2023-2024學年高考數學隨機變量及其分布小專題

一、單選題

1.在某項測量中，測得變量""（西即叫港4在包⑷內取值的概率為必，則自在

a2）內取值的概率為（）

A.0.2B.0.1C.0.8D.0.4

2.太行山脈有很多優美的旅游景點.現有甲、乙兩位游客慕名來到太行山脈，都準備從

C、D、E、F,4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩.設事件/為“甲和乙至少一人選擇。,

事件5為“甲和乙選擇的景點不同”，則條件概率0（84）=（）

7736

A.16B.耳C.7D.7

3.下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數。的值是（）

X3459

a1J_j_

P---FQ

2626

1111

A.6B.12C.9D.2

4.某校高二年級1600名學生參加期末統考，已知數學成績X?"（10002）（滿分］50分）

3

.統計結果顯示數學考試成績在80分到120分之間的人數約為總人數的則此次統考中

數學成績不低于120分的學生人數約為（）

A.80B.100C.120D.200

5.已知隨機變量自服從正態分布N（"）,且尸代<4）=0.8,則尸（0<4<2）等于（）

A.0?6B,0.4C.0-3D,0.2

6.下列說法中正確的是（）

A.尸（"忸）<尸（⑷B,忸）尸⑻是可能的

CP（"）=P（/）P（3）口.尸（川/）=。

7.某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表

示4人中的團員人數，則尸（X=3）)

4965

A.21B.21C.21D.21

8.設這兩個正態分布密度曲線如圖所示.下列結論中正確

BP(X2)"(XWbJ

C.對任意正數乙P{X<t)>P(Y<t)D.對任意正數f,P{X>t)>P(Y>t)

二、多選題

9.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從

甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以4,4和4表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球,

再從乙罐中隨機取出一球，以3表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結論中正確的是（）

A.,⑻號B,即⑷4

c.事件B與事件4相互獨立D.4,4,4兩兩互斥

10.設隨機變量x表示從1到〃這〃個整數中隨機抽取的一個整數，y表示從1到x這x個

整數中隨機抽取的一個整數，則下列正確的是（）

P（X=2,Y=\）=-

A.當”=3時，3

P（X+Y=4）=—

B.當〃=4時，24

,p（X=k,Y==\

C.當n=k（左22且左wN）時，k~

5

D.當〃=2時，y的均值為a

11.如果忑是一個離散型隨機變量，則真命題是（）

A.，取每一個可能值的概率都是非負實數

B.。取所有可能值的概率之和為1

C.忑取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和

D.。在某一范圍內取值的概率大于它取這個范圍內各個值的概率之和

12.設隨機變量X的分布列如下表，且雙工）=16,則（）

X0123

P0.1ab0.1

A.a=0.3B.6=0.5

C.P（^l）=0.4D.P（X>l）=0.6

三、填空題

13.一個盒子里裝有3種顏色，大小形狀質地都一樣的9個球，其中黃球4個，藍球3個，

綠球2個，現從盒子中隨機取出兩個球，記事件A”取出的兩個球顏色不同”，記事件8”取出

一個藍球，一個綠球”，則尸（切/）=.

14.已知0〈尸⑷J且P（8M）=尸⑻若尸⑷=06呻口）=0?3,,則尸（.）=

2

15.設隨機變量4?以2,0）,”2J+1,若“（4）=8,則。?=,

E⑺+。（〃）=.

16.已知為兩所高校舉行的自主招生考試，某同學參加每所高校的考試獲得通過的概

率均為5,該同學一旦通過某所高校的考試，就不再參加其他高校的考試，設該同學通過高

校的個數為隨機變量X,則E（X）=,D（x）=

答案:

1.D

【分析】利用正態分布的對稱性可得答案.

【詳解】因為變量"NQbX。）。），P（0<X<2）=0.8

所以P(l<X<2)=0.4

故選：D.

2.D

【分析】先求出事件N發生的概率和事件/和事件8共同發生的概率，利用條件概率公式即

可求出.

【詳解】由題兩位游客從4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩，共有4x4=16種,

其中事件/的情況有4x"3x3=7種,

事件/和事件B共同發生的情況有2,3=6種,

所以16168,

3

尸倒/)=返=手6

I)P(A)77

所以16

故選：D.

3.C

【分析】根據分布列的性質運算求解.

a111

—+-+。+—+-=1Q=一

【詳解】由題意可得：2626,解得9

故選：C.

4.D

【分析】利用正態分布曲線的對稱性，確定成績不低于120分的學生約為總人數的

Ui-2=1

214J8,即可求得成此次考試成績不低于120分的學生數.

【詳解】由題意可知：成績X~N（IOO，〃），則其正態曲線關于直線x=100對稱,

3

又因為成績在80分到120分之間的人數約占總人數的,

由對稱性知：成績不低于120分的學生約為總人數的2I4J8,

1x1600=200

所以此次考試成績不低于120分的學生約有：8人.

故選：D.

5.C

【分析】根據正態分布曲線的對稱性進行求解即可.

【詳解】?=~N（2,b）=

P（0<g<2）=尸（2<自<4）=P/<4）一尸（4<2）=0.8-0.5=0.3

故選：C.

6.B

【分析】利用條件概率的公式可判斷ABD,利用獨立事件的定義可判斷C.

P（A\B^=P（:B[>p（4B）

【詳解】選項A：。伊），故A錯誤；

,、始忸）=陰=3=尸⑷

選項B：當P（'）=l時，尸⑻「⑻,可能成立，故B正確；

選項C：尸"BA尸（⑷尸（8）當且僅當A與8相互獨立時成立，故C錯誤；

選項D：尸（H"）=L故D錯誤.

故選：B.

7.D

【分析】萬=3表示出抽取的4人中有3個團員，分別求出從這10人中任選4人參加某種活

動方法總數，以及抽取的4人中有3個團員的方法總數，由古典概率的公式即可得出答案

【詳解】丫=3表示出抽取的4人中有3個團員，

「301

尸"3)=?=50_5

210-21

所以

故選：D.

8.C

【分析】由正態密度曲線的性質結合圖像可得從°<百<4可判斷AB,由密度曲線

與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可判斷CD.

【詳解】A選項：“~"（從后）、,~~（〃2，E）的密度曲線分別關于“=從、x=4對稱,

因此結合所給圖像可得從<外，所以尸匠>運）<p（yA）,故A錯誤；

B選項：又X~N3，b；）的密度曲線較y~N（〃2，b；）的密度曲線，，瘦高，"

所以0<%<4,所以P（XW0>P（X巧），故B錯誤；

CD選項：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：

對任意正數f,P{X<t}>P（Y<t）P（X2/）WP（yN/）,故c正確，D錯誤.

故選：C.

9.BD

【分析】根據已知得出尸（"）P（4），「（4），尸J14）,尸⑶4），尸（04）,然后即可根據概

率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.

p（4）=—=-尸（4）=2=』P（A）=—P（B\AJ=—

【詳解】由已知可得，102,105,V3710,'1711,

44

P（引4）=石尸（刃4）=行

對于A項，由全概率公式可得,尸0）=尸（砌+尸（3）+尸（3）

1514349

=尸⑷尸@4）+P（4）尸修㈤+尸⑷尸（8|4）=5><打+^1T+仿/石=五故A項錯誤

p（s|4）=—

對于B項，根據已知，即可計算'〃"，故B項正確；

尸（48）=尸（4）尸（例4）=,義工=上

對于C項，由己知可得，I'I"J"21122

199

P（A1）P（B）=_x——=——wP（A\B）

I"-22244'一，故C項錯誤；

對于D項，由已知可知，4,4,4兩兩互斥，故D項正確.

故選：BD.

10.BCD

【分析】此題考查條件概率、概率的乘法公式以及隨機變量的分布列與均值，本題要注意兩

個隨機變量x,y的取值范圍.

p（X=2）=，尸（y=i|x=2）」

【詳解】對于選項A：當〃=3時，3,2,

p(x=2,y=i)=p(x=2).p(y=i|x=2)='L=L

則I7V7V7326,故A錯誤；

對于選項B,當"=4時，由X+y=4,可得X=3,y=l或X=2,7=2,

P(X+Y=4)=P(X=3,Y=l)+P(X=2,Y=2)=-x-+-x-=—

所以'"''''434224,故B正確；

*尸(X=左)=工P(Y=l\X=A：)=—

對于選項C,當〃=左(左22且左eN)時，k,k,則

P(X-k,Y_l)_-故選項c正確；

對于選項D,當〃=2時，y的可能取值為1,2,

111Q

則p(y=i)=尸(x=i,y=i)+p(x=2,y=i)=5xi+]*]=a

p(y=2)=p(x=2,y=2)=；xg=：

13cl5

1x-F2x-=一

所以y的均值為444,故D正確.

故選：BCD

11.ABC

【分析】根據分布列的性質，以及概率的求法，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，隨機變量。取每一個可能值的概率都是非負實數，所以A正確；

對于B中，根據分布列的性質，則隨機變量。取所有可能值的概率之和為1,所以B正確；

對于C中，根據分布列的性質，可得隨機變量忑取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的

概率之和，所以C正確；

對于D中，根據分布列的性質，隨機變量。在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各

個值的概率之和，所以D不正確.

故選：ABC.

12.ABCD

【分析】利用離散型隨機變量的分布列和數學期望，列出方程組

0.1+〃+6+0.1=1

0x0.1+lxq+2x6+3x0.1=1.6解出°,6的值即可得到答案.

0.1+。+b+0.1=1\ci—0.3

0x0.1+lxtz+2x/j+3x0.1=1.6解得[b=0.5

【詳解】根據題意,故A、B正確;

又P(X<1)=P(X=0)+P{X=1)=0.1+0.3=0.4,

P(X>1)=P(X=2)+尸(X=3)=0.5+0.1=0.6,故c、D正確

故選：ABCD.

3

13.13

【分析】根據題意，由條件概率的計算公式，代入計算，即可得到結果.

【詳解】事件A“取出的兩個球顏色不同”，包括一個黃球一個藍球，

一個黃球一個綠球以及一個藍球一個綠球，三種情況，

貝曠⑷=C；C；+C：C；+C；C；=26,

事件8“取出一個藍球，一個綠球”，

則C；C；=6,

所以"⑷2613.

3

故13

3

14.0.12/25

【分析】由P（8M）=P（B）,可得42相互獨立，再結合已知條件，根據獨立事件的概率乘

法公式，即可求解.

【詳解】由玖'M）=P⑻可得42相互獨立，

又「向）=0.6p（4）=l-尸G）=S4

又因為呻所以尸⑻叫

所以尸（A8）=P（N）P（8）=04x0.3=0.12

故0.12.

4371

15.9T/9

【分析】根據已知條件，結