課時跟蹤檢測（五十九）兩個基本計數原理、排列與組合一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．(2018·啟東中學檢測)從10名大學畢業生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為________．解析：分兩類：甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選，甲、乙均入選且丙沒有入選，計算可得所求選法種數為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.答案：492．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點在x軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數為________．解析：因為焦點在x軸上，所以m>n.以m的值為標準分類，由分類加法計數原理，可分為四類：第一類：m＝5時，使m>n，n有4種選擇；第二類：m＝4時，使m>n，n有3種選擇；第三類：m＝3時，使m>n，n有2種選擇；第四類：m＝2時，使m>n，n有1種選擇．故符合條件的橢圓共有10個．答案：103．(2017·常州調研)某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有________種．解析：按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．答案：9604．某校從8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有________種．解析：依題意，就甲是否去支教進行分類計數：第一類，甲去支教，則乙不去支教，且丙也去支教，則滿足題意的選派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)；第二類，甲不去支教，且丙也不去支教，則滿足題意的選派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360(種)，因此，滿足題意的選派方案共有240＋360＝600(種)．答案：6005．將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通，每個路口至少一人，則甲、乙在同一路口的分配方案共有____種．解析：不同的分配方案可分為以下兩種情況：①甲、乙兩人在一個路口，其余三人分配在另外的兩個路口，其不同的分配方案有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)；②甲、乙所在路口分配三人，另外兩個路口各分配一個人，其不同的分配方案有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)．由分類加法計數原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(種)．答案：366．把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數為________(用數字作答)．解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號，相當于將1,2,3,4,5這五個數用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號．在4個空位插3個板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4種情況，再對應到4個人，有Aeq\o\al(4,4)＝24種情況，則共有4×24＝96種情況．答案：96二保高考，全練題型做到高考達標1．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數中任取2個不同的數分別作為一個對數的底數和真數，則可以組成不同對數值的個數為________．解析：在8個數中任取2個不同的數共有8×7＝56(個)對數值，但在這56個對數值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿足條件的對數值共有56－4＝52(個)．答案：522．用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有________個．解析：當萬位數字為4時，個位數字從0,2中任選一個，共有2Aeq\o\al(3,4)個偶數；當萬位數字為5時，個位數字從0,2,4中任選一個，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)個偶數．故符合條件的偶數共有2Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝120(個)．答案：1203．將2名女教師，4名男教師分成2個小組，分別安排到甲、乙兩所學校輪崗支教，每個小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有________種．解析：第一步，為甲校選1名女老師，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)選法；第二步，為甲校選2名男教師，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)選法；第三步，為乙校選1名女教師和2名男教師，有1種選法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(種)．答案：124．有5本不同的教科書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數是________種．解析：據題意可先擺放2本語文書，當1本物理書在2本語文書之間時，只需將2本數學書插在前3本書形成的4個空中即可，此時共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)種擺放方法；當1本物理書放在2本語文書一側時，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)種不同的擺放方法，由分類計數原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48(種)擺放方法．答案：485．(2018·海門中學檢測)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數有________種．解析：(排序一定用除法)五個元素沒有限制全排列數為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得這樣的排列數有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(種)．答案：406．從6名同學中選派4人分別參加數學、物理、化學、生物四科知識競賽，若其中甲、乙兩名同學不能參加生物競賽，則選派方案共有________種．解析：特殊位置優先考慮，既然甲、乙都不能參加生物競賽，則從另外4個人中選擇一個參加，有Ceq\o\al(1,4)種方案，然后從剩下的5個人中選擇3個人參加剩下3科，有Aeq\o\al(3,5)種方案，故共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝4×60＝240(種)方案．答案：2407.如圖所示，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有________種．解析：按區域分四步：第一步，A區域有5種顏色可選；第二步，B區域有4種顏色可選；第三步，C區域有3種顏色可選；第四步，D區域也有3種顏色可選．由分步計數原理，共有5×4×3×3＝180(種)不同的涂色方法．答案：1808．在高三某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的順序的排法種數為________．解析：不相鄰問題插空法.2位男生不能連續出場的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個且2位男生不連續出場的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場順序的排法種數為N＝N1－N2＝60.答案：609．(1)已知Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1，求n；(2)若Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，求m.解：(1)由Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1得eq\f(n＋1n,2)＝(n－1)(n－2)＋1.即n2－7n＋6＝0.解得n＝1，或n＝6.由Aeq\o\al(2,n－1)知，n≥3，故n＝6.(2)原不等式可化為eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，解得m>eq\f(27,4).因為0≤m－1≤8，且0≤m≤8，所以1≤m≤8.又m是整數，所以m＝7或m＝8.10．(2018·海門中學檢測)從5名男生和3名女生中選5人擔任5門不同學科的課代表，分別求符合下列條件的方法數：(1)女生必須少于男生；(2)女生甲擔任語文課代表；(3)男生乙必須是課代表，但不擔任數學課代表．解：(1)先從8名學生中任選5名，共有Ceq\o\al(5,8)(種)選法，其中女生比男生多的情況有：選2名男生和3名女生，共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)(種)選法，所以女生少于男生的選法為Ceq\o\al(5,8)－Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)(種)；再讓選出的5名學生分別擔任5門不同學科的課代表，有Aeq\o\al(5,5)(種)方法．由分步計數原理知，共有(Ceq\o\al(5,8)－Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5520(種)不同的方法．(2)從剩余7人中選出4人分別擔任另4門不同學科的課代表，共有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840(種)不同的方法．(3)先安排男生乙，即從除數學外的另4門學科中選1門讓男生乙擔任其課代表，再從剩下的7人中選4人擔任另外4門學科的課代表，共有Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,7)＝3360(種)不同的方法．三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數，且a≤b≤c，如果b＝25，則符合條件的三角形共有________個．解析：根據三邊構成三角形的條件可知，c<25＋a.第一類：當a＝1，b＝25時，c可取25，共1個值；第二類，當a＝2，b＝25時，c可取25,26，共2個值；……當a＝25，b＝25時，c可取25,26，…，49，共25個值；所以三角形的個數為1＋2＋…＋25＝325.答案：3252．四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有________種．解析：如圖，從10個點中任取4個點的組合數為Ceq\o\al(4,10)＝210，其中四點共面的可分為三類：(1)4點在同一個側面或底面的共4組，即4×Ceq\o\al(4,6)＝60(種)；(2)每條棱的中點與它對棱的三點共面的有6種；(3)在6個中點中，四點共面的有3種．則4點不共面的取法共有210－(60＋6＋3)＝141(種)．答案：1413．從1到9的9個數字中取3個偶數4個奇數，試問：(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？(2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有幾個？(3)在(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？解：(1)分三步完成：第一步，在4個偶數中取3個，有Ceq\o\al(3,4)種情況；第二步，在5個奇數中取4個，有Ceq\o\al(4,5)種情況；第三步，3個偶數，4個奇數進行排列，有Aeq\o\al(7,7)種情況．所以符合題意的