了它可以得到幾何常數的測量和反映圖像的體視性質。

集合代表圖像中物體的形狀，例如：在二進制圖像中所有黑色像素點的集合就是對這幅圖像的完整描述。在二進制圖像中，當前集合指二維整形空間的成員，集合中的每個元素都是一個二維變量，用(x，y)表示，按規則，代表圖像中的一個黑色像素點?；叶葦底謭D像可以用三維集合來表示。在這種情況下，集合中每個元素的前兩個變量用來表示像素點的坐標，第三個變量代表離散的灰度值。在更高維數的空間集合中可以包括其它的圖像屬性，如顏色和時間。形態運算的質量取決于所選取的結構元和形態變換。結構元的選擇要根據具體情況來確定，而形態運算的選擇必須滿足一些基本約束條件。這些約束條件稱為圖像定量分析的原則。9.2.1數學形態學定量分析原則

9.2.2數學形態學的基本定義及基本算法

集合論是數學形態學的基礎，在這里首先對集合論的一些基本概念作一總結性的概括介紹。對于形態處理的討論,將從兩個最基本的模加處理和模減處理開始。它們是以后大多數形態處理的基礎。

1）集合具有某種性質的確定的有區別的事物的全體。如果某種事物不存在，稱為空集。集合常用大寫字母A,B,C,…

表示，空集用表示。1.基本的定義設E為一自由空間，是由集合空間E所構成的冪集，集合，則集合X和B之間的關系只能有以下3種形式：①、集合B包含于X（表示為）②、集合B擊中X（表示為），即：③、集合B相離于X（表示為），即：圖9-1B1擊中X，B2相離于X，B3包含于X

2）元素：構成集合的每一個事物稱之為元素，元素常用小寫字母表示，應注意的是任何事物都不是空集的元素。

3）平移轉換設A和B是兩個二維集合，A和B中的元素分別是定義，對集合的平移轉換為:(9-8)

4）子集：當且僅當A集合的所有元素都屬于B

時，稱A為B的子集。

5）補集：定義集合A的補集為:(9-9)

6）差集：定義集合A和B的差集為(9-10)

8）并集：由A和B的所有元素組成的集合稱為A和B的并集。

C=A∪B(9-12)

9）交集：由A和B的公共元素組成的集合稱為A和B的交集。C=A∩B(9-13)

7）映像：定義集合B的映像為(9-11)圖9-2解釋了剛才幾個定義，圖中的黑點為集合的原點。圖9-2(a)顯示集合A；圖9-2(b)表示A被平移，注意平移是在A的每個元素上加上；圖9-2(c)表示集合B；圖9-2(d)顯示了B關于原點的反轉。最后，圖9-2(e)顯示了集合A及其補，圖9-2(f)顯示了圖9-2(e)的集合A與圖9-2(f)中的集合B的差。前四幅圖中的黑點為集合的原點。(a)集合A；(b)用x平移集合A后的結果；(c)集合B；(d)B的反轉；(e)集合A和它的補集；(f)兩個集合的差集(如陰影所示)。圖9-2幾個基本定義的物理意義

A、B為Z2中的集合，為空集，A被B的膨脹，記為，為膨脹算子，膨脹的定義為：={|[()]}(9-14)2.膨脹該式表明的膨脹過程是B首先做關于原點的映射，然后平移x。A被B的膨脹是被所有x平移后與A至少有一個非零公共元素。根據這個解釋，公式(9-14)可以重寫如下：與在其他的形態處理中一樣，集合B在膨脹操作中通常被稱為結構元素。={|[()]}(9-15)

式(9-14)不是現在形態學文獻中膨脹的唯一定義。然而，前面這個定義有一個明顯的優勢，因為當結構元素B被看為卷積模板時有更加直觀的概念。

盡管膨脹是基于集合的運算，而卷積是基于算術運算，但是B關于原點的“映射”及而后連續的平移使它可以滑過集合(圖像)A的基本過程類似于卷積過程。圖9-3(a)表示一個簡單的集合，圖9-3(b)表示一個結構元素及其“映射”。在此圖情況下，因為結構元素B關于原點對稱，所以，結構元素B及其映射相同。圖9-3(c)中的虛線表示作為參考的原始集合，實線示出若的原點平移至x點超過此界限，則與A

的交集為空。這樣實線內的所有點構成了A被B的膨脹。圖9-3(d)表示預先設計的一個結構元素，其目的是為了得到一個垂直膨脹比水平膨脹大的結果。圖9-3(e)顯示為用該結構元素膨脹后得到的結果。圖9-3膨脹操作的例子

A、B為Z2

中的集合，A

被B

腐蝕，記為，其定義為：(9-16)

也就是說A被B

的腐蝕的結果為所有使B

被x平移后包含于A

的點x的集合。與膨脹一樣，公式(9-16)也可以用相關的概念加以理解。3.腐蝕

圖9-4表示一個腐蝕過程。集合A在圖9-4(c)用虛線表示作為參考。實線表示若B的原點平移至x點超過此界限，則A不能完全包含B。這樣，在這個實線邊界內的點構成了A被B的腐蝕。圖9-4(d)畫出了伸長的結構元素，圖9-4(e)顯示了A被此元素腐蝕的結果。注意原來的集合被腐蝕成一條線了。圖9-4腐蝕操作的例子膨脹和腐蝕運算的一些性質對設計形態學算法進行圖像處理和分析是非常有用的，下面列出幾個較重要的性質：①、交換性：(9-18)②、結合性：(9-19)③、遞增性：(9-20)④、分配性：

(9-21)(9-22)(9-23)(9-24)這些性質的重要性是顯而易見的。如分配性，如果用一個復雜的結構元素對圖像作膨脹運算，則可以把這個復雜結構元分解為幾個簡單的結構元素的并集，然后，用幾個簡單的結構元素對圖像分別進行膨脹運算，最后將結果再作并集運算，這樣一來就可以大大簡化運算的復雜性。膨脹擴大圖像，腐蝕收縮圖像。另外兩個重要的形態運算是開運算和閉運算。開運算一般能平滑圖像的輪廓，削弱狹窄的部分，去掉細的突出。閉運算也是平滑圖像的輪廓，與開運算相反，它一般熔合窄的缺口和細長的彎口，去掉小洞，填補輪廓上的縫隙。

4.開運算（Opening）和閉運算(Closing)

設A

是原始圖像，B

是結構元素圖像，則集合A被結構元素B作開運算，記為AΟB

，其定義為：(9-25)換句話說，A

被B開運算就是A

被B

腐蝕后的結果再被B

膨脹。設A是原始圖像，B

是結構元素圖像，則集合A被結構元素B作閉運算，記為A

B，其定義為：換句話說，A

被B

閉運算就是A

被B

膨脹后的結果再被B

腐蝕。(9-26)圖9-5圖釋了集合A被一個圓盤形結構元素作開運算和閉運算的情況。圖9-5(a)是集合

A

，9-5(b)示出了在腐蝕過程中圓盤結構元素的各個位置，當完成這一過程時，形成分開的兩個圖形示于圖9-5(c)。注意，A

的兩個主要部分之間的橋梁被去掉了。“橋”的寬度小于結構元素的直徑；也就是結構元素不能完全包含于集合A

的這一部分，這樣就違反了公式(9-16)的條件。由于同樣的原因A的最右邊的部分也被切除掉了。圖9-5(d)畫出了對腐蝕的結果進行膨脹的過程，而圖9-5(e)示出了開運算的最后結果。同樣地，圖9-5(f)-9-5(i)示出了用同樣的結構元素對A

作閉運算的結果。結果是去掉了A

的左邊對于B來說較小的彎。注意，用一個圓形的結構元素對集合A作開運算和閉運算均使A

的一些部分平滑了。圖9-5開運算和閉運算的圖示開運算和閉運算有一個簡單的幾何解釋。假設我們把圓盤形結構元素B看作一個（平面的）“滾動球”。的邊界為B在A內滾動所能達到的最遠處的B的邊界所構成。這個解釋能從圖9-5(a)得到圖9-5(e)。

注意所有的朝外的突出角均被圓滑了，而朝內的則沒有影響。突出的不能容下這球的部分被去掉。這種開運算的幾何擬合性得出了集合論的一個定理：

A被B的開運算就是B在A內的平移(保證(B)

x

A)所得到的集合的并集。這樣開運算可以被描述為擬合過程，即：(9-25)圖9-6圖釋了這個概念，為了多樣性這里我們用了一個非圓形的結構元素。圖9-6開運算的擬合特性閉運算也有類似的幾何解釋。再次用滾動球的例子，只不過我們在邊界外邊滾動該球（開運算和閉運算是對偶的，所以讓小球在外面滾動是合理的）。有了這種解釋，圖9-5(i)就很容易從圖9-5(a)得到。注意所有的朝內的突出角均被圓滑了，而朝外的則保持不變。集合的最左邊的凹入被大幅度減弱了。幾何上，點為的一個元素，當且僅當包含的與的交集非空，即。圖9-7解釋了這一性質。圖9-7閉運算的幾何解釋

像膨脹和腐蝕一樣，開運算和閉運算是關于集合補和反轉的對偶。也就是(9-26)開運算有下列性質①、是集合A的子集(子圖)；②、如果C是D的子集，則是的子集；③、

同樣，閉運算有下列性質:①、A是集合的子集(子圖)；②、如果C

是D

的子集，則是的子集；③、這些性質有助于對用開運算和閉運算構成的形態濾波器時所得到的結果的理解。例如，用開運算構造一個濾波器。我們參考上面的性質：(i)結果是輸入的子集；(ii)單調性會被保持；(iii)多次同樣的開運算對結果沒有影響。最后一條性質有時稱為冪等性。同樣的解釋適合于閉運算。考慮圖9-8(a)所示的簡單的二值圖像，它包含一個被噪聲影響的矩形目標。這里噪聲用暗元素(陰影)在亮的背景表示，而光使暗目標為空的。注意集合包含目標和背景噪聲，而目標中的噪聲構成了背景顯示的內部邊界。目的是去除噪聲及其對目標的影響，并對目標的影響越小越好。因為在這個理想的例子中，所有的背景噪聲成分的物理大小均小于結構元素，背景噪聲在開運算的腐蝕過程中被消除。（腐蝕要求結構元素完全包含于被腐蝕的集合內。）而目標內的噪聲成分的大小卻變大了(圖9-8(b))，形態“濾波器”

可以用來達到此目的。圖9-8(c)顯示了用一個比所有噪聲成分都大的圓盤形結構元素對A進行開運算的結果。注意這步運算考慮了背景噪聲但對內部邊界沒有影響。

這在意料之中，原因是目標中的空白事實上是內部邊界，在腐蝕中會變大。最后，圖9-8(e)圖9-8(c)示出了形態閉運算的結果。內部的邊界在閉運算后的膨脹運算中被消除了，如圖9-8(d)所示。圖9-8形態學濾波開運算去掉背景噪聲閉運算去掉目標噪聲MATLABHelp-ImageProcessingToolbox-Examples-ImageSegmentation-DetectingaCellUsingImageSegmentation%Step1:ReadImageI=imread('cell.tif');figure,imshow(I),title('originalimage');%Step2:DetectEntireCellBWs=edge(I,'sobel',(graythresh(I)*.1));figure,imshow(BWs),title('binarygradientmask');MATLAB數學形態學應用實例