絕密★啟用前

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷01【北京卷】

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.設(shè)集合U={1,2,3,4},M={2,3},則用（）

A.{1,4}B.{1,3}C.{2,3}D.{354}

2.設(shè)xeR,則“x=0”是“爐=尤”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.拋物線V=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

(0,1)

4.已知復(fù)數(shù)2是純虛數(shù)，則在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)z==a+i的共輾復(fù)數(shù)N對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-3,-1）B.（-3,1）C.（1,-3）D.（1,3）

5.已知角。的終邊上有一點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（3,4）,則cos（：--4的值為（）

433D.1

A.——B.--C.-

5555

6.在數(shù)列{4}中，％=1,%=9,氏+2=3凡+]—2%—1。，則{《9}的前"項(xiàng)和S”的最大值為（）

A.64B.53C.42D.25

7.已知直線ax+y-l=O與圓C：(x-l)2+(y+a)2=i相交于A,B兩點(diǎn)，且ABC為等腰直角三角形，則實(shí)

數(shù)。的值為()

A.一或一1B.—1C.1或一1D.1

7

8.設(shè)a=206,6=2%c=0.5%則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

22

9.雙曲線上-上=1的漸近線與圓f+丁—4x+3=0的位置關(guān)系為

124

A.相切B.相交但不經(jīng)過(guò)圓心C.相交且經(jīng)過(guò)圓心D.相離

10.已知/(X)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)/(元)滿足第R+V>1,則下列結(jié)論正確的是

/(x)

A.對(duì)于任意尤w(0,+s),f(x)<0B.對(duì)于任意尤e(0,+<?),f(x)>。，

C.當(dāng)且僅當(dāng)xe(l,+8)J(x)<0D.當(dāng)且僅當(dāng)xe(l,—)J(x)>0

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.二項(xiàng)式(X-1)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是.

X

12.函數(shù)小)=｛露:1::則U=一.

13.如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2MD-如果AC-8M=-3，則

ABAD=.

14.在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2sinCcos3=2sinA+sin8,且AAFC的面積S=迫0,

4

則ab的最小值為

15.平面直角坐標(biāo)系中，A(-LO),8(1.0),若曲線C上存在一點(diǎn)尸，使尸4尸2<0，則稱曲線C為“合作曲

線“，有下列曲線①一+丁=；；②y=f+l；③2y2_/=1；④3x?+丁=1；⑤2x+y=4,

其中“合作曲線”是.(填寫(xiě)所有滿足條件的序號(hào))

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

16.（14分）

在如圖所示的直三棱柱ABC-A4G中，D,E分別是BC,4用的中點(diǎn).

⑴求證：上//平面4^弓4；

⑵若ABC為直角三角形，AB=BC=2,用=用，求直線OE與平面ABC所成角的大??；

（3）若ABC為正三角形，AB=AAl=4,問(wèn)：在線段A3上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角A,-ME-。的

冗

大小為2胃？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

17.（13分）

已知函數(shù)〃x）=2cosx-cos（x+eWd<]|,從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已

知，使函數(shù)“X）存在.

條件①:嗚）=1;

JT

條件②：函數(shù)〃尤）在區(qū)間0,-上是增函數(shù)；

條件③：VxeR"（x）”用.

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)

分.

⑴求。的值；

（2）求/（X）在區(qū)間-萬(wàn),0上的最大值和最小值.

18.（13分）

某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)

并按分?jǐn)?shù)段[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]進(jìn)行分組,假設(shè)同一組中的每個(gè)

數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖（如下）.

本各分?jǐn)?shù)段人數(shù)

O455565758595體育成績(jī)

（1）體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，試估計(jì)

高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；

（2）為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體有成績(jī)?cè)冢?0,50）和［60,70）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求

在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70）的概率；

（3）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為a,b,c,且分別在［70,80）,［80,90）,［90,100］三組中,其

中a,b,ceN.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差/最小時(shí)，寫(xiě)出a,b,c的值（結(jié)論不要求證明）

19.（15分）

fdL_113e

設(shè)橢圓二+1=1（a＞若）的右焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為A,已知j西+同可=忻外，其中。為原點(diǎn)，《為

橢圓的離心率.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線/與橢圓交于點(diǎn)B（3不在x軸上），垂直于/的直線與1交于點(diǎn)與y軸交于

點(diǎn)H,若BFLHF,且/加。4=/他40,求直線的/斜率.

20.（15分）

已知函數(shù)/（尤）=6,11尤+3尤2+1

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方程；

（2）若函數(shù)g（x）=a（ln尤-x）+/（尤）-e*sinx-l有兩個(gè)極值點(diǎn)耳，x2（X）^x2）,且不等式

g（Xi）+g（%2）＜“七+馬）恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

21.（15分）

設(shè)有數(shù)列數(shù)“｝,若存在唯一的正整數(shù)人（入2）,使得則稱｛4｝為“左墜點(diǎn)數(shù)列記｛“"｝的前”項(xiàng)

和為S“.

2〃+1,62*

⑴判斷：4=（-2）"抱,=：是否為"左墜點(diǎn)數(shù)列，，，并說(shuō)明理由;

2,n＞2

c

⑵已知｛4｝滿足4=1,|%+1-㈤=4+1,且是“5墜點(diǎn)數(shù)列"，若lim笠=3,求”的值；

zoon

⑶設(shè)數(shù)列｛凡｝共有2022項(xiàng)且可＞。.已知G-4T+/T=S,a2+a3++a2022=t.若｛%｝為“P墜點(diǎn)數(shù)

列”且｛SJ為F墜點(diǎn)數(shù)列”,試用小f表示次必.

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷01【北京卷】

數(shù)學(xué).參考答案

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

910

12345678

AB

AAAADBCD

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

Q3

11.1512.-13.-14.315.①③④

92

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

16.（14分）

【詳解】（1）取AG中點(diǎn)f，連接跖,b,

因?yàn)镋為A片的中點(diǎn)，所以斯〃用G,E尸=：耳G,

又因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以C￡>〃BC,C￡>=；8C=gBG，

所以EF//CD,EF=CD,

所以四邊形EFCD是平行四邊形，

所以CF//DE,

又C/u平面ACGA，平面ACC0,

所以DE//平面ACGA；

（2）取中點(diǎn)G,連接EG,OG,

因?yàn)樗倪呅斡脼榫匦?，且E,G為4瓦,43的中點(diǎn),

所以B[E//BG,B]E=BG,

所以四邊形用EGB為平行四邊形，所以84//EG

因?yàn)閹缀误w為直三棱柱，

所以平面ABC,所以EGJ_平面ABC,

所以直線OE與平面ABC所成角即為NEDG,

因?yàn)?G為8C,AB中點(diǎn)，

所以DG=[AC=；JAB2+BC2=0,且BB[=EG=6

所以tanNE￡?G=^=^=@,

DG拒2

所以Z.EDG=arctan，

2

所以直線與平面ABC所成角的大小為arctan

2

(3)設(shè)存在“滿足條件，

連接EQ,因?yàn)?ABC為正三角形，所以△4百￡也是正三角形，

因?yàn)镋為4月中點(diǎn)，所以EC|_LAB],

因?yàn)閹缀误w為直三棱柱，所以，平面A4G,

因?yàn)镋Gu平面ABG,所以3片，EC,,

因?yàn)锽BXABX=B{,,AB】u平面\ABB{,

所以EG，平面AAB與，

以E為原點(diǎn)，以EA，EG方向?yàn)椋軸正方向，在平面442片內(nèi)過(guò)點(diǎn)E垂直于4月方向?yàn)?gt;軸，建立如圖所

示空間直角坐標(biāo)系，

則磯0,0,0）,。卜1,4,退）,4（2,4,0）,3（-2,4,0）,設(shè)=e[0,1]）,

所以（2—稅,4—%,-%）=44,0,0）,所以“（2—444,0）,

所以EM=(2-444,0),網(wǎng)＞=卜1,4,73),

設(shè)平面MED的一個(gè)法向量為n=(蒼y,z),

n-EM=(2-42)x+4y=0

所以＜，令x=2,則〃二

n-ED=—x+4y+A/3Z=0

取平面AME的一個(gè)法向量加=(o,o,i),

所以〃卜就1

5,

lx4+(2A-l)2+6-82

5

解得幾=]1或幾=3/1(舍去)，

此時(shí)由圖可知，二面角A-狼-。的平面角為鈍角，

所以當(dāng)M為A3中點(diǎn)時(shí)，二面角A-ME-。的大小為莖27r.

17.(13分)

【詳解】(1)由題意得：/(x)=2cosx-cos(x+^)=2cosx-[cosxcos-sinxsin(p\

-2cosQOS2%-2sin夕cosxsinx=cos0(cos2x+l)-sin夕sinlx

=cos夕cos2x-sincpsin2x+coscp=cos(lx-(p)+coscp

當(dāng)選條件①：f[三]=cos°[cos/+1)—‘in0sin/=gcoscp-sincp-cos=1,

又因?yàn)閼懀肌?所以一所以一3＜0+?＜學(xué)，

222636

所以cos[°+[=1時(shí)，即得：夕+5=0,即夕=4.

當(dāng)選條件②：

/(x)=2cos%?cos(x+cp)=cos(2%-何+coscp

從而得:當(dāng)2E-兀＜2]-。＜2阮,左wZ時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，

化簡(jiǎn)得：當(dāng)祈-萬(wàn)+與VxVE+稱,％￡Z時(shí)，＞/*(%)單調(diào)遞增,

JT

又因?yàn)楹瘮?shù)“X)在區(qū)間0,-上是增函數(shù)，

far--+—<0

99TT

所以得：，左eZ,解之得：-2E+—V0V-2E+兀4eZ,

而+”2

I24

當(dāng)％=0時(shí)，得兀，與已知條件同矛盾，故條件②不能使函數(shù)/（x）存在.

故：若選條件②，。不存在.

當(dāng)選條件③：

由VxeR,/（x）>/（x）=2cosx-cos（x+9）=cos（2x-e）+cose，

得當(dāng)x專時(shí)，cos（2x,）=cosf=-l,又因?yàn)榫W(wǎng)后，

所以得事一夕=兀，得。=5，

（2）當(dāng)選條件①：

由⑴知：W=-]，則得：/（x）=cos（2x+g）+；,

又因?yàn)閤e-1-,0,所以2x+5e-y,1-,

所以當(dāng)X=一弓時(shí)，/（同有最大值/[一已]=1：05]-三+1）+3=850+；=|；

所以當(dāng)x=_5時(shí)，/（“有最小值/（一]]=cos[—兀+]]+；=cos1_g]+；=0；

當(dāng)選條件③：

由（1）知：/=2，則得：/（x）=cos[2x-1]+g,

「L.、t兀八LL,IC7T4兀兀

又因?yàn)橐?‘°'所以--，

所以當(dāng)x=0時(shí)，八到有最大值〃0）=cos1-3+；=<+；=1；

所以當(dāng)X=_g時(shí)，"%）有最小=COs[_?_g]+；=COS（_7l）+；=一；；

18.（13分）

【詳解】（1）由折線圖，樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有40-2-6-2=30人,

30

所以該校高一年級(jí)學(xué)生中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約為lOOOx—=750人；

40

（2）成績(jī)?cè)赱40,50）有2名學(xué)生，設(shè)為1,2；[60,70）有2名學(xué)生，設(shè)為A,3,

故抽取2名學(xué)生的情況有：（1,2）,（1,A）,（l,3）,（2,A）,（2,3）,（A3）,共6種情況,

其中恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70）的情況有：。,4）,（1,3）,（2,4）,（2,3）,共4種情況,

49

故在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70）的概率為尸=：=；；

（3）甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為且分別在［70,80）,［80,90）,［90,100］三組中，其中a,6,cwN,

要想數(shù)據(jù)c的方差d最小，則b,c三個(gè)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值越小越好，故a=79,c=90,

則甲、乙、丙二人的體育成績(jī)平均值為——-——=--—,

故方差

心上79一?。?,一”＞（9。一等斗；.…RM"。。-）,］

=捺(6/-10148+43386),

-1014

對(duì)稱軸為人-k=84.5,

故當(dāng)8=84或85時(shí)，S2取得最小值,

。瓦c的值為79,84,90或79,85,90.

19.（15分）

/、113c113c

【詳解】解：（I）設(shè)/（G。），由西+網(wǎng)=回，即％+%=而向，

可得"一。2=3/,^a2-c2=b2=3,

22

所以02=1,因此〃=4,所以橢圓的方程為上+匕=1.

43

（II）設(shè)3（乙,方），直線的斜率為M%w。），則直線/的方程為y=?（x—2）,

￡匚1

由方程組彳43'消去九整理得（4左2+3卜2―16公元+16左2-12=0,

y=k（x-2）,

解得x=2或x=

4k2+3

由題意得與=專心，從而力式，

4k+34K+3

（9一4"212k、

設(shè)”（0,%）,由（1）知網(wǎng)1,0）,有m=（T%）,BF=\—^,—^\

\^TK十D^TKiDI

由即UHF,得BF-HF=0,

止_9nkyH9-4左2

所以4F+3+4A:2+3=0，解得yH=

12k

因此直線的方程為y=-工工+9-4左2

k12k

19-4k2

■y-__JQ_|________2042+9

設(shè)M（均,％）,由方程組＜

k12k'消去y,得x“=12儼+1)，

y=k(x-2),

在AM40中，ZMOA=ZMAOo\MA\=\MO\,

20k2+9

即(與-2)2+熄化簡(jiǎn)得?=1,即］2e+i)=l,

解得左=_包或左=逅，

44

所以直線/的斜率為左=-逅或左

44

20.(15分)

【詳解】解:(1)因?yàn)閒(x)=e*sinx+g尤?+1,

所以/'(X)=exsinx+excosx+x,

所以切線斜率左=/（。）=1,又以切=1,

故曲線y=/（%）在點(diǎn)（o,/（o））處的切線方程為:

y-l=lx(x-0),即％-y+l=0.

(2)因?yàn)間(x)=<7(lnx-x)+f(x)-exsinx-1=a(lnx-x)+^x2,

所以g，(x)=xix+"(x>0),

X

因?yàn)楹瘮?shù)g（%）=〃（ln%-%）+/（%）-/sin%-1有兩個(gè)極值點(diǎn)不，巧（%=%），

則g，（X）=0有兩個(gè)不同的正根，即％2一利+々=0有兩個(gè)不同的正根,

A—a?—4。>0

則xl+x2=a>0=>。〉4,

玉％2=。>0

不等式武%）+雙X2）＜〃石+%2）恒成立等價(jià)于

屋g（%i）+g（%2）=gQl）+gQ2）

恒成立,

Xy+X2a

1212

又g(%)+g(x2)=Q(ln玉—xi')+—xl+dt(lnx2—x2)+—x2

=a(lnXj+lnx2)-a(Xj+々)+；(%；+%；)

12

=QinXxX2—〃(玉+x2)+—[(%1+x2)—2玉％21

=aIna-Q2+—(Q2-2a)=QIna—-Q2-a,

所以彳〉g&)+g?)=ina_；a_l,

令y=lna-ga-l(a>4),貝！Jy，=L_g<0,

所以y=lna—；Q—l在(4,+oo)上單調(diào)遞減,

所以y<21n2—3,所以XZ21n2—3.

所以實(shí)數(shù)丸的取值范圍為：［21n2-3,y).

21.(15分)