九年級數學期末試卷一、選擇題一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.如圖是由4個大小相同的正方體組合而成的幾何體，則從正面看得到的圖形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據三視圖的定義：主視圖是從正面觀察得到的圖形解答即可．【詳解】解：從正面觀察可知：圖形有兩層，下層有3個正方體，上層左邊有1個正方體，觀察4個選項，只有C符合上面的幾何體，故選C．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，注意掌握主視圖、俯視圖、左視圖的觀察方向．2.若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則a的取值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據方程有兩個相等的實數根，可推出根的判別式，代入相應的系數即可解得a的取值．【詳解】有兩個相等的實數根解得：故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，能根據方程有兩個相等的實數根推出根的判別式等于零是解題的關鍵．3.如圖，在Rt中，，，，則sinA的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據勾股定理求出AB，再根據正弦的定義：對邊比斜邊，進行計算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查正弦的定義．熟練掌握正弦的定義是解題的關鍵．4.如圖，在中，，，若，則等于（）A.7 B.14 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】由，可得，由此即可求解．【詳解】解：，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．5.下列命題中，真命題是（）A.對角線互相垂直的矩形是正方形 B.對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形C.有三條邊相等的四邊形是菱形 D.對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形【答案】A【解析】【分析】根據正方形的判定方法對A進行判斷；根據菱形的判定方法對B，C進行判斷；根據矩形的判定方法對D進行判斷．【詳解】解：A.對角線互相垂直的矩形是正方形，所以A選項是真命題；B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，所以B選項是假命題；C.有四條邊相等的四邊形是菱形，所以C選項是假命題；D.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以D選項是假命題．故選：A．【點睛】本題考查特殊四邊形的判定及命題與定理，判斷事物的語句叫命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題，經過推理論證的真命題稱為定理．6.現有五張卡片依次寫有“一”“起”“向”“未”“來”五個字（五張卡片除字不同外，其他均相同），把五張卡片背面向上洗勻后，從中抽取兩張，則抽到漢字恰好是“未”和“來“的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意畫出樹狀圖求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結果，其中抽到漢字恰好是“未”和“來“的結果有2種，∴抽到漢字恰好是“未”和“來”的概率為．故選：A．【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．7.二次函數，當時，y的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把二次函數化為頂點式得到函數的最大值，再求解時的函數值，從而可得答案．【詳解】解：∵二次函數，∴當時，函數最大值為：，當時，，當時，，∴當時，y的取值范圍為：，故選D．【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，掌握“利用二次函數的性質結合自變量的范圍求解函數值的范圍”是解本題的關鍵．8.如圖，是半圓的直徑，，則的度數是（）A.120° B.130° C.140° D.150°【答案】C【解析】【分析】根據圓周角定理，得到，從而得到的度數，進而得到即可．【詳解】解：是半圓的直徑，，∴，，∵對應的是劣弧，對應的是優弧，∴，∴；故選C．【點睛】本題考查圓周角定理．熟練掌握直徑所對的圓周角是直角，是解題的關鍵．9.如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數在第一象限的圖象經過點B，則與的面積差為（）．A.32 B.16 C.8 D.4【答案】C【解析】【分析】已知反比例函數的解析式為，根據系數k的代數意義，設函數圖象上點B的坐標為(m，)再結合已知條件求解即可；【詳解】解：如圖，設點C(n，0)，因為點B在反比例函數的圖象上，所以設點B(m，)．∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴點A的坐標為(n，n)，點D的坐標為(n，)，由AD=BD，得n?=m?n，化簡整理得m2?2mn=?16．∴S△OAC?S△BAD=n2?(m?n)2=?m2+mn=?(m2?2mn)，即S△OAC?S△BAD=8．故選C【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、等腰三角形的性質以及面積公式，解題的關鍵是掌握反比例函數系數的幾何意義．10.如圖，在矩形中，將繞點逆時針旋轉得到，、、三點恰好在同一直線上，與相交于點，連接，現有以下結論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由是繞點逆時針旋轉得到的，得到，再由矩形的性質得出從而判斷①；由，可得，從而判斷②；由和，，得出，可以判斷③；在線段上作，如圖所示，連接，通過證明，得出是等腰直角三角形，可以判斷④．【詳解】解：是繞點逆時針旋轉得到的，，，，，又四邊形是矩形，，，即，，即，故①正確；，，即是直角三角形，而不是直角三角形，故②錯誤；在和中，，，，，，，即，故③正確；在線段上取并連接，如圖，，，，和中，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，故④正確；故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，矩形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質等綜合知識，關鍵是根據已知比例式確定兩個三角形相似．二、填空題(本大題共6個小題．每小題4分，共24分．把答案填在答題卡的橫線上．)11.拋物線的頂點坐標是___．【答案】【解析】【分析】把函數解析式化為頂點式即可得出頂點坐標．【詳解】解：，∴頂點坐標是．故答案：．【點睛】本題考查二次函數的頂點，解題關鍵在于能夠將拋物線的一般式化成頂點式．12.當x＝_____時，代數式的值等于4．【答案】1或【解析】【分析】根據題意列出一元二次方程，然后解方程即可解答．詳解】解：由題意得：，∴，∴,∴或,∴或時，代數式的值等于4．故答案為1或．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，由題意得得到關于x的一元二次方程是解答本題的關鍵．13.有四張背面完全相同的卡片，正面上分別標有數字．把這四張卡片背面朝上，隨機抽取兩張卡片，則兩張卡片上的數字之和為正數的概率為______．【答案】【解析】【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中兩張卡片上的數字之和為正數的結果有8種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中兩張卡片上的數字之和為正數的結果有8種，∴兩張卡片上的數字之和為正數的概率為故答案為：【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．14.如圖所示，△ABC的頂點在正方形網格的格點上，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】根據網格構造直角三角形，由勾股定理可求、，再根據三角函數的意義可求出的值．【詳解】解：如圖，連接，由網格的特點可得，，，，，故選：A．【點睛】本題考查直角三角形的邊角關系，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的前提，利用網格構造直角三角形是解決問題的關鍵．15.如圖，扇形圓心角為直角，，點在上，以，為鄰邊構造，邊交于點，若，則圖中兩塊陰影部分的面積和為______________．【答案】##【解析】【分析】連接，由勾股定理可求出的長，再計算扇形面積和梯形并作差即可．【詳解】解：連接在中，故答案為：．【點睛】本題主要考查勾股定理，扇形面積計算以及梯形面積計算，熟練掌握扇形面積計算以及勾股定理是解決本題的關鍵．16.如圖，點D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四邊形BCED的面積為8，tan∠C=7，AC=______．【答案】5【解析】【分析】過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，由tan∠ACB=7，設CM=x，則AM=7x，AC=5x=AD，根據∠ABM=45°即得BM=AM=7x，BC=BM+CM=8x，而△NBC是等腰直角三角形，知CN=4x，由△DAE≌△CAN（AAS），即得DE=CN=4x，AE=3x，又四邊形BCED的面積為8，列出方程，解方程再計算即可求解．【詳解】解：過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，如圖：∵tan∠ACB=7，∴，設CM=x，則AM=7x，∴AC=AD，∵∠ABM=45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴BM=AM=7x，∴BC=BM+CM=8x，在Rt△BCN中，∠NBC=45°，∴△NBC是等腰直角三角形，∴CN=BC=4x，∵∠AED=∠ANC=90°，AD=AC，∠DAE=∠CAN，∴△DAE≌△CAN（AAS），∴DE=CN=4x，在Rt△DAE中，AE=，∵四邊形BCED的面積為8，∴，∴，即，解得x=或x=-（舍去），∴AC=5x=5×=5，故答案為：5．【點睛】本題考查全等三角形、銳角三角函數、等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形，用含字母的式子表示相關線段的長度．三、解答題（本大題共10個小題，共86分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】變形后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：變形得，，因式分解得，，∴或，解得，【點睛】此題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．18.計算：．【答案】2【解析】【分析】直接利用負指數冪的性質、特殊角的三角函數值、二次根式的性質化簡得出答案．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查實數的運算，解題的關鍵是熟知負指數冪的性質、特殊角的三角函數值、二次根式的性質．19.如圖，菱形中的對角線相交于點O，，．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了菱形的性質、平行線的性質、矩形的判定，熟練掌握菱形的性質、平行線的性質、矩形的判定是解題的關鍵．由菱形的性質可得，由平行線的性質可得，即可證四邊形是矩形．【詳解】證明：菱形的對角線與相交于點，，，，，四邊形是矩形；20.為落實“雙減”政策，促進學校全面發展，有著“足球、籃球、武術特色校園”之稱的尋烏縣第三中學，在課后延時服務中采取課內+課外相融合，基礎性與選擇性相結合，開設體育類足球、籃球、武術等課程，李欣和張帆決定報名參加學校的體育課程，在了解了各項運動特點后，李欣決定從“A足球，B籃球，C武術”中隨機選擇一種進行報名，張帆決定從“A足球，C武術，D羽毛球”中隨機選擇一種進行報名．（1）求李欣選擇“A足球”的概率；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求出李欣和張帆恰好選擇學習同一種體育課程的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知李欣共有三種選擇可能，選擇“A足球”的有1種，然后運用概率公式計算即可；（2）先列表確定所有可能數和李欣和張帆恰好都選擇學習同一種體育課程的結果數，然后運用概率公式計算即可．【小問1詳解】解：共有3種可能出現的結果，其中選擇“A足球”的有1種，則李欣選擇“A足球”的概率為．【小問2詳解】解：由題意列表如下：張帆李欣ABCA(A，A)(B，A)(C，A)C(A，C)(B，C)(C，C)D(A，D)(B，D)(C，D)由列表可知共有9種等可能的結果，其中李欣和張帆恰好都選擇學習同一種體育課程的結果有2種，李欣和張帆恰好選擇學習同一種體育課程的概率為．【點睛】本題主要考查了概率公式、列表法求概率等知識點，掌握列表法求概率是解答本題的關鍵．21.如圖，與相切于點D，點A在直徑的延長線上．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，運用切線及圓的性質得到即可．（2）利用（1）中的結論及勾股定理解題即可．【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵與相切于點D，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：由（1）得,∵，∴,,∴,∵,∴,解得：,∴，在中，，∴．【點睛】本題主要考查切線性質的運用，及勾股定理的應用，能夠熟練運用切線的性質求角度關系是解題關鍵．22.如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成角的樓梯和一段水平平臺構成．已知天橋高度米，引橋水平跨度米．（參考數據：取）（1）求水平平臺的長度；（2）若與地面垂直的平臺立柱的高度為3米，求兩段樓梯的長度之比．【答案】（1）水平平臺的長度約為1.8米（2）兩段樓梯的長度之比為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題，平行四邊形的判定，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．（1）延長交于點F，過點E作，垂足為G，由題意得：，從而可得，四邊形是平行四邊形，進而可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而求出的長，即可解答；（2）根據題意可得：米，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而求出的長，進行計算即可解答．【小問1詳解】解：延長交于點F，過點E作，垂足為G，由題意得：，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，米，∴（米），∵米，∴（米），∴水平平臺的長度約為1.8米；【小問2詳解】解：由題意得：米，在中，（米），∴米，中，米，∴（米），∴（米），∴兩段樓梯的長度之比為．23.已知：如圖所示，在中，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，當其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動．（1）如果P、Q分別從A、B同時出發，那么幾秒后，的面積等于？（2）在（1）中，的面積能否等于？請說明理由．【答案】（1）1秒后的面積等于（2）的面積不能等于，理由見解析【解析】【分析】（1）設經過x秒鐘，的面積等于6cm2，根據點P從A點開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從B點開始沿邊向點C以的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解．（2）通過根的判別式即可判定能否達到．小問1詳解】解：設經過x秒以后面積為，則，整理得：，解得：，∵當時，，∴不合題意，答：1秒后的面積等于；【小問2詳解】解：的面積不能等于，理由如下∶設經過t秒以后△PBQ面積為，則，整理得：，，所以此方程無解，故的面積不能等于．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，找到關鍵描述語“的面積等于”得出等量關系是解決問題的關鍵．24.如圖，矩形的頂點A，C分別落在x軸，y軸的正半軸上，已知頂點，反比例函數的圖像與分別交于D，E，．（1）求反比例函數關系式和點E的坐標；（2）寫出與的位置關系并說明理由；（3）若點F在直線上，點G在反比例函數的圖像上，是否存在合適的F、G點，使四邊形平行四邊形，若存在，請求出點G的坐標．若不存在，請說明理由．【答案】（1），（2），理由見解析（3）存在，點G的坐標為或【解析】【分析】（1）先求出點D坐標，代入解析式可求解析式；（2）通過證明對應線段成比例即，從而證明；（3）分兩種情況進行討論：①當點F在點C的下方時；②當點F在點C的上方時；然后分別進行求解即可．【小問1詳解】解：∵，則，而，∴，故點，將點D的坐標代入反比例函數表達式得：解得，故反比例函數表達式為，當時，，故點；【小問2詳解】．理由如下：由（1）知，，點，點，，，，∴；【小問3詳解】①當點F在點C的下方時，此時點G在點F的右方，如下圖，過點F作軸于點H，∵四邊形為平行四邊形，則，∴設，，，，故點，則點；②當點F在點C的上方時，得，同理可得，點．綜上，點G的坐標為或．【點睛】此題是反比例函數綜合題，考查了平行四邊形的性質，待定系數法求解析式，矩形的性質，三角形一邊平行線的判定定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．25.如圖，在中，已知，且，將與重合在一起，不動，運動，并滿足：點E在邊上沿B到C的方向運動，且始終經過點A，與交于M點.（1）求證：；（2）當點E運動到邊的中點時，求的長；（3）在運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，請直接寫出的長.【答案】（1）見解析（2）（3）1或或0【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得，根據全等三角形的性質可得，再根據三角形外角的性質及角的和差關系可得，即可證明；（2）由點E運動到邊的中點結合等腰三角形的性質可得CE的長和，再根據勾股定理求得的長，最后根據相似三角形的性質求出BE的長即可；（3）分別討論三種情況，分別利用全等三角形及相似三角形的性質分別求出BE的長即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【小問2詳解】解