2024年高考數學總復習高中數學誘導公式全集

高中數學誘導公式全集

常用的誘導公式有以下幾組:

公式一：設a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相

等：

sin(2k7t+a)=sina(kGZ)

cos(2kn+a)=cosa(kGZ)

tan(2kn+a)=tana(kGZ)

cot(2kn+a)=cota(kGZ)

公式二：設a為任意角，兀+a的三角函數值與a的三角函數值

之間的關系：

sin(71+a)=~sina

cos(71+a)=-cosa

tan(71+a)=tana

cot(71+a)=cota

公式三：任意角a與-a的三角函數值之間的關系:

sin(—a)=-sma

cos(—a)=cosa

tan(—a)=—tana

cot(-a)=-cota

公式四：利用公式二和公式三可以得到小a與a的三角函數值

之間的關系：

sin(7i—a)=sina

cos(7i—a)==-cosa

tan(7i—a)=一tana

cot(兀—a)=-cota

公式五：利用公式一和公式三可以得到如-a與a的三角函數值

之間的關系：

sin(2TI—a)=—sina

cos(2TI—a)=cosa

tan(2TI—a)=一tana

cot(2TI—a)=-cota

公式六：兀/2±&及3兀/2±&與&的三角函數值之間的關系：

sin(兀/2+a)=cosa

cos(兀/2+a)=—sina

tan(兀/2+a)=—cota

cot(兀/2+a)=—tana

sin(7t/2—a)=cosa

cos(7i/2—a)=sina

tan(7i/2—a)=cota

cot(TI/2—a)=tana

sin(37i/2+a)=~cosa

cos(37t/2+a)=sina

tan(37i/2+a)=—cota

cot(3兀/2+a)=—tana

sin(3TC/2-a)=~cosa

cos(3兀/2-a)=~sina

tan(3TI/2—a)=cota

cot(3TI/2—a)=tana

(以上kez)注意：在做題時，將a看成銳角來做會比較好做。

誘導公式記憶口訣※規律總結※

上面這些誘導公式可以概括為：對于兀/2*k±a(kCZ)的三角函數

值，

當k是偶數時，得到a的同名函數值，即函數名不改變；當k

是奇數時，得到a相應的余函數值，即_

sin—cos;cos—sin;tan—cot,cot—>tan.(奇變偶不變)然后在前面

加上把a看成銳角時原函數值的符號。(符號看象限)

例如：sin(27i—a)=sin(4-7i/2—a),k=4為偶數，所以取sina。

當a是銳角時，2兀-016(270。，360°),sin(27i—a)<0,符號為

所以sin(27i—a)=—sina

上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。

公式右邊的符號為把a視為銳角時，角(keZ),-a、

180°ia,360。7所在象限的原三角函數值的符號可記憶水平誘

導名不變；符號看象限。

各種三角函數在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一

全正；二正弦(余割)；三兩切；四余弦(正割)

這十二字口訣的意思就是說：第一象限內任何一個角的四種三

角函數值都是“+”；

第二象限內只有正弦是“+”，其余全部是“一”；

第三象限內切函數是“+”，弦函數是“一”；

第四象限內只有余弦是“+”，其余全部是“一”.

上述記憶口訣，一全正，二正弦,三內切，四余弦還有一種按照函數

類型分象限定正負：

函數類型第一象限第二象限第三象限第四象限

正弦......+......+.......—......—....

余弦......+...................+....

正切......+......—.......+......—....

余切......+......—.......+......—....

同角三角函數基本關系

同角三角函數的基本關系式

倒數關系:

tana-cota=1

sina?csca=1

cosa.seca=1

商的關系:

sina/cosa=tana=seca/csca

cosa/sina=cota=csca/seca

平方關系:

sinA2(a)+cosA2(a)=1

1+tanA2(a)=secA2(a)

1+cotA2(a)=cscA2(a)

同角三角函數關系六角形記憶法

六角形記憶法:

構造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為

模型。

(1)倒數關系：對角線上兩個函數互為倒數;

(2)商數關系：六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的

兩個頂點上函數值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數

值的乘積)。由此，可得商數關系式。

(3)平方關系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的

三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。

兩角和差公式

兩角和與差的三角函數公式

sin(a+p)=sinacos|3+cosasinp

sin(a—13)=sinacos|3-cosasinp

cos(a+p)=cosacosP-sinasinp

cos(a—p)=cosacosP+sinasinp

tan(a+P)=(tana+tanp)/(1-tanatanP)

tan(a—p)=(tana-tanP)/(1+tana-tan|3)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕縮角公式)

sin2a=2sinacosa

cos2a=cosA2(a)—sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1—2sinA2(a)

tan2a=2tana/[l—tar1A2(a)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式(降幕擴角公式)

sinA2(a/2)=(1—cosa)/2

cosA2(a/2)=(l+cosa)/2

tanA2(a/2)=(l—cosa)/(l+cosa)

另也有tan(a/2)=(l—cosa)/sina=sina/(l+cosa)萬能公式

萬能公式

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

萬能公式推導

附推導：

sin2a=2sinacosa=2smacosa/(cosA2(a)+sinA2(a)).....*

(因為c0sA2(a)+sir1A2(a)=l)再把*分式上下同除c0sA2(a),可

得sin2a=2tana/(l+tar1A2(a))然后用a/2代替a即可。同理可推

導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3a=3sina—4sinA3(a)

cos3a=4c0sA3(a)—3cosa

tan3a=[3tana—tanA3(a)]/[1—3tanA2(a)]

三倍角公式聯想記憶

★記憶方法：諧音、聯想正弦三倍角：3元減4元3角(欠債了

(被減成負數)，所以要“掙錢”(音似“正弦”))余弦三倍角：4元3

角減3元(減完之后還有“余”)

☆☆注意函數名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角

都用余弦表示。

★另外的記憶方法:正弦三倍角：山無司令(諧音為三無四立)三

指的是"3倍"sina,無指的是減號，四指的是“4倍”，立指的是sina

立方余弦三倍角：司令無山與上同理和差化積公式

三角函數的和差化積公式

sina+sinP=2sin[(a+P)/2]-cos[(a—0)/2]

sina—sin。=2cos[(a+P)/2]-sin[(a一0)/2]

cosa+co鄧=2cos[(a+P)/2]?cos[(a—p)/2]

cosa—cosP=-2sin[(a+P)/2]-sin[(a—P)/2]

積化和差公式

三角函數的積化和差公式

sina-cosP=0.5[sin(a+P)+sin(a—P)]

cosa-sinp=0.5[sin(a+P)-sin(a—P)]

cosa-cosP=0.5[cos(a+P)+cos(a—P)]

sina-sin|3=-0.5[cos(a+P)—cos(a—P)]

和差化積公式推導

附推導：首先，我們知道

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到

sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把兩式相減,就得到

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的，我們還知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把兩式相加，我們就可以得到

cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到，

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,兩式相減我們就得到

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了積化和差的四個公式