高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市瀏陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗，當(dāng)為純虛數(shù)時，，解得，，．故選：A.2.某單位老、中、青人數(shù)之比依次為.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法從中抽出一個容量為的樣本，若樣本中青年人人數(shù)為20，則此樣本的容量為（）A.40 B.50 C.70 D.100〖答案〗A〖解析〗依題意可知，.故選：A3.在銳角三角形中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在銳角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故選：A.4.如圖是四邊形的水平放置的直觀圖，則原四邊形的面積是（）A. B.14 C. D.28〖答案〗D〖解析〗由題意可知四邊形為直角梯形，且，所以四邊形的面積為，故選：D5.設(shè)，，是空間的三條直線，給出以下五個命題，其中正確的命題的個數(shù)是（）①若，，則；②若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；③若和相交，和相交，則和也相交；④若和共面，和共面，則和也共面；⑤若，，則；A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗①垂直于同一直線的兩條直線相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；②與同一直線異面的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；③與同一直線相交的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；④若，則和共面；若與相交，則和共面.此時，可以是異面關(guān)系也可以是共面關(guān)系，故命題不正確；⑤若，，則，是正確命題；綜上，僅有⑤正確．故選：B．6.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天，每天的日均氣溫都不低于”．已知甲，乙，丙，丁四個地區(qū)某連續(xù)5天日均氣溫的數(shù)據(jù)特征如下：甲地中位數(shù)為，平均數(shù)為．乙地第60百分位數(shù)為，眾數(shù)為．丙地最高氣溫為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為．丁地下四分位數(shù)為，上四分位數(shù)為，極差為．則可以肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)是（）A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地〖答案〗C〖解析〗對于甲地，中位數(shù)為，平均數(shù)為，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則甲地沒有進(jìn)入夏季；對于乙地，第60百分位數(shù)為，眾數(shù)為，，則第60百分位數(shù)為第三個數(shù)與第四個數(shù)的平均數(shù)，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則乙地沒有進(jìn)入夏季；對于丙地，最高氣溫為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，設(shè)前面四個數(shù)據(jù)為，則，故，所以，若，則，這與矛盾，所以，所以丙地肯定進(jìn)入夏季；對于丁地，下四分位數(shù)為，上四分位數(shù)為，極差為，由，得下四分位數(shù)為按從小到大排列得第個數(shù)據(jù)，上四分位數(shù)為按從小到大排列得第個數(shù)據(jù)，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則丁地沒有進(jìn)入夏季.故選：C.7.拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，是互斥事件，則事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為.故選：B8.為三角形內(nèi)部一點，??均為大于1的正實數(shù)，且滿足，若??分別表示??的面積，則為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，如圖設(shè)，即是的重心同理可得，所以．故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分.9.一箱產(chǎn)品有正品4件?次品3件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，依次分析所給的4個事件：對于A：“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”與“恰有2件次品”不會同時發(fā)生，是互斥事件；對于B：“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是次品”可能同時發(fā)生，因此兩事件不是互斥事件；對于C:“至少有1件正品”包括“恰有1件正品和“2件都是正品”，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，因此兩事件不是互斥事件；對于D:“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，與“都是正品”不會同時發(fā)生,是互斥事件，故AD是互斥事件.故選：AD10.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（）A.若，，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：根據(jù)面面平行的判定定理可知：此時要求相交，但題中沒有確定是否相交，所以不能判斷是否平行，故A錯誤；對于選項B：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：若，，則，故B正確；對于選項C：若，，則或，故C錯誤；對于選項D：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知：若，，，則，故D正確；故選：BD.11.下列說法正確的有A.在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形C.△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件D.在△ABC中，若sinA=，則A=〖答案〗AC〖解析〗由正弦定理可得：即成立，故選項A正確；由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯誤；在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項C正確；在△ABC中，若sinA=，則或，故選項D錯誤.故選：AC.12.如圖，已知正方體的棱長為2，，分別為，的中點，在線段上運(yùn)動（包含兩個端點），以下說法正確的是（）A.三棱錐的體積與點位置無關(guān)B.若為中點，三棱錐的體積為C.若為中點，則過點，，作正方體的截面，所得截面的面積是D.若與重合，則過點，，作正方體的截面，截面為五邊形〖答案〗ACD〖解析〗由于三角形的面積固定，到平面的距離固定，所以三棱錐的體積與點位置無關(guān)，A選項正確..所以，B選項錯誤.對于C選項，當(dāng)為中點時，連接，則是的中點，連接，由于分別是的中點，所以，由于，則，即過點，，作正方體的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，C選項正確.對于D選項，當(dāng)與重合時，延長交的延長線于，連接，交于，連接，延長交延長線于，連接，交于，連接，則五邊形是過點，，作正方體的截面.所以D選項正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，為單位向量，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，為單位向量，，又∵，∴，即，∴在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是，且是互相獨立的，則燈亮的概率為___________．〖答案〗〖解析〗記“四個開關(guān)閉合”分別為事件A，B，C，D，可用對立事件求解，圖中含開關(guān)的三條線路同時斷開的概率為，所以燈亮的概率為．故〖答案〗為：15.祖暅，南北朝時代的偉大科學(xué)家，他在實踐的基礎(chǔ)上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.請同學(xué)們借助圖1運(yùn)用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為_________.〖答案〗〖解析〗如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，設(shè)半球中陰影截面圓的半徑，球體半徑為，則，截面圓面；圓柱中截面小圓半徑，大圓半徑為，則截面圓環(huán)面積，所以，又高度相等，所以半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.同理，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺體積.如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為，沒和水接觸的下部分為，小半球相當(dāng)于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺體積.已知球體半徑為，為等邊三角形，，根據(jù)祖暅原理，，設(shè)圖2中軸截面為梯形的圓臺體積為，，故〖答案〗為：.16.如圖,OM∥AB,點P在由射線OM,線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動,且，則x的取值范圍是___；當(dāng)時，y的取值范圍是___.〖答案〗①.②.〖解析〗如圖，,點在射線，線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以的反向延長線為相鄰兩邊，故x的取值范圍是；當(dāng)時，要使點落在指定區(qū)域內(nèi)，即點應(yīng)落在上，,故y的取值范圍是：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量的夾角為，且.（1）求；（2）當(dāng)時，求實數(shù)m.解：（1）由，則.（2）由題設(shè)，則.18.如圖，在平面四邊形中，，，，，．（1）求邊的長；（2）求的面積．解：（1）在中，，由正弦定理得．（2）在中，由余弦定理得．∴．∴．19.某校2021年高一年級共有1000名學(xué)生，現(xiàn)對高一年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求a的值，并估計該校2021年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)；（2）估計該校高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù).解：（1）由題意得，解得由頻率分布直方圖可得，期中考試數(shù)學(xué)成績在的頻率為，所以該校2021年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)約為（人）（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績在110分以下所點比例為，在130分以下所點比例為，所以80%分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可得樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分，所以該校高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)約為115分20.已知函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求，的值；（2）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（3）設(shè)，，求函數(shù)的值域．解：（1）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象過點，所以，所以，又，所以，所以，因為，，所以，所以；（2）因為，化簡可得，又，所以，，令可得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（3）因為，所以，所以，因為，所以，所以，故所以，所以函數(shù)，值域為.21.如圖所示，矩形中，，.、分別在線段和上，，將矩形沿折起.記折起后的矩形為，且平面平面.（1）求證：平面；（2）若，求證：；（3）求四面體體積的最大值（1）證明：∵四邊形，都是矩形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，∴平面；（2）證明：連接，設(shè)，∵平面平面，且，∴平面，∴，又，∴四邊形為正方形，∴，∴平面，又平面，∴，（3）解：設(shè)，則，其中，由（1）得平面，∴四面體的體積為：，時，四面體的體積最大，其最大值為.22.有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的我含量超過其體重的（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出30條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差；（2）有A，B兩個水池，兩水池之間有10個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚.（i）將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ii）將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進(jìn)入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入B水池的概率.解：（1），故從小到大，選擇第15個和第16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為數(shù)據(jù)的中位數(shù)，由題意知，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，數(shù)據(jù)中0.82出現(xiàn)次數(shù)最多，共出現(xiàn)3次，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82，數(shù)據(jù)的極差為.（2）（i）記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為；（ii）記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件，……依次類推；而兩魚的游動獨立，∴，記“兩條魚由不同小孔進(jìn)入水池”為事件，則與對立，又由事件，事件，……互斥，∴，即.湖南省長沙市瀏陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗，當(dāng)為純虛數(shù)時，，解得，，．故選：A.2.某單位老、中、青人數(shù)之比依次為.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法從中抽出一個容量為的樣本，若樣本中青年人人數(shù)為20，則此樣本的容量為（）A.40 B.50 C.70 D.100〖答案〗A〖解析〗依題意可知，.故選：A3.在銳角三角形中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在銳角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故選：A.4.如圖是四邊形的水平放置的直觀圖，則原四邊形的面積是（）A. B.14 C. D.28〖答案〗D〖解析〗由題意可知四邊形為直角梯形，且，所以四邊形的面積為，故選：D5.設(shè)，，是空間的三條直線，給出以下五個命題，其中正確的命題的個數(shù)是（）①若，，則；②若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；③若和相交，和相交，則和也相交；④若和共面，和共面，則和也共面；⑤若，，則；A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗①垂直于同一直線的兩條直線相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；②與同一直線異面的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；③與同一直線相交的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；④若，則和共面；若與相交，則和共面.此時，可以是異面關(guān)系也可以是共面關(guān)系，故命題不正確；⑤若，，則，是正確命題；綜上，僅有⑤正確．故選：B．6.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天，每天的日均氣溫都不低于”．已知甲，乙，丙，丁四個地區(qū)某連續(xù)5天日均氣溫的數(shù)據(jù)特征如下：甲地中位數(shù)為，平均數(shù)為．乙地第60百分位數(shù)為，眾數(shù)為．丙地最高氣溫為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為．丁地下四分位數(shù)為，上四分位數(shù)為，極差為．則可以肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)是（）A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地〖答案〗C〖解析〗對于甲地，中位數(shù)為，平均數(shù)為，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則甲地沒有進(jìn)入夏季；對于乙地，第60百分位數(shù)為，眾數(shù)為，，則第60百分位數(shù)為第三個數(shù)與第四個數(shù)的平均數(shù)，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則乙地沒有進(jìn)入夏季；對于丙地，最高氣溫為，平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，設(shè)前面四個數(shù)據(jù)為，則，故，所以，若，則，這與矛盾，所以，所以丙地肯定進(jìn)入夏季；對于丁地，下四分位數(shù)為，上四分位數(shù)為，極差為，由，得下四分位數(shù)為按從小到大排列得第個數(shù)據(jù)，上四分位數(shù)為按從小到大排列得第個數(shù)據(jù)，若天氣溫的數(shù)據(jù)為，則丁地沒有進(jìn)入夏季.故選：C.7.拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，是互斥事件，則事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為.故選：B8.為三角形內(nèi)部一點，??均為大于1的正實數(shù)，且滿足，若??分別表示??的面積，則為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，如圖設(shè)，即是的重心同理可得，所以．故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分.9.一箱產(chǎn)品有正品4件?次品3件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，依次分析所給的4個事件：對于A：“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”與“恰有2件次品”不會同時發(fā)生，是互斥事件；對于B：“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是次品”可能同時發(fā)生，因此兩事件不是互斥事件；對于C:“至少有1件正品”包括“恰有1件正品和“2件都是正品”，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，因此兩事件不是互斥事件；對于D:“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，與“都是正品”不會同時發(fā)生,是互斥事件，故AD是互斥事件.故選：AD10.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（）A.若，，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：根據(jù)面面平行的判定定理可知：此時要求相交，但題中沒有確定是否相交，所以不能判斷是否平行，故A錯誤；對于選項B：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：若，，則，故B正確；對于選項C：若，，則或，故C錯誤；對于選項D：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知：若，，，則，故D正確；故選：BD.11.下列說法正確的有A.在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形C.△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件D.在△ABC中，若sinA=，則A=〖答案〗AC〖解析〗由正弦定理可得：即成立，故選項A正確；由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯誤；在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項C正確；在△ABC中，若sinA=，則或，故選項D錯誤.故選：AC.12.如圖，已知正方體的棱長為2，，分別為，的中點，在線段上運(yùn)動（包含兩個端點），以下說法正確的是（）A.三棱錐的體積與點位置無關(guān)B.若為中點，三棱錐的體積為C.若為中點，則過點，，作正方體的截面，所得截面的面積是D.若與重合，則過點，，作正方體的截面，截面為五邊形〖答案〗ACD〖解析〗由于三角形的面積固定，到平面的距離固定，所以三棱錐的體積與點位置無關(guān)，A選項正確..所以，B選項錯誤.對于C選項，當(dāng)為中點時，連接，則是的中點，連接，由于分別是的中點，所以，由于，則，即過點，，作正方體的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，C選項正確.對于D選項，當(dāng)與重合時，延長交的延長線于，連接，交于，連接，延長交延長線于，連接，交于，連接，則五邊形是過點，，作正方體的截面.所以D選項正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，為單位向量，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗∵，∴，為單位向量，，又∵，∴，即，∴在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是，且是互相獨立的，則燈亮的概率為___________．〖答案〗〖解析〗記“四個開關(guān)閉合”分別為事件A，B，C，D，可用對立事件求解，圖中含開關(guān)的三條線路同時斷開的概率為，所以燈亮的概率為．故〖答案〗為：15.祖暅，南北朝時代的偉大科學(xué)家，他在實踐的基礎(chǔ)上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.請同學(xué)們借助圖1運(yùn)用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為_________.〖答案〗〖解析〗如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，設(shè)半球中陰影截面圓的半徑，球體半徑為，則，截面圓面；圓柱中截面小圓半徑，大圓半徑為，則截面圓環(huán)面積，所以，又高度相等，所以半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.同理，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺體積.如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為，沒和水接觸的下部分為，小半球相當(dāng)于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺體積.已知球體半徑為，為等邊三角形，，根據(jù)祖暅原理，，設(shè)圖2中軸截面為梯形的圓臺體積為，，故〖答案〗為：.16.如圖,OM∥AB,點P在由射線OM,線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動,且，則x的取值范圍是___；當(dāng)時，y的取值范圍是___.〖答案〗①.②.〖解析〗如圖，,點在射線，線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以的反向延長線為相鄰兩邊，故x的取值范圍是；當(dāng)時，要使點落在指定區(qū)域內(nèi)，即點應(yīng)落在上，,故y的取值范圍是：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量的夾角為，且.（1）求；（2）當(dāng)時，求實數(shù)m.解：（1）由，則.（2）由題設(shè)，則.18.如圖，在平面四邊形中，，，，，．（1）求邊的長；（2）求的面積．解：（1）在中，，由正弦定理得．（2）在中，由余弦定理得．∴．∴．19.某校2021年高一年級共有1000名學(xué)生，現(xiàn)對高一年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求a的值，并估計該校2021年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)；（2）估計該校高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù).解：（1）由題意得，解得由頻率分布直方圖可得，期中考試數(shù)學(xué)成績在的頻率為，所以該校2021年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)約為（人）（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績在110分以下所點比例為，在130分以下所點比例為，所以80%分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可得樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分，所以該校高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)約為115分20.已知函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求，的值；（2）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（3）設(shè)，，求函數(shù)的值域．解：（1）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象過點，所以，所以，又，所以，所以，因為，，所以，所以；（2）因為，化簡