【贏在高考·黃金8卷】備戰2024年高考數學模擬卷（新題型地區專用）黃金卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．某校高一年級18個班參加藝術節合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數據的分位數為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【答案】B【解析】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因為，所以這組數據的分位數第8個數與第9個數的平均值，即，故選B.2．若，則實數（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，即，解得，故選B.3．各項為正的等比數列中，，則的前4項和（

）A．40 B．121 C．27 D．81【答案】A【解析】設等比數列公比為,故選A.4．“函數的圖象關于對稱”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當函數的圖象關于對稱時，有，，得，，易知，所以“函數的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選B．5．某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（

）A．48種 B．32種 C．24種 D．16種【答案】B【解析】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有種排法，當老師從左到右排在第三位時，共有種排法，于是共有種排法.故選：B.6．設m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】對于A,如上圖正方體中，設平面為，平面為，為，滿足，，此時，故A錯誤；對于B，因為，，α、β是不同的平面，則必有，故B正確；對于C，如上圖正方體中，設平面為，平面為，為，滿足，，此時，故C錯誤；對于D，如上圖正方體中，設平面為，為，為，則滿足，，此時，故D錯誤.故選:B.7．已知函數，若，是銳角的兩個內角，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，當時，，所以，即，所以在上單調遞減.因為，是銳角的兩個內角，所以，則，因為在上單調遞減，所以，故，故D正確.同理可得，C錯誤；而的大小不確定，故與，與的大小關系均不確定，所以與，與的大小關系也均不確定，AB不能判斷.故選：D8．已知橢圓：的焦點分別為，，點在上，點在軸上，且滿足，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，：的圖象，則，，其中，設，，則，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化簡得，又橢圓離心率，所以，得.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知，為復數，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或【答案】AC【解析】A：根據共軛復數的定義，本選項正確；B：取，，滿足，但，故本選項錯誤；C：設，，，由，得，即，，所以，即，故本選項正確；D：取，，則，，此時且，故D不正確．故選：AC10．如圖，點是函數的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（

）A．B．C．函數在上單調遞減D．若將函數的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數的圖像，則的最小值為【答案】ACD【解析】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當時，，因為在為減函數，故在上單調遞減，故C正確；將函數的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．已知定義在上的函數滿足，且是奇函數.則（

）A． B．C．是與的等差中項 D．【答案】ACD【解析】因為，所以，兩式相減得，所以的周期為4.因為是奇函數，所以，所以，即，令，得.因為，令，得，所以，即.因為，令，得，所以，所以，所以，故A正確.因為，所以，即，所以.因為，，所以B錯誤.因為，，所以，所以是與的等差中項，故C正確.因為，所以，故D正確.故選：ACD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知集合，，則【答案】【解析】因為，，所以.13．已知多項式，則.【答案】74【解析】對于，其二項展開式的通項為，令，得，故，對于，其二項展開式的通項為，令，得，故，所以.14．在正三棱臺中，，，側棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內切球，則此正三棱臺的體積為．【答案】【解析】如圖，取BC和的中點分別為P，Q，上、下底面的中心分別為，，設，內切球半徑為r，因為，棱臺的高為2r，所以，，同理．因為內切球與平面相切，切點在上，所以①，在等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，則棱臺的高，所以棱臺的體積為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（本小題滿分13分）已知函數(1)當時，求在區間上的最值；(2)若直線是曲線的一條切線，求的值.【解】（1）當時，，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，，又，，.（2）由題意知：，設直線與相切于點，則，消去得：，解得：，則，解得：.16．（本小題滿分15分）如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個三等分點，P是半球面上一點，且．(1)證明：；(2)若點在底面圓上的射影為中點，求直線與平面所成的角的正弦值．【解】（1）連接，因為依次是底面上的兩個三等分點，所以四邊形是菱形，設，則為中點，且，又因為，故是等邊三角形，連接，則，又因為面，，所以面，因為面，所以，因為依次是底面上的兩個三等分點，所以，所以，又因為AB是半球O的直徑，P是半球面上一點，所以，因為面，，所以面，又因為面，所以（2）因為點在底面圓上的射影為中點，所以面，因為面，所以，又因為，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以，設平面的法向量，則，令，則，設直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為17．（本小題滿分15分）“村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實是目前火爆全網的貴州鄉村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉村足球超級聯賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風?鄉土味?歡樂感，讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性別有關，隨機抽取了男?女同學各50名進行調查，部分數據如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計男生20女生15合計100附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根據所給數據完成上表，依據的獨立性檢驗，能否有的把握認為該中學學生喜歡足球與性別有關？(2)社團指導老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范定點射門.據統計，這兩名男生進球的概率均為，這名女生進球的概率為，每人射門一次，假設各人進球相互獨立，求3人進球總次數的分布列和數學期望.【解】（1）依題意，列聯表如下：喜歡足球不喜歡足球合計男生302050女生153550合計4555100零假設：該中學學生喜歡足球與性別無關，的觀測值為，，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認為該中學學生喜歡足球與性別有關.（2）依題意，的所有可能取值為，，所以的分布列為：0123數學期.18．（本小題滿分17分）已知點P（非原點）在拋物線C：上，點P處的切線分別交x，y軸于點Q，R．(1)若，求實數的值．(2)定義：過拋物線上一點，且垂直于在該點處切線的直線稱為拋物線的法線．若拋物線C在點P處的法線交拋物線C于另一點S，求面積的最小值．【解】（1）不妨設，，由得，所以點P處的切線方程為．令，得，所以．所以點Q為線段PR的中點．所以．（2）設，由法線定義得，所以，又，即．因為，，所以，．因為，，所以．設，，則．令，得．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以當時，．故面積的最小值為．19．（本小題滿分17分）已知是個正整數組成的行列的數表，當時，記．設，若滿足如下兩個性質：①；②對任意，存在，使得，則稱為數表．(1)判斷是否為數表，并求的值；(2)若數表滿足，求中各數之和的最小值；(3)證明：對任意數表，存在，使得．【解】（1）是數表，（2）由題可知.當時，有，所以.當時，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數之和，當時，各數之和取得最小