中科大少年班及少創班入圍考試數學真題

考試時間：2024年3月9日星期六

本次數學考試，其18個填空題，1個大題.

1.1-14個數填入正方體頂點和各面中心，求證是否可使各面上頂點及中心所填入數值之和

相等.

2.一只螞蟻從棱長為1的正方體一個頂點出發沿棱爬行，回到原點，最短路程.

3.求cosx+cosy+cos(x+y)取值范圍.

4.e>cx>對任意x>0均成立，求c的范圍.

5.求(l+x+x-)6的常數項為.

6.x2+y2-axy+x+y=1是雙曲線，求。的范圍

7.求曲線/+/=2忖-23所圍成的封閉圖形的面積.

1f2]l|I

耳小邪

8.<2lS2=plog-<2'$3=3求(ECS2)U&

9.某復數z=a+6i,代表尸點，將麗繞O點順時針旋轉得到而，求。點坐標.

10.若2,萬分別為平面上的向量，A為平面內的定點，冏=2,同=3,a萬的夾角為60。,

|萬卜卜a+y同1.求尸點軌跡所圍的面積是多少？

11.z=cos-^-+isin-^-,H>2,neN*,^|1-Z|+|1-Z2|+|1-Z3|H---i-|l-z"-1|

nniiiiii

12.8本不同的書分給5人，其中1個2本，1個人3本，剩余三人每人一本，求分配的方

法有多少？

13.甲乙進行比賽.每一輪，甲勝率為乙勝率為當其中一人比另一人多勝2輪則

獲得最終勝利.則甲獲勝概率為？

14.尸(Z)=尸(5),A和8相互獨立，尸(455)=0.64,求產⑷

15.下列哪些命題是真命題？

(1)。片0是同>0的充要條件

(2)3aeQja2+leQ

試卷第1頁，共2頁

(3)V4ZGR,3ZJGZ,使得0(。+6<1

(4)若。1為無理數，則仍為無理數

7

16.4到天分別為22,23,35,40,45,50,55,求演一|的最小值.

Z=1

17./(x)=sin|+sin|+sin^的最小正周期為？

試卷第2頁，共2頁

1.否

【分析】

將8個頂點設為q(i=l,2,…,8),6個面中心設為外(左=12…,6),求出6面總和以及所有數

的和，找出矛盾即可.

【詳解】將8個頂點設為q(，=l,2,…,8),6個面中心設為4化=1,2,…,6),

8614x15

則￡4+￡%=1+2+…+14=---=105,

i=lk=\'

868

則6面總和為32%+WA=105+2工4.為奇數，

z=lk=\T

但6面總和應該使6的倍數，矛盾，

綜上：不可使各面上頂點及中心所填入數值之和相等.

2.16

【分析】

根據每個頂點的度為3,且每個定點的出、入度之和為偶數，求出最短路徑范圍，再找到具

體走法且其路徑長恰好為最小值即可得解.

【詳解】將立方體看成一個平面圖形，則每個頂點的度為3,但在回到起點的前提下，每個

頂點的入度與出度之和應當是一個偶數，因此至少為4,這說明了最短路徑長不小于等=16,

另一方面，設這個正方體為/2CD-EFG//,則ABCDHGFEHGCBFEADA的路徑長為16,

且能遍歷所有棱且回到原出發點，滿足題意,則最短路徑長恰為16.

-23

3.

2'

【分析】先利用和差化積公式和二倍角公式,轉化成和cos字的式子,在利用換

元法轉化成二次函數的的值域問題求解.

【詳解】；cosx+cosy+cos(^+v)=2cos"；'cos*.)+2cos?苫；,-1.

設/=cos言則原式=2/+2fcos寧一1,

此時把原式看成是關于cos7的一次函數，所以函數的最大最小值必定是cos?=±l時

22

取得.

當cos寧=-1時，原式=2/-2"le[-l,3],

答案第1頁，共8頁

當cos^_^=1時，原式=2/+2f-le--,3.

2L2

'3'

所以原式的取值范圍為：-2乃?

「

故答案為：-；3,31.

4.(-00,e)

【分析】

根據題意，分離參數可得c<■在xe(O,+s)恒成立，然后構造函數〃x)=1(x>0),轉化

為。<[/(尤)L，求導即可得到結果.

【詳解】由eH>cx,對任意x>0均成立，可得c<《在xe(0,+oo)恒成立，

構造函數〃x)=?(x>0),即c<[/(x)L，

又/，(x)=e'(：T),令/(x)=0,可得x=l,

當xe(O,l)時,T(x)<0,則“X)單調遞減，

當時，/心)〉0,則〃x)單調遞增，

當x=l時，/(x)有極小值，即最小值，

所以c<[/(x)Ln=/'⑴=e,

即c的范圍為(-co,e).

5.141

【分析】以x+婷為整體求出展開式的通項，再利用二項式定理求出常數項.

【詳解】依題意，(1+X+X-)6=[1+(X+廣1)]6的展開式的通項為=&(X+y/€N/W6,

當r=o時，a(x+/y=l,

當reN*/46時，(x+)'展開式的通項(x-l)丘=C^x'-2k,keN,k<r,

于是&尸&《/々3由一2左=0,得k=1則*{2,4,6},

此時常數項為C：C；+C：C；+鹿4=15x2+15x6+20=140,

所以(1+工+”)6的常數項是1+140=141.

答案第2頁，共8頁

故答案為：141

6.（-00,-2）u（2,3）u（3,+oo）

【分析】考慮雙曲線方程的特點，可求。的取值范圍.

2

【詳解】由x?+V-axy+x+y=1可得x-a孫+/+x+y-1=0

由<?-4>0="<-2或a>2,

a1

1——

22

由一巴1—ROna片3

22

11-1

22

所以。的取值范圍是:（-8,-2）D（2,3）U（3,+8）.

7.271-4

【分析】

首先判斷曲線的對稱性，從而確定曲線在第一象限內與x軸所圍成的圖形，再求出圖形的面

積.

【詳解】對于曲線，+3/=2國一2帆，

將y換成-y得/+/=2國-23,即曲線關于x軸對稱，

將X換成-X得/+=2國-2M，即曲線關于丁軸對稱，

因此只需考慮在第一象限的情形，

當x>0,y>0時曲線即X?+/=2x-2y,即（x-l]+（y+1）~=2,

所以曲線在第一象限內與x軸所圍成的圖形是由半徑為行的;圓去掉一個等腰直角三角形

而形成的圖形，

根據對稱性可得曲線—+/=2國-2可所圍成的封閉圖形為下圖陰影部分，

所以所圍成的封閉圖形的面積S=4xV2xV2=加Y.

答案第3頁，共8頁

【分析】

根據指數函數，對數函數的單調性化簡集合，即可由集合的運算求解.

【詳解】由后<2=〃<8,「.8］={4〃<8},

由loga|"<2,，Q〉l或0<4<如，故s2=0,乎］u（l，+°°），

33\）

由U>l°g^^>a>log2,

L3故昆={4a>log32),

因此HcS=0,\-u(l,8),

<J

3

由于2?<32<3癡，ffrLUlog32<log333log32<^^log32<*i

故(HCS2)US3=(O,+8)

9.Q（b,-a）

【分析】

根據題意，由條件可得P（。，與，然后可得歷與而相隔結合三角函數的定義，代入計

算，即可得到結果.

【詳解】

因為復數2=。+歷代表P點，貝”（9）,

將赤繞。點順時針旋轉］得到OQ,

則網=|麗卜萬底,

答案第4頁，共8頁

71

設而與X軸正半軸夾角為a,則麗與X軸正半軸夾角為a~~

a.b

日cosa=/,sina=/=,

設點。(%/),

b

則x=?cosa--=J/+爐-sincr=xjd+4x.

-Ja2+b2

所以0(6,-a).

10.19兀

【分析】

確定點P的軌跡為圓面，求解即可.

【詳解】因為網=陵+明,04x〈”l,

所以卜〃=卜@+了同^a^+hcya-p+y2p2=4x2+6xy+9y2

=(2x+|^j+^-y2,0<x<y<1,

所以x=y=0時，(|/)=0,當x=y=l時，(|萬『)=19,

所以網,

所以P點軌跡是以/為圓心，J歷為半徑的圓面,

所以P點軌跡所圍的面積S=7i-(M『=197i.

2

11,,兀

tan——

2n

【分析】利用復數的三角形式的運算，先求出再利用和差化積公式進行求解.

【詳解】設yi,2,…則，=cos%+isin也.

nn

所以：

L左?(2k7t\..2女兀

|l-z|=I1-cos-----l+isin------

答案第5頁，共8頁

因為0＜儂＜兀,所以sin在＞0.

nn

所以z1=2sin包.

11n

（上一1）兀（上+1）兀（k7i兀）（kn兀）.左萬.兀

?cos-------------cos---------=cos-------------cos——+——=2sin——sin——.

2n2n\2n2nJ（2n2n）2n2n

（2左一1）兀（2左+1）兀

cos---------------cos---------」

..kit.2ATT

..sin——=sin-----=2n2n

n2n2si」

In

所以

（2左-1）兀（%+l）兀兀兀71

n-lcos---------cos-—」cos------cos------------2cos——

￡"i|=2￡sin包n-\

=2X2n2n2n2n_____Z^L

n.兀.71

k=ik=\k=l2sinsm—sin——

￡2n2n

2

71.

tan—

2n

2

故答案為:“兀?

tan——

2n

【點睛】方法點睛：用復數的三角形式計算復數的乘方和三角函數的和差化積公式是解決問

題的關鍵.

12.67200

【分析】

現將8本不同的書分成3,2,1,1,1,再分分給5人，再由分步乘法計數原理即可得出答案.

【詳解】現將8本不同的書分成3,2,1,1,1,

所以有C；-《=56x10=560種方法,

再分給5人,則有A：=120種方法,

所以一共有：560x120=67200.

1?---------------------

【分析】分析甲最終獲得勝利的情況，求出其概率.

【詳解】用A表示事件“第一、二輪甲均獲勝”，則2(/)=/,

答案第6頁，共8頁

用8表示事件“兩輪比賽未決出勝負”，則必定是前兩輪，甲以勝一負，則

P（B）=C；0（1-p）=2p（l-p）,則問題回到初始狀態，

用C表示事件“甲最終獲得勝利”，則P（C|0=P（C）

則

尸（c）=p（/c）+尸（3C）=P（CM）尸（4）+尸（C|3）尸（8）=p2+2p（l-p）尸（c）=>

p2

P（C）=-----7----7

I）1-2P（1-P）-

P2

故答案為：1_2尸0_.）

14.尸（/）=0.4

【分析】

根據和事件及相互獨立事件的概率公式即可求解.

【詳解】因為A和8相互獨立，

所以尸（，5）=尸（⑷尸（8）.

又因為尸（2）=尸（8）,P（AuB）=0.64,P（A<JB）=P（A）+P（B）-P（AB）,O<P（^）<1

所以0.64=2尸⑷-仍⑷T，解得：尸⑷=0.4.

15.（1）（2）（3）

【分析】逐一判斷命題的真假即可.

【詳解】對（1）顯然是成立的，故（1）是真命題；

對（2）當。=0時，aQ,Ja+\=1e0,故（2）是真命題；

對（3）取。=加+乙其中機=[4是不大于。的最大整數，即。的整數部分，貝

令b=-m,貝!]a+6=a—機=te[0,1）,故（3）為真命題；

對（4）取0=2+0，b=2-C，可以驗證（4）是假命題.

故答案為：（1）（2）（3）

16.70

【分析】