廣東省高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程的一個(gè)根是（）A．B．C．2D．2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A．1B．C．D．23．長方體中，四邊形為正方形，直線與直線AD所成角的正切值為2，則直線與平面ABCD所成角的正切值為（）A．B．C．D．4．某公司的員工中，有是行政人員，有是技術(shù)人員，有是研發(fā)人員，其中的行政人員具有博士學(xué)歷，的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，的研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的概率為（）A．B．C．D．5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．4B．C．D．66．正三角形ABC所在的平面垂直于正三角形ABD所在的平面，且A，B，C，D四點(diǎn)在半徑為的球O的球面上，則CD的長為（）A．5B．C．4D．7．把數(shù)字1、2、3分別寫在9張卡片上，其中有4張寫著1，4張寫著2，1張寫著3，把這9張卡片排成三行三列，每行每列都是三張卡片，則每行和每列的卡片上數(shù)字和為奇數(shù)的排法的種數(shù)有（）A．30B．27C．54D．458．已知正實(shí)數(shù)a，b，記，則M的最小值為（）A．B．2C．1D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間：變化的函數(shù)，若，則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公式的是（）A．若t是以月為單位，則B．若t是以年為單位，則C．若t是以月為單位，則D．若t是以年為單位，則10．的重心為點(diǎn)G，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（）A．O，P，G三點(diǎn)共線B．C．D．點(diǎn)P在的內(nèi)部11．已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．可以等于C．可以等于5D．可以等于3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知集合，集合，寫出滿足的一個(gè)實(shí)數(shù)a的值__________．13．已知函的圖象與函數(shù)（且）的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則__________，切線方程為__________．14．已知橢圓的右焦點(diǎn)是F，過點(diǎn)F作直線l交橢圓于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)F與直線l垂直的射線交橢圓于點(diǎn)P，，且三點(diǎn)A，O，P共線（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的極小值為，求實(shí)數(shù)a的取值集合．16．（15分）已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，，．（1）求證：平面平面ABCD；（2）求二面角的余弦值．17．（15分）一枚棋子在數(shù)軸上可以左右移動(dòng)，移動(dòng)的方式以投擲一個(gè)均勻的骰子來決定，規(guī)則如下：當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)時(shí)，棋子不動(dòng)；當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為3或5時(shí)，棋子在數(shù)軸上向左（數(shù)軸的負(fù)方向）移動(dòng)“該點(diǎn)數(shù)減1”個(gè)單位；當(dāng)所擲的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，棋子在數(shù)軸上向右（數(shù)軸的正方向）移動(dòng)“該點(diǎn)數(shù)的一半”個(gè)單位；第一次投骰子時(shí)，棋子以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點(diǎn)．（1）投擲骰子一次，求棋子的坐標(biāo)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）投擲骰子兩次，求棋子的坐標(biāo)為的概率；（3）投擲骰子兩次，在所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的條件下，求棋子的坐標(biāo)為正的概率．18．（17分）已知雙曲線，直線與雙曲線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，直線與直線l交于點(diǎn)P．（1）求證：點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)A，B兩點(diǎn)分別在雙曲線兩支上，求的面積的最小值（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．19．（17分）已知數(shù)列的各項(xiàng)是奇數(shù)，且是正整數(shù)n的最大奇因數(shù)，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．廣東省高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.方程的一個(gè)根是（）A. B.－1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】因式分解后解方程可得．【詳解】原方程可化為，所以或，故選：D．2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的知識求解．【詳解】由題意，，即拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選：A．3.長方體中，四邊形為正方形，直線與直線所成角的正切值為2，則直線與平面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由異面直線所成的角求得長方體中棱的關(guān)系，再根據(jù)線面角定義計(jì)算．【詳解】長方體中，，所以就是直線與直線所成角，因此，即，又由平面知是直線與平面所成角，，故選：B．4.某公司的員工中，有是行政人員，有是技術(shù)人員，有是研發(fā)人員，其中的行政人員具有博士學(xué)歷，的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，的研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)事件“選出的員工是行政人員”，“選出的員工是技術(shù)人員”，“選出的員工是研發(fā)人員”，“選出的員工具有博士學(xué)歷”，由全概率公式及條件概率公式分別求出和，即可求解．【詳解】設(shè)事件“選出的員工是行政人員”，“選出的員工是技術(shù)人員”，“選出的員工是研發(fā)人員”，“選出的員工具有博士學(xué)歷”，由題可知，，，，，，，所以，，，所以，故選：C．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.4 B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式可解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又.故選：B6.正三角形ABC所在的平面垂直于正三角形ABD所在的平面，且A，B，C，D四點(diǎn)在半徑為的球的球面上，則CD的長為（）A.5 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】記的中點(diǎn)為，和的重心分別為，然后證明四邊形是正方形，再求其邊長，即可得到，最后用勾股定理求解即可.【詳解】如圖，記的中點(diǎn)為，和的重心分別為，則分別由，可知垂直于平面，垂直于平面.從而由和分別在平面和平面內(nèi)，知，.而平面垂直于平面，其交線為，在平面內(nèi)，，故垂直于平面，再由在平面內(nèi)，知.所以四邊形是矩形，而，故四邊形是正方形.設(shè)正方形的邊長為，則，.同時(shí)，由已知條件得.由勾股定理有，故，解得.最后，由于，，，故，D選項(xiàng)正確.故選：D.7.把數(shù)字1、2、3分別寫在9張卡片上，其中有4張寫著1，4張寫著2，1張寫著3，把這9張卡片排成三行三列，每行每列都是三張卡片，則每行和每列的卡片上數(shù)字和為奇數(shù)的排法的種數(shù)有（）A.30 B.27 C.54 D.45【答案】D【解析】【分析】從寫有數(shù)字3的卡片，開始考慮，分3所在的行要么由2個(gè)1，要么沒有1，有5種排法，由于3可以放在這9個(gè)位置中的任何一個(gè)位置，因此共有45種排法.【詳解】每張卡片都有所在的行和列，為了保證每行每列的數(shù)字和為奇數(shù)，所以每行和每列有3個(gè)奇數(shù)或者1個(gè)奇數(shù)，首先考慮寫有數(shù)字3的卡片，然后再考慮寫有數(shù)字1的卡片，3所在的行要么有2個(gè)1，要么沒有1，當(dāng)3所在的行有兩個(gè)1時(shí)，另外兩個(gè)1必須在同一列，于是有3種排法，當(dāng)3所在的行沒有1時(shí)，剩下的兩行應(yīng)該是一行3個(gè)1，一行1個(gè)1，于是有2種排法，所以對于3的每一個(gè)位置有5種排法，由于3可以放在這9個(gè)位置中的任何一個(gè)位置，因此共有45種排法.故選：D8.已知正實(shí)數(shù)，記，則的最小值為（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由已知得出，結(jié)合得出，根據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】由得，，所以，即，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，有；即且，兩式相乘，進(jìn)而得出最小值．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)，若，則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公式的是（）A.若是以月為單位，則B.若是以年為單位，則C.若是以月為單位，則D.若是以年為單位，則【答案】BC【解析】【分析】對AC，計(jì)算，滿足，，，可確定，對CD，計(jì)算，滿足，，，可確定．【詳解】選項(xiàng)A，，，A不符合；選項(xiàng)B，，，，，符合；選項(xiàng)C，，則，，，，，符合，選項(xiàng)D，，，，，不符合．故選：BC．10.的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（）A.三點(diǎn)共線 B.C. D.點(diǎn)在的內(nèi)部【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷．【詳解】，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，故A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)椋裕矗蔆正確；因?yàn)椋渣c(diǎn)的位置隨著點(diǎn)位置的變化而變化，故點(diǎn)不一定在的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤；故選：AC．11.已知函數(shù)滿足0，且在上單調(diào)遞減，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B.可以等于C.可以等于5 D.可以等于3【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，由三角函數(shù)的對稱性性質(zhì)可得，從而判斷選項(xiàng)A、B；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出的值，從而判定選項(xiàng)C、D.【詳解】由，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又，且，則，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確；根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，得，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，可得，，由于，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，由，得，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，即，又，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，即，又，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，得，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，從而.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，集合，寫出滿足的一個(gè)實(shí)數(shù)的值_____________．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】由已知得出，設(shè)，結(jié)合圖象列出不等式組求解即可．【詳解】因?yàn)椋裕O(shè)，則的整數(shù)解為，則，，且，解得，故答案為：1．13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則_____________，切線方程為_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，即可得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點(diǎn)處有相同的切線，所以，即，所以，則，，則，則，所以切線方程為，即.故答案為：；14.已知橢圓的右焦點(diǎn)是，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)與直線垂直的射線交橢圓于點(diǎn)，，且三點(diǎn)共線（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為_____________.【答案】##【解析】【分析】先證明四邊形是矩形，然后利用已知條件求出三邊的比例，再利用橢圓的定義求出和與的關(guān)系式，最后利用即得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為.由于三點(diǎn)共線，故由橢圓的對稱性知，而，故四邊形是平行四邊形.又因?yàn)椋仕倪呅问蔷匦?由于四邊形是矩形，故，.從而可設(shè)，，，此時(shí).這得到，所以，.最后由得到，即，故.從而橢圓的離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用矩形的性質(zhì)和橢圓的定義研究的三邊，從而避免直接直線與橢圓聯(lián)立導(dǎo)致繁雜的計(jì)算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的極小值為，求實(shí)數(shù)的取值集合．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的不同范圍，分別求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合（1），由的不同范圍確定極小值點(diǎn)，列出方程求解即可．【小問1詳解】，①當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，i)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；ii)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；iii)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和時(shí)單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值；②當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以的極小值為，故，化簡得，，解得或（舍去）；③當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極小值為，故，解得，符合題意；④當(dāng)時(shí)，在和時(shí)單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，所以得極小值為，故，解得或（舍去）．故實(shí)數(shù)．16.已知四棱錐中，底面是矩形，，.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）作于，連接，證明，由余弦定理求得，證得，從而可得平面，從而可得證面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【小問1詳解】因?yàn)椋饔冢B接，由已知得≌，因此繞旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)可與點(diǎn)重合，因此由得，，由已知，所以，從而，所以，從而有，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫弧拘?詳解】過作于，作于，由（1）得，由，得，所以∽，所以，所以，同理，因此到邊的距離為，到邊的距離為，以為軸，為軸，過與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，．由圖知二面角是鈍二面角，所以其余弦值為．17.一枚棋子在數(shù)軸上可以左右移動(dòng)，移動(dòng)的方式以投擲一個(gè)均勻的骰子來決定，規(guī)則如下：當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)時(shí)，棋子不動(dòng)；當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為3或5時(shí)，棋子在數(shù)軸上向左(數(shù)軸的負(fù)方向)移動(dòng)“該點(diǎn)數(shù)減1”個(gè)單位；當(dāng)所擲的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，棋子在數(shù)軸上向右(數(shù)軸的正方向)移動(dòng)“該點(diǎn)數(shù)的一半”個(gè)單位；第一次投骰子時(shí)，棋子以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點(diǎn)．（1）投擲骰子一次，求棋子的坐標(biāo)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）投擲骰子兩次，求棋子的坐標(biāo)為的概率；（3）投擲股子兩次，在所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的條件下，求棋子的坐標(biāo)為正的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）由題目分析即可得出分布列，再用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可；（2）分析出所有滿足投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為的所有情況，即可求出概率；（3）先求出投擲股子兩次，所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)且棋子的坐標(biāo)為正的概率及擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率，根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可．【小問1詳解】設(shè)為投擲骰子一次棋子的坐標(biāo)，由題可知，且概率都相同為，分布列如下：0123．【小問2詳解】投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為的情況有：①第一次坐標(biāo)為（點(diǎn)數(shù)為5），第二次向右2個(gè)單位（點(diǎn)數(shù)為4）；②第一次坐標(biāo)為（點(diǎn)數(shù)為3），第二次不動(dòng)（點(diǎn)數(shù)為1）；③第一次坐標(biāo)為0（點(diǎn)數(shù)為1），第二次向左2個(gè)單位（點(diǎn)數(shù)為3）；④第一次坐標(biāo)為2（點(diǎn)數(shù)為4），第二次向左4個(gè)單位（點(diǎn)數(shù)為5）；故投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為的概率為．【小問3詳解】設(shè)事件“擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)”，“投擲股子兩次棋子的坐標(biāo)為正”，由題可知，，投擲股子兩次，所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，且棋子的坐標(biāo)為正的點(diǎn)數(shù)情況有：6和1,6和3,4和1，1和2，共8種情況，故，則在所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的條件下，棋子的坐