【壓軸必刷專題】

倍長中線模型專練

1.在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線.

(1)如圖1,AO是AABC的中線，A3=7,AC=5,求的取值范圍.我們可以延長AD到點(diǎn)A/，使=

連接易證AADCMAMDB,所以3河=4?.接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的

取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是

(2)如圖2,AO是ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，BE交AO于點(diǎn)尸，且AE=EF,求證：AC=BF；

(3)如圖3,在四邊形"CD中，AD//BC,點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，連接CE,ED且CELDE,試猜想線段

BC,CD,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

圖3

【分析】(1)延長AD到點(diǎn)M,i^DM=AD,連接即可證明AADC三AMO3,則可得3M=AC,在

A4BM中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到4以的取值范圍，進(jìn)而得到中線AD的取值范圍；(2)延長到

點(diǎn)使=連接由(1)知一位>CFJWD3,則可得NM=/C4D,BM=AC,由AE=￡F可

知，ZCAD=ZAFE,由角度關(guān)系即可推出/環(huán)值=/即"，故BM=BF,即可得到AC=3F；(3)延長

CE到歹，使EF=EC,連接AF,即可證明AAEF三ABEC,則可得NE4b=NBAT=BC,由AD//BC,

以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)凡A，。在一條直線上，通過證明用△￡)￡廠0RtADEC,即可得到ED=CZ),進(jìn)

而通過線段的和差關(guān)系得到CD=BC+AD.

【解析】(1)延長AO到點(diǎn)使DW=AD,連接

：A￡)是入45c的中線，Z.DC=DB,

在AADC和AMDB中，AD=MD,ZADC=ZMDB,DC=DB,

：.AADC=AMDB,：.BM=AC,

在AAW中，AB-BM<AM<AB+BM,

：.7—5VA0V7+5,即2<AM<12,

：.1<AD<6.

(2)證明誕長AD到點(diǎn)〃，使DW=AD,連接BAI,

由(1)知&ADC=MDB,：.ZM=ACAD,BM=AC,

AE=EF,：.ZCAD=ZAFE,

ZMFB^ZAFE,:.ZMFB=ZCAD,

ZBMF=ZBFM,:.BM=BF,：.AC=BF.

(3)CD=BC+AD,

延長CE到F,使EF=EC,連接AF,

F

AE=BE,NAEF=NBEC,:.MEF=2EC,:.ZEAF=ZB,AF=BC,

AD//BC,.-.Z5AD+ZB=180°,:.ZEAF+ZBAD=1SO°,

,.點(diǎn)F,A,。在一條直線上，

CE工ED,：.ZDEF=ZDEC=90°,

'.在用△￡)砂和RtADEC中，EF=EC,NDEF=/DEC,DE=DE,

1.RtADEFgRtADEC,FD=CD,

：FD=AD+AF=AD+BC,:.CD=BC+AD.

2.如圖，正方形ABC。中，E為BC邊上任意點(diǎn)，AF平分/EA。，交CD于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)廠恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；

(2)在⑴的條件下，求子CF的值；

nC

(3)如圖2,延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G,延長AE交。C的延長線于點(diǎn)連接HG,當(dāng)CG=D尸時,

求證：HGLAG.

D

BECH

圖1圖2

【分析】(1)延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G,利用“AAS”證△ADFgZMSCF得AD=CG,據(jù)此知CG=BC

=BE+CE,根據(jù)EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證；(2)設(shè)CE=a,BE=b,貝UAE=2a+b,

AB=a+b,在RtAABE中，由AB2+BE2=AE2可得b=3a,據(jù)此可得答案；(3)連接DG,證AADFg4

2

AFFH

DCG得NCDG=NDAF,再證△AFHs^DFG得一二——,結(jié)合NAFD=NHFG,知△ADFs^HGF,從

DFFG

而得出NADF=NFGH,根據(jù)NADF=90。即可得證.

【解析】解：(1)如圖1,延長交A尸的延長線于點(diǎn)G,

9：AD//CG,：.ZDAF=ZG,

又YA尸平分NZME,:?/DAF=/EAF,

：.ZG=ZEAF,：.EA=EG,

???點(diǎn)廠為CO的中點(diǎn)，：.CF=DF,

又?：NDFA=/CFG,ZFAD=ZG,：.AA￡>F^AGCF(AAS),

:?AD=CG,：.CG=BC=BE+CE,

：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；

(2)設(shè)CE=a,BE=b,則AE=2a+b,AB=a+b,

在R3A3E中，BP(tz+/?)W=(2?+/?)2,解得。=3m。=-〃(舍),

.CE_Q_1

??就一〃+廠"

(3)連接OG,*：CG=DF,DC=DA,ZADF=ZDCG,

：.AADF^ADCG(SAS),AZCDG=ZDAFf：.ZHAF=ZFDG,

AFFH

又,：/AFH=/DFG,:.AAFHs叢DFG,：.—=——，

DFFG

又?：/AFD=/HFG,：.AADF^AHGF,AZADF=ZFGH,

ZADF=90°,ZFGH=90°,

：.AG.LGH.

3.(1)閱讀理解：

如圖①，在..ABC中，若A5=8,AC=5,求5C邊上的中線AO的取值范圍.

可以用如下方法：將叢。。繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到△fig。，在△/核中，利用三角形三邊的關(guān)系即

可判斷中線AO的取值范圍是；

(2)問題解決：

如圖②，在..ABC中，。是邊上的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,。石交A5于點(diǎn)E,。方交AC于點(diǎn)尸，連

接EF,求證：BE+CF>EF；

3

(3)問題拓展:

如圖③，在四邊形A3co中，N5+/O=180。，CB=CD,ZSCZ)=100°,以C為頂點(diǎn)作一個50。的角，角

的兩邊分別交AB、40于E、P兩點(diǎn)，連接EP,探索線段BE,DF,所之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(圖①)(圖②)(圖③)

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明,.ADC三EDB,AC=BE=6,AD=ED,在△ABE中根據(jù)三角形三邊

關(guān)系即可得出答案；

(2)延長FD至M,使DF=DM,連接BM,EM,可得出CF=BM,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出EF=EM,

利用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(3)延長AB至N,使BN=DF,連接CN,可得ZNBC=/D,證明，NBC三.EDC,得出

CN=CF,ZNCB=ZFCD,禾用角的和差關(guān)系可推出NEOV=5()o=EB,再證明NCE^.FCE,得出

EN=EF,即可得出結(jié)論.

【解析】解：(1)|3<AO<1y3.

提示：AD=ED,CD=BD,ZADC=ABDE,ADC=EDB,AC=BE=5,AD=ED.

在ZWE中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出AB-BEcAFcAB+BE,即3<2AD<13.

(2)延長FD至M,使DF=DM,連接BM,EM,

同(1)可得出=FD=ATO,即/.EF=EM.

在中，BE+BM>EM,：.BE+CF>EF.

(3)EF=BE+DF.

理由：延長AB至N,使BN=DF,連接CN,

4

c

ZABC+zr>=180°,ZABC+ZNBC=180°,

/.ZNBC=ZD,：.NBC三.FDC,：.CF=CN,/NCB=2FCD.

?：ZBCD=100°,ZFCE=50°,:.NECN=54。=ECF,：.NCE三FCE(SAS)

:*EN=EF,：.EF=EN=BE+BN=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

4.已知ASC中.

（1）如圖1,點(diǎn)￡為2C的中點(diǎn)，連AE并延長到點(diǎn)/，使=則族與AC的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2,若AB=AC,點(diǎn)E為邊AC一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長線于點(diǎn)O,連接AD,若

NDAC=ZABD,求證：AE=EC.

（3）如圖3,點(diǎn)。在ABC內(nèi)部，且滿足AD=BC,ZBAD=ADCB,點(diǎn)M在OC的延長線上，連A“交8。

的延長線于點(diǎn)N,若點(diǎn)N為4〃的中點(diǎn)，求證：DM=AB.

【分析】（1）通過證明ABE尸絲△CEA,即可求解；（2）過點(diǎn)A引4F〃CD交班于點(diǎn)R通過，ABP絲CAD

得到AF=CD,再通過..AFEWCDE即可求解；⑶過點(diǎn)〃作交3N的延長線于點(diǎn)T,MGAD,

在上取一點(diǎn)K,使得MK=CD,連接GK,利用全等三角形的性質(zhì)證明=、DM=MT,即可

解決.

【解析】證明：（1）BF=AC.

（2）過點(diǎn)A引AF〃CD交BE于點(diǎn)尸，如圖:

5

A

D

由題意可得CD_L3C,且/E4F=NACD,/.AF±BC

XVAB=AC,；.A/平分ZH4C,/.Z.BAF=ZEAF=ZACD.

AABF=ADAC

在一AB尸和CAD中，＜ABAC

ZBAF=ZACD

：,:ABF^CAD(ASA),：.AF=CD.

'NFAE=NDCE

在^AFE和Z\CDE中,,NAEF=ZCED

AF=CD

：.ZWE^ACDE(A4S),AE=EC.

(3)證明：過點(diǎn)M作血T〃AB交BN的延長線于點(diǎn)T,MGAD,在MT上取一點(diǎn)K,使得VK=CD

連接GK,如圖：

'：AB//MT,：.ZABN=ZT.

VZANB=ZMNT,AN=MN,:.AANB%AMNT(AAS),

：.BN=NT,AB=MT.

,：MGAD,；.ZADN=ZMGN.

■：ZAND=NMNG,AN=NM,：.AANDm叢MNG(AAS),

:.AD=MG,DN=NG,：.BD=GT.

"/BAN=ZAMT,ADAN=ZGMN,ABAD=Z.GMT.

?：Z.BAD=Z.BCD,；.Z.BCD=ZGMK.

?；AD=BC,AD=GM,：.BC=GM.

又,：MK=CD,:.ABCDdGMK(SAS),：.GK=BD,ZBDC=ZMKG,

：.GK=GT,ZMDT=Z.GKT,：.ZGKT=ZT,：.DM=MT.

6

VAB=MT,：.DM=AB.

5.在等腰比一ABC和等腰用△ADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=90°.

(1)如圖1,延長OE交BC于點(diǎn)尸，若N3A￡=68。，則ZDPC的度數(shù)為；

(2)如圖2,連接EC、BD,延長交于點(diǎn)M,若NA￡C=90。，求證：點(diǎn)M為8。中點(diǎn)；

(3)如圖3,連接EC、BD,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，連接AG,交BD于點(diǎn)H,AG=9,HG=5,直接寫出△AEC

的面積.

［分析］(1)由已知條件可得ZD=ZC=45°,對頂角ZAQD=ZCQF,則ZDAC=ZDFC,根據(jù)ZDAE=ZCAB

即可的"PC=/54E；(2)過點(diǎn)B作腔的垂線交EM的延長線于N,證明AIEC絲△3N4,得AE=BN,

進(jìn)而可得AD=A?,再證明絲△BMW即可得證點(diǎn)”為8。中點(diǎn)；(3)延長AG至K,使得

GK=AG=9,連接CK,設(shè)AE交BC于點(diǎn)尸，先證明△ABE四△ACD,進(jìn)而證明A4EG之AKCG,根據(jù)

角度的計(jì)算以及三角形內(nèi)角和定理求得NBAD=NKG4,進(jìn)而證明八48。絲△［”，再根據(jù)

ZC4G=ZABD,ABAC=90。,證明A”，瓦)，根據(jù)已知條件求得SABD最后證明S$至。即可.

【解析】⑴68°.

提示：設(shè)。/交AC于。，ABC是等腰用ABC和一4組是等腰而△ADE,ZC=45°,

ZAQD=NCQF,ZDAQ=180-ZD-ZAQD,ZQFC=180-ZC-NCQF,

ZDAQ=ZQFC,ZBAC=ZEAD=90°,即ZBAE+/￡4Q=ZE4Q+/QAZ),/.ZBAE=ZQAD,

:.ZDFC=ZBAE.ZBAE=68°,ZDFC=68°.

(2)如圖2,過點(diǎn)8作ME的垂線交EM的延長線于N,;.NN=90。.

7

ZAEC=90°,:.ZN=ZAEC.

ABAC=90。，AEAC+ZNAB=90°.

ZNAC+ZACE=90°,:.ZNAB=ZECA.

ABC是等腰曲ABC和_ADE是等腰；.A8=AC,AD=AE.

又iAC=AB,AAEC^ABNA,:.NB=AE.

AE=AD,:.AD=NB.

ZDAE=90°,ADAM=90°,:.ZDAM=ZN.

又Z.DMA=ABMN,ADAM^ABNM,

:.DM=BM,即Af是血的中點(diǎn).

(3)延長AG至K,使得GK=AG=9,連接CK,設(shè)交BC于點(diǎn)P,如圖

ZBAC^ZEAD=90°,即N3AE+ZE4C=NE4C+NC4D,:.ZBAE=ZCAD.

ABC是等腰Rt.ABC和_ADE是等腰RtAADE，,AB=AC,AE=AD.

AE=AD

在△ABE與△AC。中，＜/BAE=NCAD,

AB^AC

AABE也AACD(SAS),,S^ABE=S^ABD,BE=CD.

G點(diǎn)是EC的中點(diǎn)，，EG=GC.

ZAGE=ZKGC,AG=GK,;.AAGE芻AKGC(SAS),

AE=CK,ZAEG=NKCG,

:.AE=KC=AD,ZACK=ZACB+NBCE+NKCG=45°+ZAEC+NBCE=45°+ZABC+ZBAP

=90°+ZBAE=ZBAD,

:.AAKC^AABD(SAS),.\BD=AK=18,ZCAK=ZABD.

ZBAG+ZCAG=90°,ZABD+ZBAG=90°,即Z/Uffi=90°.

AG=9,HG=5,:.AH=AG-HG=9-5=4,r.5AAM,=1■皿A"=；xl8x4=36

8

S^AEC=^AAEG+5"呢=$AGCK+*^AAGC=SAACK=^AABD=36,..SAEC=36.

6.課堂上，老師出示了這樣一個問題:

如圖1,點(diǎn)。是；ABC邊2C的中點(diǎn)，AB=5,AC=3,求AD的取值范圍.

圖1圖2

（1）小明的想法是，過點(diǎn)8作應(yīng)V/AC交AO的延長線于點(diǎn)E,如圖2,從而通過構(gòu)造全等解決問題，請

你按照小明的想法解決此問題；

（2）請按照上述提示，解決下面問題：

在等腰及ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。邊AC延長線上一點(diǎn)，連接5￡）,過點(diǎn)A作AELBD于

點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF_LAE,SLAF=AE,連接所交8C于點(diǎn)G,連接C「，求證BG=CG.

【分析】（1）根據(jù)已知證明△即進(jìn)而求得AC=BE,根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AO的取

值范圍；（2）過點(diǎn)B作BM/ZFC交FE的延長線于證明VABE1咨VAB,得CF=BE,再證明8M=CE,

進(jìn)而證明△BMG絲即可證明8G=CG

【解析】（1）BE//AC,:.ZE=ZEAC.

/BDE=ZADC,BD=CD,ABDE^AADC,/.AC=BE=3.

AB-BE<AE<AB+BE,即2<2AZ）<8,:.1<AD<4.

（2）如圖，過點(diǎn)8作〃尸C交FE的延長線于V,二/2=/3.

9

A

M

AF=AE.AF±AE.：.Z4=ZAEF=45°,

-.Z1=180°-ZAEB-ZAEF=180°-90°-45°=45°,

AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=90°,

■.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,ZBAE=ZCAF,

■.VABE^ACF,CF=BE,ZAEB=ZAFC=90°,:.Z3=90°-Z4=45°.

ZAEF=Z3=Z4=45°,AE1BD,Z2=Z3=Z1=45°

:.BE=BM,:.BM=CF.

又1ZBGM=ZCGF,:.△BMG"4CFG,:.BG=CG.

7.（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,在AABC中，AB=8,AC=6,

求BC邊上的中線AO的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2）,

圖1圖2圖3

①延長AD到使得

②連接通過三角形全等把A3、AC、2AO轉(zhuǎn)化在AABM中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取值范圍

是;

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

（2）請你寫出圖2中AC與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,AO是AABC的中線，AB^AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF^900,請直接利用（2）

的結(jié)論，試判斷線段AD與斯的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【分析】（1）延長AO到M,使得連接根據(jù)題意證明四△AOC,可知BM=AC,在

中，根據(jù)AB-即可求的；（2）由（1）知，AMDB/LADC,可知

10

AC=BM,進(jìn)而可知AC〃BM；(3)延長到M,使得。M=A。，連接由(1)(2)的結(jié)論以及已

知條件證明AABM絲△EAE進(jìn)而可得AM=2A。，由AM=EF,即可求得AO與跖的數(shù)量關(guān)系.

【解析】(1)1<AD<7.

提示：如圖2,延長AD到使得DM=AD,連接BM,'：AD是"BC的中線，.?.BD=CD在和"DC

BD=CD

中，J.ZBDM=ZCDA,.,.△MDB^AADCQSAS),；.BM=AC=6,

DM=AD

在AABM中，AB-BM<AM<AB+BM,A8-6<AM<S+6,2VAM<14,.\1<AD<7.

(2)AC//BM,^.AC=BM.

理由：由(1)知，^MDB^AADC,：.ZM=ZCAD,AC=BM,

J.AC//BM.

(3)EF=2AD.

理由：如圖2,延長4。到M,使得。連接BM,

圖2

由(1)知ABCMg/XCDACSAS),J.BM^AC,

?：AC=AF,：.BM=AF,

由(2)知AC〃3M,ZBAC+ZABM=1SO°,

'：ZBAE=ZFAC=90°,：.ZBAC+ZEAF=180°,：.ZABM=ZEAF,

'AB=EA

在AABM和AEAF中，\^ABM=NEAF,

BM=AF

：.AABM^AEAF(SAS),：.AM=EF,

,：AD^DM,：.AM^2AD,

?：AM=EF,：.EF=2AD,即EP=2AD

8.問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,AABC中，若AB=4,AC=3,求3c

11

邊上的中線A。的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長4。到點(diǎn)E,使DE

=AD,則得到"OC絲△EDB,小明證明"ED之△C4。用到的判定定理是：(用字母表示)；

問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分

散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.請寫出小明解決問題的完整過程；

拓展應(yīng)用：以AABC的邊AB,AC為邊向外作zxABE和△AC，AB=AE,AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,

M是BC中點(diǎn)，連接AM,DE.當(dāng)AM=3時，求。E的長.

【分析】問題背景：先判斷出BD=CD,由對頂角相等NBOE=NCD4,進(jìn)而得出AAQC也△EOB(S4S)；

問題解決：先證明AAOCg/\EOB(SAS),得出BE=AC=3,最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

拓展應(yīng)用：如圖2,延長AM到N,使得連接BN,同(1)的方法得出ABMN咨ZkCMA(SAS),

則BN=AC,進(jìn)而判斷出NABN=NE4￡>,進(jìn)而判斷出AABN也△E4O,得出4V=ED,即可求解.

【解析】問題背景：延長AO到點(diǎn)E,使DE=AO,連接BE,

是AABC的中線，:.BD=CD,

AD=ED

在AAOC和AEDB中，\ZCDA=NBDE,二AADC"AEDB(&4S),

CD=BD

故答案為：SAS；

問題解決：如圖1,延長AO到點(diǎn)E,使連接BE,

：A。是A4BC的中線，：.BD=CD,

AD=ED

在/\EDB中，<NCDA=ZBDE,

CD=BD

：.AADC^AEDB(SAS),：.BE=AC,

在"BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

：AB=4,AC=3,A4-3<A￡<4+3,即1<AE<7,

?：DE=AD,：.AD=^-AE,：.~<AD<-；

222

拓展應(yīng)用：如圖2,延長AM到N,使得MN=AM,連接BN,

12

D

E

圖2

由問題背景知△5MN名△CAM(SAS),

：.BN=AC,NCAM=/BNM,：.AC//BN,

?：AC=AD,:.BN=AD,

■:ACIIBN,：.ZBAC+ZABN=ISO0,

9：ZBAE=ZCAD=90°,：.ZBAC+ZEAD=1SO°,:?NABN=NEAD,

'AB=EA

在“附和△EA0中，］/ABN=NEAD,

BN=AD

：.^ABN^^EAD(SAS),：.AN=DE,

°：MN=AM,：.DE=AN=2AM,

,.,AM=3,：.DE=6.

9.(1)基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1,在△ABC中，AB=5,AC=7,A0是8C邊上的中線，延長AO到點(diǎn)E使。石=

A0,連接CE,把ASAC,2A0利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在中，利用三角形三邊關(guān)系可得A0的取

值范圍是:

(2)推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2,在△ABC中，AO是5。邊上的中線，點(diǎn)E,尸分別

在A3,AC上，_aDELDF,求證：BE+CF>EF；

(3)綜合應(yīng)用：如圖3,在四邊形A3CD中，AB=AD,N3+NADC=180。且NEA尸=gNBA。，試問線段

EF、BE、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)先證明△COE名△3DA(SAS)可得CE=A3=5,在^ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解答即

13

可；

(2)如圖2中，延長即到“，使得。H=OE,連接FH.再證明ABOE也△CD”(SAS)可得BE=

CH,再證明后/=切，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；

(3)如圖3,作輔助線，構(gòu)建AABG,同理證明AABG等△AD尸和AAEG等ZVIEH可得新的結(jié)論：EF=BE

-DF.

【解析】(1)1<AD<6.

提示：如圖1：'：CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,：./\CDE^/\BDA(SAS'),：.EC=AB=5,V7-

5<A￡<7+5,：.2<2AD<12,：A<AD<6.

(2)證明：如圖2中，延長即到“，使得DH=DE,連接D”，F(xiàn)H.

圖2

"：BD=DC,ZBDE=ZCDH,DE=DH,：./\BDE^ACDH(SAS),：.BE=CH,

?：FD±EH.DE=DH,：.EF=FH,

在ACFH中，CH+CF>FH,

?：CH=BE,FH=EF,：.BE+CF>EF.

(4)結(jié)論：EF=BE-FD

證明：如圖3中，在BE上截取BG,使3G=DE連接AG.

:ZB+ZADC=1SO°,ZADF+ZADC=180°,ZB=ZADF,

■：AB=AD,BG=DF,：.AADF(5AS),

ZBAG=ZDAF,AG=AF,

：.NBAG+/EAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=《ABAD,：.ZGAE=ZEAF,

'：AE=AE,：.AAEG^AAEF(SAS),:.EG=EF,

?：EG=BE-BG,：.EF=BE-FD.

14

10.(1)閱讀理解：如圖1,在AABC中，若AB=5,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小聰同

學(xué)是這樣思考的：延長AD至E,使。E=AD,連接BE.利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE,在△BAE中利用

三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍.在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是

,中線的取值范圍是;

(2)問題解決：如圖2,在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若

DN.求證：BM+CN>MN；

(3)問題拓展：如圖3,在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為直角邊向AABC外作出AABM

Rt^ACN,其中NBAM=NM4C=90°,AB^AM,AC=AN,連接MN,探索A。與MN的關(guān)系，并說明

理由.

【分析】(1)閱讀理解：由&4s證明AACO絲△￡?￡),得出2E=AC=8,在AABE中，由三角形的三邊關(guān)系

即可得出結(jié)論.

(2)問題解決：延長ND至點(diǎn)兄使FD=ND,連接BEMF,同(1)得：ABFD空ACND,由全等三角

形的性質(zhì)得出B4CN,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得

出結(jié)論.

(3)問題拓展：延長A。至E,使OE=A。，連接CE,由(1)得：4BAD/ACED,由全等三角形的性質(zhì)

得出N2AD=/E,AB=CE,證出/ACE=NMAN,證明△ACEg/SNAM得出A￡=MN,ZEAC=ZMNA,貝ij

2AD=MN.延長D4交MN于G,證出NAGN=90。，得出AO_LMN即可.

【解析】解：(1)SAS,=

22

提示:如圖1中，YA。是BC邊上的中線，.?.3ZXCD,?.?AD=Z)ET,ZADC=ZBDE,：./\ACD^/\EBDQSAS),

：.BE=AC=8,在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得

313

.\8-5<AE<8+5,即3<AE<13,A-<AD<—.

22

(2)證明：如圖2中，延長ND至點(diǎn)、F,使FD=ND,連接BGMF,

15

圖2

同(1)得ABFD咨ACND(SAS),：.BF=CN,

,:DMLDN,FD=ND,：.MF=MN,

在ABFM中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF>MF,：.BM+CN>MN.

(3)解：結(jié)論：2AD=MN,AD工MN.

理由：如圖3中，延長40至E,使DE=AD,連接CE,延長D4交MN于G.

由(1)得ABAD咨ACED,：.ZBAD=ZE,AB=CE,

VZBAM=ZNAC^O°,：.ZBAC+ZMAN=180°,即/3A￡)+/CA4D+/MAN=180°,

VZE+ZCAD+ZACE=1SQ°,：.ZACE=ZMAN,

?.?△ABM和AACN是等腰直角三角形，：.AB=MA,AC=AN,

：.CE=MA,:AACE妾ANAM(SAS),

:.AE=MN,ZEAC=ZMNA,：.2AD=MN.

:ZNAC=90°,：.NEAC+/M4G=90°,

ZMNA+ZNAG=90°,：.ZAGN=90°,

：.AD±MN.

11.(1)方法呈現(xiàn)：

如圖①：在AABC中，若AB=6,AC=4,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE,可證從而把A3、

AC,2AD集中在△河中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是,這

種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；

(2)探究應(yīng)用：

如圖②，在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，DE1DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接

EF,判斷3E+CF與EF的大小關(guān)系并證明；

16

(3)問題拓展:

如圖③，在四邊形ABC。中，AB//CD,A/與。C的延長線交于點(diǎn)足點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是ZBAF

的角平分線.試探究線段AB,AF,CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【分析】(1)由已知得出AC-CE<AE<AC+CE,即5-4<AE<5+3,據(jù)此可得答案；

(2)延長至點(diǎn)Af,使DM=DF,連接BW、EM,同(1)得ABMD0Z\CFD,得出BM=CF,由線段

垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF,在ABME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM>EM即可得出結(jié)論；

(3)如圖③，延長AE,DF交于點(diǎn)G,根據(jù)平行和角平分線可證AF=FG,易證△ABEgZXGEC,據(jù)此知

AB^CG,繼而得出答案.

【解析】解：(1)KATX5.

(2)BE+CF>EF；

證明：延長KD至點(diǎn)〃，使DM=D尸,連接BM、EM,如圖②所示.

同(1)得：4BMD/4CFD(SAS),：.BM=CF,

"：DE_LDF,DM=DF,：.EM=EF,

在ABME中，由三角形的三邊關(guān)系得：.BE+CF>EF-

M

(3)AF+CF=AB.

如圖③，延長AE,DF交于點(diǎn)G,

'：AB//CD,：.ZBAG=ZG,

在△ABE和AGCE中，CE=BE,ZBAG=ZG,ZAEB=ZGEC,

:.AABE經(jīng)LGEC(A4S),：.CG=AB,

是NBA廠的平分線，ZBAG=ZGAF,

：.ZFAG=ZG,：.AF=GF,

17

'：FG+CF=CG,：.AF+CF=AB.

12.閱讀理解:

(1)如圖1,在.ABC中，若AB=10,AC=6,求3c邊上的中線A￡>的取值范圍.解決此問題可以用如

下方法：延長A￡)到點(diǎn)E,使得&￡>=￡>?,再連接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形

三邊關(guān)系即可判斷中線A￡>的取值范圍是.

(2)解決問題：如圖2,在ABC中，。是BC邊上的中點(diǎn)，DELDF,DE交AB于點(diǎn)、E,3尸交AC于

點(diǎn)、F,連接所，求證：BE+CF>EF.

(3)問題拓展：如圖3,在ABC中，。是2c邊上的中點(diǎn)，延長D4至E,使得AC=3E,求證：

NCAD=NBED.

【分析】(1)如圖1延長4。到點(diǎn)E,使得AD=DE,再連接BE,由AD為中線，推出BD=CD,可證AACD

^△EBD(SAS)得AC=EB,在"BE中，由三邊關(guān)系4<2AD<16即可，

(2)如圖2延長FD到G,使DG=FD,連結(jié)BG,EG由D為BC中點(diǎn)，BD=CD可證AFCD2ZkGBD(SAS)

得FC=GB,由DE，。尸，DF=DG得EF=EG,在ABEG中由三邊關(guān)系，

(3)如圖3,延長AD到G使DG=AD,連結(jié)BG,由。是8C邊上的中點(diǎn)，得BD=CD,可證AACD^A

GBD(SAS)得AC=GB,/DAC=NG,利用BE=BG即可推得答案，

【解析】(1)如圖1延長AC到點(diǎn)E,使得AD=DE,再連接BE,

：AD為中線，.\BD=CD,

在AADC和AEDB中，：CD=BD,ZADC=ZEDB,AD=ED,

.,.△ACD^AEBD(SAS),；.AC=EB=6,

在A4BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

4<2AD<16,2<AD<8,

18

C

A

"AE

圖1B

(2)如圖2延長FD到G,使DG=FD,連結(jié)BG,EG,

由D為BC中點(diǎn)，BD=CD,

在AFDC和AGDB中，：CD=BD,ZFDC=ZGDB,FD=GD,

.,.△FCD^AGBD(SAS),；.FC=GB,

VDEIDF,DF=DG,；.EF=EG,

在ABEG中EG<EB+BG,即BE+CF>EF,

(3)如圖3,延長AD至!JG使DG=AD,連結(jié)BG,

由。是3c邊上的中點(diǎn)，；.BD=CD,

在AADC和AGDB中，VCD=BD,ZADC=ZGDB,AD=GD,

.,.AACD^AGBD(SAS),

；.AC=GB,ZDAC=ZG,

VBE=AC,.,.BE=BG,ZBED=ZG=ZCAD.

19

E

A

C

圖3

13.已知，在Rt^ABC中，Z&4c=90。，點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，AELCD分別交8,8C于點(diǎn)/，E.

(1)如圖1,①若AB=AC,請直接寫出NK4C—N3CO=；

②連接DE,若AE=2DE,求證：ZDEB=ZAEC；

(2)如圖2,連接EB,若EB=AC,試探究線段CF和。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)①利用直角三角形兩個銳角相加得90。和三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和的性質(zhì)結(jié)合題

干已知即可解題.

②延長ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接AG,從而可證明-AOG0,BDE(SAS),再利用全等的性質(zhì)，可

知〃G4=NO￡B,即可知道4G〃BC,所以NG4E=NAEC,根據(jù)題干又可得到AE=EG,所以

ZDGA^ZGAE,從而得出結(jié)論.

(2)延長CD至點(diǎn)”，使得=D廠，連接8”，從而可證明Z印加2ATOA(SAS),再利用全等的性質(zhì)，

可知=A尸，ZH=ZAFD=ZAFC=90°,根據(jù)題干即可證明RtAHB尸名RtZ\E4c(乩)，即得出結(jié)論.

【解析】(1)①：N￡4C+ZACD=90。，ZAEC+ZBCD=90°,

：.NEAC-Z.BCD=ZAEC-AACD.

"ZEAC+NBAE=90°,：.ZACD=ZBAE.

又：ZAEC=ZB+ZBAE,：.ZEAC-ZBCD=ZB+ZBAE-ZACD

：.ZEAC-ZBCD=ZB=45°.

故答案為45。.

②如圖，延長即至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接4G,

20

?.?點(diǎn)。為43的中點(diǎn)，ABD=AD,

又,：ZADG=ZBDE,：.ADG沿,BDE,

：.ZDGA=NDEB,：.AG//BC,；.Z.GAE=AAEC,

又：AE=2DE,：.AE^EG,

：.ZDGA=ZGAE,；.ZDEB=ZAEC.

(2)CF=2DF.

如圖，延長8至點(diǎn)”，使得DH=DF,連接

VAD=BD,ZADF^ZBDH,二HDB^AFDA,

：.BH=AF,ZH=ZAFD=ZAFC=90°,

'：BF=AC,：.RtAHBF2RtA/vlC,

CF=HF=2DF.

14.請閱讀下列材料：

問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且/AMD=90。

(1)如圖1,若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系；

小雪同學(xué)的思路是：延長DM至E使DM=ME,連接AE,BE,構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解

決請你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系：

(2)如圖2,若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分/BAD,(1)中結(jié)論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD

與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】⑴根據(jù)條件作出