湘教版七年級數學下冊知識點歸納

第一章二元一次方程組

一、二元一次方程組

1、概念：

①二元一次方程：含有兩個未知數，且未知數的指數（即次數）都是1的方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程組：兩個二元一次方程（或一個是一元一次方程，另一個是二元一次方程；或兩個都是一

元一次方程；但未知數個數仍為兩個）合在一起，就組成了二元一次方程組。

2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解：

使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個未知數的值，叫二元一次方程的解。

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫二元一次方程組的解。

注：①、因為二元一次方程含有兩個未知數，所以，二元一次方程的解是一組（對）數，用大括號聯立；

②、一個二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；③、而二元一次方程組的解是其中兩個二元

一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數組或無解（即無公共解）。

二元一次方程組的解的討論：

已知二元一次方程組alx+bly=cl

a2x+b2y=c2

①、當al/a2半bl/b2時，有唯一解；

②、當al/a2=bl/b2Wcl/c2時，無解；

③、當al/a2=bl/b2=cl/c2時，有無數解。

例如：對應方程組：①、x+y=4②、x+y=3③、x+y=4

3x-5y=92x+2y=52x+2y=8

例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組:

①、a+b=2②、x=4③、3t+2s=5④、x=11

b+c=3y=5ts+6=02x+3y=0

3、用含一個未知數的代數式表示另一個未知數：

用含X的代數式表示Y,就是先把X看成已知數，把Y看成未知數；用含Y的代數式表示X,則相當于把

Y看成已知數，把X看成未知數。

例：在方程2x+3y=18中，用含x的代數式表示y為：,用含y的代數式表示x

為：。

4、根據二元一次方程的定義求字母系數的值：

要抓住兩個方面：①、未知數的指數為1,②、未知數前的系數不能為0

例：已知方程(a-2)x'(/a/-l)-(b+5)y'(b'2-24)=3是關于x、y的二元一次方程，求a、b的值。

5、求二元一次方程的整數解

例：求二元一次方程3x+4y=18的正整數解。

思路：利用含一個未知數的代數式表示另一個未知數的方法，可以求出方程有正整數解時x、y的取值范

圍，然后再進一步確定解。

解：用含x的代數式表示y:y=9/2-(3/4)x用含y的代數式表示x:x=6-(4/3)y

因為是求正整數解，貝U：9/2-(3/4)x>0,6-(4/3)y>0

所以，0<x<6,0<y<9/2

所以，當y=1時，x=6-4/3二14/3，舍去；當y=2時，x=6-8/3:10/3,舍去；

當y=3時，x=6-12/3=2,符合；當y=4時，x=6-16/3=2/3,舍去。

所以，3x+4y=18的正整數解為：x=2

y=3

再例：①、如果x=3是方程組ax-2y=5的解，求a-b的值。

y=-12x+by=3

②、甲、乙兩人共解方程組ax+5y=15,①由于甲看錯了方程①中的a,得到的方程組的解

4x-by=-2,②

為X=-3,乙看錯了方程②中的b,得到的方程組的解為X=5,試計算a”009+

y=-1,y=4,

(-b/10)-2010的值。

二、二元一次方程組的解法一一消元(整體思想就是：消去未知數，化“二元”為“一元”)

1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數用含另一未知數的式子表示出來，再代入

另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數用含另一個未知數的代數式表

示出來；

②、將變形后的關系式代入另一個方程(不能代入原來的方程哦！)，消去一個未知數，得到一個一元

一次方程；

③、解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；

④、將求得的未知數的值代入變形后的關系式(或原來的方程組中任一個方程)中，求出另一個未知

數的值；

⑤、把求得的兩個未知數的值用大括號聯立起來，就是方程組的解。

2、加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數前的系數相反或相等(或利用等式的性質可變為相反或相

等)時，將兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求

得這個二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法。

注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數前的系數既不相反又不相等時，就根據等式的性質，用

適當的數乘以方程的兩邊(注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數)，使同一未知數前的系數相反或相等；

②、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；

③、解這個一元一次方程，求得一個未知數的值；

④、將這個求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，并把求得

的兩個未知數的值用大括號聯立起來，就是方程組的解。

例：解方程組：

①、4y-(2y+x+16)/2=~6x②、x/2+y/3=13/2

2y+3x=7-2x-yx/3-y/4=3/2

3、用換元法解方程組：

根據題目的特點，利用換元法簡化求解，同時應注意換元法求出的解要代回關系式中，求出方程組中未知

數的解。

例：i、解方程組：5/(x+l)+4/(y-2)=2

7/(x+l)-3/(y-2)=13/20

2a-3b=13a=8.3

ii、已知方程組?,,,??。的解是，則方程組2(x+2)-3(y-l)13

3a+5b=30.9b=1.2

3(x+2)+5(y-1)30.9

的解是：()

x=8.3x=10.3x=6.3x=10.3

A、y=L2B、y=2.2c、y=2.2D、y=0.2

4、用整體代入法解方程組：

例:解方程組：2x-y=6①

(x+2y)(4x-2y)=192②

解：將②變形為：(x+2y)X2(2x-y)=192③，把①代入③得：(x+2y)X2X6=192，即x+2y=

16④

再把①和④組成新的方程組：2x-y=6解得：x=5.6

x+2y=16y=5.2

5、另外幾種類型的例題：

（1）、若|m+n-5|+（2m+3n-5產=0,求（m-口產的值。

（2）、已知代數式x?+ax+b,當x=T時，它的值是5,當x=l時，它的值是T,求當x=2時，代數

式的值。

（3）、已知方程組5x+y=3與x-2y=5有相同的解，求m,n的值。

mx+5y=45x+ny=1

（4）、已知方程組3x-5y=2m的解x、y互為相反數，求m、x以及y的值。

2x+7y二m-18

（5）、關于x、y的方程組2x-y=k的解，也是方程2x+y=3的解，求k的值。

3x+y=k+1

（6）、某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工后上市銷售。該公司的加工能力是：每天可以精加工6

噸或者粗加工16噸。現計劃用15天完成加工任務，該公司應安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完

成任務？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后的利潤為2000元，那么照此安排，該公司出

售這些加工后的蔬菜共獲利多少元？

三、實際問題與二元一次方程組

1、利用二元一次方程組解實際應用問題的一般過程為：審題并找出數量關系式一〉設元（設未知數）一

根據數量關系式列出方程組一〉解方程組一〉檢驗并作答（注意：此步驟不要忘記）

2、列方程組解應用題的常見題型：

（1）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關系式是：較大量-較小量=相差量，總量=倍數義倍

量；

（2）、產品配套問題：解這類題的基本等量關系式是：加工總量成比例；

（3）、速度問題：解這類問題的基本關系式是：路程=速度義時間，包括相遇問題、追及問題等；

（4）、航速問題：①、順流（風）：航速=靜水（無風）時的速度+水（風）速；

②、逆流（風）：航速=靜水（無風）時的速度-水（風）速；

（5）、工程問題：解這類問題的基本關系式是：工作總量=工作效率X工作時間，（有時需把工作總量看

作1）;

（6）、增長率問題：解這類問題的基本關系式是：原量X（1+增長率）=增長后的量，原量義（「減少率）

減少后的量;

（7）、盈虧問題：解這類問題的關鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個角度來把握事物的總量；

（8）、數字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示；

（9）、幾何問題：解這類問題的基本關系是有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式；

（10）、年齡問題：解這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數相等。

例1：一批水果運往某地，第一批360噸，需用6節火車車廂加上15輛汽車，第二批440噸，需用8節

火車車廂加上10輛汽車，求每節火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸？

例2：甲、乙兩物體分別在周長為400米的環形軌道上運動，已知它們同時從一處背向出發，25秒后相

遇，若甲物體先從該處出發，半分鐘后乙物體再從該處同向出發追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲，

假設甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。

例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運動，甲的速度比乙大，當二人反向運動

時，每150秒相遇一次，當二人同向運動時，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。

例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3:7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4：1,

今要得到酒精與水的比是3:2的酒精溶液50kg,求甲、乙兩種溶液各取多少kg?

例5：一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50個，或制作桌腿300

條，現有5立方米木料，請問，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時，可以

制成多少張方桌？

例6：某人要在規定的時間內由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘，

如果他以每小時75千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達乙地，求甲、乙兩地間的距離。

例7：某農場有300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農作物，已知種植各種農

作物每公頃所需勞動力人數

農作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金

及投入資金如右表：

水稻4人1萬元

已知該農場計劃投入資金

棉花8人1萬元

67萬元，應該怎樣安排這三

蔬菜5人2萬元

種農作物的種植面積才能使

所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？

例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個50人

的旅游團到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？

捐款數額捐助貧困中學生人數捐助貧困小學生人數

（元）（名）（名）

例9：某山區有23名中、初一年級400024

小學生因貧困失學需要捐初二年級420033

助，資助一名中學生的學習初三年級7400

費用需要a元，資助一名小

學生的學習費用需要b元。某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數額與使用這些捐款恰好資助受捐助

中學生和小學生人數的部分情況如右表：

(1)、求a、b的值；

(2)初三年級的捐款解決了其余貧困中小學生的學習費用，請分別計算出初三年級的捐款所資助的中學生

和小學生人數。

四、三元一次方程組的解法

1、概念：由三個方程組成方程組，且方程組中共含有三個未知數，每個方程中含有的未知數的次數都是1

次，這樣的方程組叫三元一次方程組。

注：三元一次方程組中的三個方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個未知數”

的條件即可。

2、解三元一次方程組的基本思想：

消元消元

三元一次二元一次一元一次

---------------->---------------->

方程組方程組方程

（代入法、加減法）（代入法、加減法）

3x+4y+z=143x+4z=7

例1:解方程組x+5y+2z=172x+3y+z=9

2x+2y-z=35x-9y+7z=8

例2：在y=ax?+bx+c中，當x=l時，y=0；x=2時，y=3；x=3時,y=28,求a、b、c的值。當*=T時，

y的值是多少？

例3：甲、乙、丙三數之和是26,甲數比乙數大1,甲數的兩倍與丙數的和比乙數大18,求這三個數。

例4：小明從家到學校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每

小時行3千米，平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米，那么小明從家到學校需要1小時，從學校

回家只需要44分鐘。求小明家到學校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？

第二章整式的乘法

1.同底數鬲的乘法：a-a"=a+n,底數不變，指數相加.

2.幕的乘方與積的乘方：(*三建，底數不變，指數相乘；(ab)三aE,積的乘方等于各因式乘方的積.

3.單項式的乘法：系數相乘，相同字母相乘，只在一個因式中含有的字母，連同指數寫在積里.

4.單項式與多項式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc,用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

5.多項式的乘法：(a+b)?(c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把

所得的積相加.

6.乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2,兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差；

(2)完全平方公式：

①(a+b)2=a，2ab+b2,兩個數和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍；

②(a-b)2=a2-2ab+b2,兩個數差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍；

X③(a+b-c)2=a2+b°+c2+2ab-2ac-2bc,略.

7.配方:

(1)若二次三項式x2+px+q是完全平方式,則有關系式：;

X(2)二次三項式ax°+bx+c經過配方，總可以變為a(x-h”+k的形式，利用a(x-h)'+k

①可以判斷ax?+bx+c值的符號；②當x=h時，可求出ax?+bx+c的最大(或最小)值k.

X(3)注意：x2+—=^x+—-2.

8.同底數塞的除法:a4-a"=aM,底數不變，指數相減.

9.零指數與負指數公式：

(1)a°=l(aWO)；a'-—,(a：#0).注意：0°,0‘無意義；

a11

(2)有了負指數，可用科學記數法記錄小于1的數，例如：0.0000201=2.01X10-5.

第三章因式分解

1.因式分解

定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。

即：多項式—幾個整式的積

因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。

2.因式分解的方法：

(1)提公因式法：

①定義：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的

形式，這個變形就是提公因式法分解因式。

公因式：多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數字或字母，也可以是一個單項式

或多項式。

,系數一一取各項系數的最大公約數

＜字母——取各項都含有的字母

指數一一取相同字母的最低次嘉

例：12a363c-8a3/72c3+6。72c2的公因式是.

解析：從多項式的系數和字母兩部分來考慮，系數部分分別是12、-8、6,它們的最大公約數為2；字母部

323l

分3GaZ，c,c14be2都含有因式//c,故多項式的公因式是2a382c.

②提公因式的步驟

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩

下的另一個因式。

注意：提取公因式后，對另一個因式要注意整理并化簡，務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的，要

先提取符號。

例1：把12a2b-18ab--24a3b3分解因式.

解析：本題的各項系數的最大公約數是6,相同字母的最低次塞是ab,故公因式為6ab。

解：12a2^—186^2—24/獷

=6ab(2a—3b—4a2b2)

例2：把多項式3(x—4)+x(4—x)分解因式

解析：由于4—x=—(x—4),多項式3(x—4)+x(4—%)可以變形為3。—4)——4),我們可以發現多項

式各項都含有公因式(x-4)，所以我們可以提取公因式(x-4)后,再將多項式寫成積的形式.

解：3(x-4)+x(4-x)

=3(x—4)一一4)

(3—%)(九一4)

例3：把多項式-爐+2元分解因式

解：—X2+2x——(%2—2x)=-x(x—2)

(2)運用公式法

定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式

法。

a逆用平方差公式：a2-b1-(a+b)(a-b)

。.逆用完全平方公式：a2±2〃》+//=±勿2

c逆用立方和公式：a3+b3=(a+b)(〃2一+拓展)

d.逆用立方差公式：a3-b3=(〃一6)(〃+〃/?+/)(拓展)

注意：①公式中的字母可代表一個數、一個單項式或一個多項式。

②選擇使用公式的方法：主要從項數上看，若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項

式，可考慮完全平方公式。

例1：因式分解6—14Q+49

解：a1-14々+49=(〃一7)2

例2：因式分解/+2Q3+C)+S+C)2

解：a+2QS+C)+S+C)2=(G+Z?+C)2

(3)分組分解法(拓展)

①將多項式分組后能提公因式進行因式分解；

例：把多項式ab—a+Z?—1分解因式

解：ab-a+b-l=(ab-a)+(b-l)=a(b-1)+(Z?-1)=(a+1)(/?-1)

②將多項式分組后能運用公式進行因式分解.

例：將多項式/一2。人一1+人2因式分解

解：Q?—2ab—1+/72

-(a2—2ab+b2)—l=(a—b)2—l=(a—b+V)(a—b—V)

(4)十字相乘法(形如三+(o+q)x+〃q=(x+〃)(x+q)形式的多項式，可以考慮運用此種方法)

方法：常數項拆成兩個因數p和4,這兩數的和p+q為一次項系數

x2+(p+q)x+pq

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

例：分解因式V-x-30分解因式％2+52X+1OO

補充點詳解補充點詳解

我們可以將-30分解成pXq的形式，我們可以將100分解成pXq的形式，

使p+q=T,pXq=-30,我們就有p=-6,使p+q=52,pXq=100,我們就有p=2,

q=5或q=-6,p=5oq=50或q=2,p=50o

所以將多項式三+(p+q)x+pq可以分所以將多項式三+(〃+q)x+pq可以分

解為(x+p)(x+q)解為(x+p)(x+q)

X2-X-30=(X-6)(%+5)J+52%+100=(x+5O)(x+2)

3.因式分解的一般步驟：

如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上

的多項式，

通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、

“四十字

注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明

確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是

幾個整式的積的形式。

一、例題解析

提公因式法

提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面.

確定公因式的方法：

系數一一取多項式各項系數的最大公約數；

字母(或多項式因式)一一取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次塞.

【例1】分解因式：

⑴15a一10"他一。戶(〃為正整數)

⑵4--6""2"I(m、n為大于1的自然數)

【鞏固】分解因式：(x-y嚴J(x-z)(x-y產+2(y-x產(y-z),〃為正整數.

2

【例2】先化簡再求值，y(x+y)+(x+y)(x-y)-x,其中x=-2,y=L

o

?求代數式的值：(3x-2)2(2x+1)-(3x-2)(2x+1)2+x(2x+1)(2-3x),其中％=—*.

3

99221

【例3】已知：b+c-a=-2,^.—a(a—b—c)+b(—c——a+—b')+—c(2b+2c—2a)

■分解因式：x3(%+y-z)(y+z-a)+x2z(z-x-y)+x2y(z-x-y)(x-z-a).

公式法

平方差公式：a2-b2-(a+b)(a-b)

①公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反；

②每一項都可以化成某個數或式的平方形式；

③右邊是這兩個數或式的和與它們差的積，相當于兩個一次二項式的積.

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-Z?)2

①左邊相當于一個二次三項式；

②左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數或式的完全平方式；

③左邊中間一項是這兩個數或式的積的2倍，符號可正可負；

④右邊是這兩個數或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定.

一些需要了解的公式：

—(0+6乂々？—db+Z?2)[3—匕3_(Q—+db+)

(a+b)3=(i+?)ab+3ab2+b3(a—b)3=tz3—301b+3ab2—Z?3

第四章相交線與平行線

一、知識網絡結構

,相交線

相交線垂線

同位角、內錯角、同旁內角

'平行線：在同一平面內,不相交的兩條直線叫平行線

「定義：

判定1:同位角相等，兩直線平行

平行線及其判定<

平行線的判定<判定2：內錯角相等，兩直線平行

相交線與平行線判定3：同旁內角互補，兩直線平行

判定4：平行于同一條直線的兩直線平行

性質1：兩直線平行，同位角相等

性質2：兩直線平行，內錯角相等

平行線的性質《性質3：兩直線平行，同旁內角互補

性質4：平行于同一條直線的兩直線平行

命題、定理

.平移

二、知識要點

1、在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種:相交和平行，垂直是相交的一種特殊情況。

2、在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線。如果兩條直線只有一個公共點,稱這兩條直線相交;

如果兩條直線沒有公共點,稱這兩條直線平行。

3、兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是

鄰補角。鄰補角的性質：鄰補角互補。如圖1所示，與互為鄰補角，

與互為鄰補角。+:180°；+=180°；+

+=180°。

4、兩條直線相交所構成的四個角中，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這樣的兩個角

互為對頂角。對頂角的性質:對頂角相等。如圖1所示，與互為對頂角。;

5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個是直角或90°時,稱這兩條直線互相垂直,

其中一條叫做另一條的垂線。如圖2所示，當―=90。時，—±—o'

垂線的性質：

性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。/'

圖2

性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

性質3：如圖2所示，當3±時，====90°。

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線度般氐度叫點到直線的距離。,/

6、同位角、內錯角、同旁內角基本特征：

①在兩條直線（被截線）的同一方，都在第三條直線（截線）的同一側，這樣

的兩個角叫同位角。圖3中，共有對同位角:與是同位角；囹

與是同位角；與是同位角；與是同位角。

②在兩條直線（被截線）之間，并且在第三條直線（截線）的皿L，這樣的兩個角叫內錯角。圖3中，共

有一對內錯角：—與一是內錯角；—與一是內錯角。

③在兩條直線（被截線）的之間，都在第三條直線（截線）的同一旁，這樣的兩個角叫同旁內角。圖3中,

共有一對同旁內角：與是同旁內角；與是同旁內角。

7、平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

平行線的性質：

性質1：兩直線平行，同位角相等。如圖4所示，如果a〃b,

貝I」=；=；=；=O

性質2：兩直線平行，內錯角相等。如圖4所示，如果a〃b,則

性質3：兩直線平行，同旁內角互補。如圖4所示，如果a〃b,則+=180°；

+:180°o

性質4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a〃b,a〃c,

8、平行線的判定：

判定1：同位角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果=

或=或=或=，則a〃b。

判定2：內錯角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果=

判定3：同旁內角互補，兩直線平行。如圖5所示，如果+=180°；

+180°,則a〃b。

判定4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a〃b,a〃c,則―//o

9、判斷一件事情的語句叫魚題。命題由題設和結論兩部分組成,有真命題和假命題之分。如果題

設成立，那么結論一定成立,這樣的命題叫真命題；如果題設成立，那么結論不一定成立,這樣的

命題叫假命題。真命題的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫定理,它可以作為繼續推理的依據。

10、平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的

某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。

平移性質：平移前后兩個圖形中①對應點的連線平行且相等；②對應線段相等；③對應角相等。

第五章旋轉

一.知識框架

二.知識概念

1.旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定

點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。（圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固

定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后

圖形的大小和形狀沒有改變。）

2.旋轉對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形,

這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小于0。，大于360。）。

3.中心對稱圖形與中心對稱：

中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心

對稱圖形。

中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成

中心對稱。

4.中心對稱的性質：

關于中心對稱的兩個圖形是全等形。

關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。

關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。

一、精心選一選（每小題3分，共30分）

2.平面直角坐標系內一點P（—2,3）關于原點對稱的點的坐標是（）

A.(3,-2)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)

3.3張撲克牌如圖1所示放在桌子上，小敏把其中一張旋轉180。后得到如圖（2）所示，則她所旋轉的牌

從左數起是（）問知院

A.第一張B.第二張C.第三張D.第四張門;總

4.在下圖右側的四個三角形中，不能由AA8C經過旋轉或平移得到的是（）

5.如圖3的方格紙中，左邊圖形到右邊圖形的變換是（）

A.向右平移7格

B.以AB的垂直平分線為對稱軸作軸對稱，再以AB為對稱軸作軸對稱

C.繞AB的中點旋轉180°,再以AB為對稱軸作軸對稱

D.以AB為對稱軸作軸對稱，再向右平移7格

6.從數學上對稱的角度看，下面幾組大寫英文字母中，不同于另外三組的一組是（）

A.ANEGB.KBXNE

C.XIHOD.ZDWH/f\

7.如圖4,C是線段BD上一點，分別以BC、CD為邊在BD同側作等邊\AABC

和等邊△CDE,AD交CE于F,BE交AC于G,則圖中可通過旋轉而相互得到

的三角形對數有（）.B—CD

A.1對B.2對C.3對D.4對用“

囹4

8.下列這些復雜的圖案都是在一個圖案的基礎上，在“幾何畫板”軟件中拖動一點后形成的，

它們中每一個圖案都可以由一個“基本圖案”通過連續旋轉得來，旋轉的角度是（）

A30PB45°C60PD90P

9.如圖5所示，圖中的一個矩形是另一個矩形順時針

方向旋轉90°后形成的個數是（）

A.1個B.2個

⑴⑵⑶⑷

圖5

C.3個D.4個

10.如圖6,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，NC和/ADE

都是直角，點C在AE上，AABC繞著A點經過逆時針旋轉后能

夠與AADE重合得到圖7,再將圖23—A—4作為“基本圖形”繞

著A點經過逆時針連續旋轉得到圖7.兩次旋轉的角度分別為()

圖6

A.45°,90°B.90°,45°

C.60°,30°D.30°,60

二、耐心填一填(每小題3分，共24分)

11.關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過,而

___________平分.

12.在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這五種圖形中，

軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是.

13.時鐘上的時針不停地旋轉，從上午8時到上午11時，時針旋轉的

角是_____________

14.如圖8,△/6C以點/為旋轉中心，按逆時針方向旋轉60°,得△/夕C,則△/仍'是三角形.

15.已知a<0,則點P(a2,—a+3)關于原點的對稱點Pi在第象限

16.如圖9,△COD是AAOB繞點。順時針方向旋轉40°后所得的圖形，點C恰好在AB上，NAOD=

90°,則ND的度數是.

17.如圖10,在兩個同心圓中，三條直徑把大圓分成相等的六部分，若大圓的半徑為2,則圖中陰影部分

的面積是.

18.如圖,四邊形ABCD中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD,AE_LBC于E,若線段AE=5,則S四邊形ABCD

圖10

19.（6分）如圖12,四邊形ABCD的NBAD=/C=90°,AB=AD,AE_LBC于旋轉后能與ADE4重

合。

(1)旋轉中心是哪一點？

(2)旋轉了多少度？

(3)如果點A是旋轉中心，那么點B經過旋轉后，點B旋轉到什么位置?

20.(4分)如圖13,請畫出AABC關于點。點為對稱中心的對稱圖形

o

C

圖

21.（6分）如圖14,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后,

△A3C的頂點均在格點上，點C的坐標為（4,-1）.

①把aABC向上平移5個單位后得到對應的△A4G，畫出△44G，并寫出G的坐標;

②以原點。為對稱中心，再畫出與△AgG關于原點。對稱的262c2,并寫出點的坐標.

圖14

18.（4分）如圖15,方格中有一條美麗可愛的小金魚.

(1)若方格的邊長為1,則小魚的面積為.

(2)畫出小魚向左平移3格后的圖形（不要求寫作圖步驟和過程）.

22.（6分）如圖16,E、F分別是正方形ABCD的邊CD、DA上一點，且CE+AF=EF,請你用旋轉的方法

求NEBF的大小.

23.

19.（8分）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三分\ABC和

△DEF.將這兩張三角形膠片的頂點8與頂點E重合，把△DER繞點8順時針方向旋轉，這時AC與

相交于點。.

（1）當旋轉至如圖②位置，點3（E）,C,。在同一直線上時，/AED與NDC4的數量關系

是.2分

（2）當△DER繼續旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由.

（3）在圖③中，連接30,AD,探索8。與AO之間有怎樣的位置關系，并證明.

第六章數據的分析

一、知識點講解：

1.平均數：

（1）算術平均數：一組數據中，有n個數據，則它們的算術平均數為

__xl+x2+---+xn

n

（2）加權平均數：

若在一組數字中，X1出現6次，M出現方次，…，打出現幾次，那么父二】/1+*2,2+“+4九

fl+f?+-+fk

叫做修、必、…、殊的加權平均數。其中，fi、方、…、fk分別是修、必、…、殊的權.

權的理解:反映了某個數據在整個數據中的重要程度。

權的表示方法：比、百分比、頻數（人數、個數、次數等）。

2.中位數：將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置

的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。

3.眾數：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數。

4.平均數中位數眾數的區別與聯系

相同點

平均數、中位數和眾數這三個統計量的相同之處主要表現在：都是來描述數據集中趨勢的統計量；都

可用來反映數據的一般水平；都可用來作為一組數據的代表。

不同點

它們之間的區別，主要表現在以下方面。

1）、定義不同

平均數：一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數。

中位數：將一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數。

眾數：在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。

2）、求法不同

平均數：用所有數據相加的總和除以數據的個數,需要計算才得求出。

中位數：將數據按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數據個數是奇數，則處于最中間位置的數就是

這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數是這組數據的中位數。它的求出不

需或只需簡單的計算。

眾數：一組數據中出現次數最多的那個數，不必計算就可求出。

3）、個數不同

在一組數據中，平均數和中位數都具有惟一性，但眾數有時不具有惟一性。在一組數據中，可能不止一個

眾數，也可能沒有眾數。

4）、代表不同

平均數：反映了一組數據的平均大小，常用來一代表數據的總體“平均水平”。

中位數：像一條分界線，將數據分成前半部分和后半部分，因此用來代表一組數據的“中等水平”。

眾數：反映了出現次數最多的數據，用來代表一組數據的“多數水平”。

這三個統計量雖反映有所不同，但都可表示數據的集中趨勢，都可作為數據一般水平的代表。

5）、特點不同

平均數：與每一個數據都有關，其中任何數據的變動都會相應引起平均數的變動。主要缺點是易受極端值的

影響，這里的極端值是指偏大或偏小數。

中位數：與數據的排列位置有關，某些數據的變動對它沒有影響；它是一組數據中間位置上的代表值，不

受數據極端值的影響。

眾數：與數據出現的次數有關，著眼于對各數據出現的頻率的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有

關，不受極端值的影響，其缺點是具有不惟一性，一組數據中可能會有一個眾數，也可能會有多個或沒有。

6)、作用不同

平均數：是統計中最常用的數據代表值，比較可靠和穩定，因為