專題14算法初步、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

易錯點1忽略判斷框內(nèi)的條件

閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入〃的值為9,則輸出S的值為

【錯解】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算S=2i+22+23+...+28+1+2+3+...+8=546,故輸出S的值為

546.

【錯因分析】解題過程錯在循環(huán)是在右10終止，而不是在k9時終止，所以循環(huán)體最后一次執(zhí)行的是S=S

+29+9.

【試題解析】依題意，該程序框圖的任務(wù)是計算5=21+22+23+...+29+1+2+…+9=1067,故輸出S的值

為1067.

【參考答案】1067

【警示】解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂程序框圖，明晰循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的真正含義，對于本題，要認清程

序框圖運行的次數(shù).

,易錯點擊

1.注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.

2.注意條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：對于循環(huán)結(jié)構(gòu)有重復性，條件結(jié)構(gòu)具有選擇性沒有重復性，并且循環(huán)

結(jié)構(gòu)中必定包含一個條件結(jié)構(gòu)，用于確定何時終止循環(huán)體.

,■，即時鞏固

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a=-l,則輸出的5=

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】閱讀流程圖，初始化數(shù)值。=一1,左=i,s=o.

循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：

第一次：S=0_]=_1,。=1,左=2；

第二次：S=-l+2=La=-l水=3；

第三次：S=1-3=-2,a=1,^=4；

第四次：S=-2+4=2,a=-l,k=5-

第五次：S=2-5=-3,a=l,左=6；

第六次：S—-3+6=3,a=-l,k=7,

結(jié)束循環(huán)，輸出S=3.故選B.

【名師點睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.求解時，先明晰算法及流程圖的相

關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更

要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，如：是求和還是求項.

易錯點2誤將類比所得結(jié)論作為推理依據(jù)

*、■_-____

（典例分.

c2

Q已知％,G,〃2也，2都是非零實數(shù)，不等式+4%+q<0,a2x+Z?2x+c2<0的解集分別為

a,b、c,

MN,則“一=—=—"是“M=N”成立的______________條件（選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不

a2b2c2

充分又不必要”中的一種）.

a,bG凡b、c

【錯解】由,=皆=」知兩個不等式同解,即“d=U="是“M=N”成立的充要條件.

【錯因分析】錯解將方程的同解原理類比到不等式中,忽略了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)別.

【試題解析】當‘■=U二」■時，可取％=4=q=1,。2=62=。2=-1，則M=0,N=R,

〃20202

故幺=2=S#M=N；

。202。2

當M=N=0時，可取％=4=。=1,。，=1,4=2,c,=3,則幺w3/',即"=7^力5=空=0.

%“2C2a202C2

a,hG

綜上知“二=廣=’”是“M=N”成立的既不充分又不必要條件.

a2b2c2

【參考答案】既不充分又不必要條件

,易錯點擊

類比推理是不嚴格的，所得結(jié)論的正確與否有待用實踐來證明，解題時若直接使用類比所得結(jié)論進行推

理則容易出現(xiàn)錯誤.

■一即時鞏固

2.在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出，“割之彌細，所失彌少，制之又割，以至于不可割，

則與圓周合體而無所失矣.”注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在

12+J2+萬瓦中“…”即代表無限次重復,但原式卻是個定值x,這可以通過方程=x確定出

來x=2,類比上述結(jié)論可得log2[2+log2(2+log2(2+.?.))]的正值為

A.1B.72

C.2D.4

【答案】C

x

【解析】由題意可得x=log2(2+x),x＞0,.\2=x+2,解得x=2,故選C.

易錯點3小前提錯誤

儂倒分M

判斷函數(shù)y=2兇的單調(diào)性.

【錯解】指數(shù)函數(shù)y=a'(a＞l)是增函數(shù)，而y=2四是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y=2四是增函數(shù).

【錯因分析】錯解中的小前提“y=2囪是指數(shù)函數(shù)”是錯誤的，函數(shù)y=2日不是指數(shù)函數(shù)，而是一個分段函

數(shù)，在每一個分段區(qū)間上是指數(shù)函數(shù)，并且底數(shù)的取值不同，要對單調(diào)性進行討論.

【試題解析】對于指數(shù)函數(shù)＞=當。＞1時是增函數(shù)，當0＜。＜1時是減函數(shù)，故當xe[0,+8)時,

丁=2兇=2工是增函數(shù)；當xe(—oo,0]時，丁=2兇=(；廠是減函數(shù).

易錯點擊

演繹推理的前提與結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的小前提.

■,即時鞏固

3.矩形的對角線互相垂直，正方形的對角線互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段論的推理中

A.推理形式錯誤B.小前提錯誤

C.大前提錯誤D.結(jié)論錯誤

【答案】C

【解析】矩形的對角線不是垂直的，正方形的對角線是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出現(xiàn)了

錯誤.

【名師點睛】本題主要考查邏輯推理的結(jié)構(gòu)，分清三段論推理中的大前提，小前提，結(jié)論是求解關(guān)鍵.

易錯點4反證法誤區(qū)——推理中未用到結(jié)論的反設(shè)

供闞分?

已知實數(shù)P滿足不等式(2p+l)g+2)<0,用反證法證明:關(guān)于x的方程爐-2x+5-p?=0無實數(shù)根.

【錯解】假設(shè)方程2x+5-p?=。有實數(shù)根，由已知實數(shù)p滿足不等式(2p+l)(p+2)<0,解得

—2<p<—g,而關(guān)于x的方程x2-2x+5-p2=0的根的判別式/=4(°2_4).

；_2<p<_g,；.；<p2<4,.?./<0,即關(guān)于x的方程f—2%+5—”2=o無實數(shù)根.

【錯因分析】錯解在解題的過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，故不是反證法.

【試題解析】假設(shè)方程Y-2x+5-p2=。有實數(shù)根，則該方程的根的判別式/=4(獷-4)20,解得

222或°<_2①，

而由已知實數(shù)P滿足不等式(2p+l)S+2)<0,解得-2<p<-g②.

數(shù)軸上表示①②的圖形無公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程2x+5-p?=。無實數(shù)根.

4易錯點擊

利用反證法進行證明時，首先對所要證明的結(jié)論進行否定性的假設(shè)，并以此為條件進行歸謬，得到矛盾,

則原命題成立.

■盆即時鞏固

4.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個大于60°,反證假設(shè)正確的是

A.假設(shè)三內(nèi)角都大于60°B.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°

C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60°D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°

【答案】B

【解析】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個大于60°不成立，即假設(shè)三內(nèi)角都

不大于60°,故選B.

【名師點睛】本題考查了反證法的第一步的假設(shè)過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的

關(guān)鍵.

易錯點5對復數(shù)的相關(guān)概念不理解出錯

俠闞分?

設(shè)復數(shù)。+歷（a,Z？￡R）的模為6，則（〃+Ai）（a—bi）=.

【錯解】復數(shù)〃+bi的模為J。?+1=百，則4+廿二6.又（〃+歷）（〃一歷）-a2—b^-a2+b1-y/3,故（a

+歷）（a—bi）-\/3.

【錯因分析】上述的解題過程對復數(shù)模的運算處出現(xiàn)了一個簡單的失誤，對于復數(shù)z-a+bi的模

\z\=y）a2+b2,故應為層+廬二3.

【試題分析】復數(shù)〃+歷（〃，/?￡R）的模為+宜=上,則〃2+/=3,貝|J（〃+歷）（〃一歷）二次—（歷）2=/

—Z?2i2=a2+Z?2=3.

【參考答案】3

,易錯點擊

復數(shù)的運算過程中要注意靈活運用復數(shù)的概念及運算法則.如本例中模的計算要兩邊同時平方而得出正確結(jié)

論.

?特別提醒

1.判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于。是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.

2.對于復系數(shù)（系數(shù)不全為實數(shù)）的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程的解，一般都

是將實根代入方程，用復數(shù)相等的條件進行求解.

3.兩個虛數(shù)不能比較大小.

4.利用復數(shù)相等〃+Z?i=c+di列方程時，注意b,c,d￡R的前提條件.

5.注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復數(shù)集中來.例如，若zi,Z2&C,z；+z；=O,就不

能推出Zl=Z2=0；z2<0在復數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

■?即時鞏固

11G.

5.已知復數(shù)2=--（其中i為虛數(shù)單位），貝”|z|二

3-1

L交1

B.

22

.叵A/74

D.

一~wi(r

【答案】A

l+2i(l+2i)(3+i)l+7i?.?以=%=等’故選A.

【解析】Z

3-i(3-i)(3+i)10

【名師點睛】首先化簡復數(shù)z,然后結(jié)合復數(shù)的定義確定其虛部即可?復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、

減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.

.易錯點6數(shù)學歸納法的應用誤區(qū)—歸納假設(shè)只設(shè)不用

用數(shù)學歸納法證明：1+4+7+…+（3“—2）=g”（3”—l）（〃eN*）.

【錯解】（1）當〃=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，等式成立.

*1

（2）假設(shè)當〃=左（左eN）時等式成立，即1+4+7+…+（3左一2）=5左（3左一1）.

那么，當〃=左+1時，需證1+4+7+…+（3左一2）+[3（左+1）—2]=1（左+1）（3左+2）（*）.

2

由于等式左邊是一個以1為首項,3為公差的等差數(shù)列的前什1項的和，所以左邊=g（k+l）（l+34+1）=

g（左+1）（3左+2）=右邊，所以（*）式成立.

即〃=左+1時等式成立,

根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何aeN*都成立.

【錯因分析】錯解在證明當“=左+1等式成立時，沒有用到歸納假設(shè)“當n=k（keN*）時等式成立“，故

不符合數(shù)學歸納法證題的要求.

【試題解析】（1）當〃=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，等式成立.

*1

（2）假設(shè)當“=左（左eN）時等式成立，即1+4+7+…+（3左一2）=5左（3左一1）.

那么，當“31時，1+4+7+―（次-2）+［3-］。（31）+（弘+1）

1,11

=-（3左2+5k+2）=-（k+1）（3k+2）=］（左+］）［3（左+1）-1］.

即當〃=左+1時等式成立.

根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何〃eN*都成立.

?易錯點擊

判斷用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題是否正確，關(guān)鍵要看兩個步驟是否齊全，特別是第二步歸納假設(shè)是否被

應用，如果沒有用到歸納假設(shè)，那就是不正確的.

即時鞏固

6.已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為篦，VneN\S“=；（2〃+l）a”+；.

（1）求,“2，；

（2）猜想數(shù)列｛4｝的通項公式，并用數(shù)學歸納法給予證明.

【答案】（1）?i=1,g=3，%=5；案）an-2n-l.

【解析】（1）分別取〃=1,2,3得

。31c51。71

1=q——=q+Q2=~電+H，33=。］+2+〃3=W03+W，

解得6=1,%=3,q=5.

（2）猜想4=2n-l

〃=1時，由（1）知，［=l=2xl-l,猜想成立,

假設(shè)〃=左(％EN*)時，ak=2k-l,

則以+i=S^+i=；(24+3)%+i+；-：(2左+1)以十：

——Qk+3)%+]——(2k+1)/,

所以：(2左一I)%—]=；(2左+l)ak,

因為。*=2左一1,所以4t+i=2左+1=2(左+1)-1,

所以，”=左+]時4=2〃_1成立，

綜上所述，任意〃eN*，an=2n-l.

【名師點睛】本題難度不大，考差數(shù)列遞推關(guān)系的應用，數(shù)學歸納法用來證明數(shù)列的一般方法，注意在

證明〃=攵+1時需用上假設(shè)，化為〃=上的基本形式.

(糾錯筆記

一、算法初步

1.在設(shè)計一個算法的過程中要牢記它的五個特征：概括性、邏輯性、有窮性、不唯一性、普遍性.

2.在畫算法框圖時首先要進行結(jié)構(gòu)的選擇.若所要解決的問題不需要分情況討論，只用順序結(jié)構(gòu)就能解決；

若所要解決的問題要分若干種情況討論時，就必須引入選擇結(jié)構(gòu)；若所要解決的問題要進行許多重復的

步驟，且這些步驟之間又有相同的規(guī)律時，就必須引入變量，應用循環(huán)結(jié)構(gòu).

3.循環(huán)語句有“直到型”與“當型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，主要解決需要反復執(zhí)行的任務(wù)，用循環(huán)語句來

編寫程序.

4.關(guān)于賦值語句，有以下幾點需要注意：

(1)賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式，例如3可九是錯誤的.

(2)賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量，例如Y=x,

表示用X的值替代變量r的原先的取值，不能改寫為尤=丫.因為后者表示用r的值替代變量X的值.

(3)在一個賦值語句中只能給一個變量賦值，不能出現(xiàn)多個

二、推理與證明

1.常見的類比、歸納推理及求解策略

(1)在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：①找兩類

對象的對應元素，如：三角形對應三棱錐，圓對應球，面積對應體積等等；②找對應元素的對應關(guān)系，

如：兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等.

(2)歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個

體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.

2.利用綜合法、分析法證明問題的策略

(1)綜合法的證明步驟如下：①分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、

定理等；②轉(zhuǎn)化條件,組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴密的證明過程.特別地,根據(jù)題目特點選取合

適的證法可以簡化解題過程.

(2)分析法的證明過程是：確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系,合理選擇相關(guān)定義、定理對結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，直

到獲得一個顯而易見的命題即可.

(3)實際解題時，用分析法思考問題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過程，或者聯(lián)合使用分析法與

綜合法，即從“欲知”想“已知”(分析)，從“已知”推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條

件和結(jié)論的途徑.

3.用反證法證明不等式要把握的三點

(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面.

(2)必須從否定結(jié)論進行推理，即應把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證.

(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，且推導

出的矛盾必須是明顯的.

4.反證法的一般步驟

用反證法證明命題時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導出邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定

原命題)的過程.這個過程包括下面三個步驟：

(1)反設(shè)一假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；

(2)歸謬——由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾；

(3)存真——由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯誤，從而肯定原結(jié)論成立.

即反證法的證明過程可以概括為：反設(shè)一歸謬一存真.

5.應用數(shù)學歸納法的常見策略

(1)應用數(shù)學歸納法證明等式，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，由〃=%到〃=%+1時等

式兩邊變化的項.

(2)應用數(shù)學歸納法證明不等式，關(guān)鍵是由〃=左成立證/A+1時也成立.在歸納假設(shè)后應用比較法、

綜合法、分析法、放縮法等加以證明，充分應用不等式的性質(zhì)及放縮技巧.

(3)應用數(shù)學歸納法解決“歸納一猜想一證明"，是不完全歸納與數(shù)學歸納法的綜合應用，關(guān)鍵是先由合

情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再證明結(jié)論的正確性.

三、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

1.復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.

2.在復數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應向量的三角形法則的方向是應注意的問題，平移往往和加法、減

法相結(jié)合.

3.實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).復數(shù)集C和復平面內(nèi)所有的點所成的集

合及平面向量是一一對應關(guān)系，即

一,-*對應

復數(shù)z=a+-----＞復平面內(nèi)的點Z(a.b)

-,~?5(寸應__—＞

------＞平面向量OZ

4.復數(shù)運算常用的性質(zhì)：

(1)①(l±i)2=±2i；②上口=i,-i.

1-i1+i

(2)設(shè)0=------+~—~i；則①|(zhì)co|=l；②l+o+cyJo；③。=02.

22

(3)i〃+i"+i+i"+2+i"+3=o(”GN*).

OS因圜國

1.【2019年高考全國II卷理數(shù)】設(shè)z=-3+2i,則在復平面內(nèi)I對應的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由z=—3+2i,得1=—3-2i,則1=—3—2i對應的點(-3,-2)位于第三象限.故選C.

2.【2019年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)復數(shù)z滿足|z-i|=l,z在復平面內(nèi)對應的點為(x,y),則

A.(x+l)2+y2=1B.(x-l)2+y2=1

C.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=1

【分析】本題考點為復數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易.此題可采用幾何法，根據(jù)點(x,y)和點(0,

1)之間的距離為1,可選正確答案為C.

【答案】c

[解析]由題可得z=x+yi,z_i=x+(y_l)i,|z-i|=4+口_])2=],則工2+0_1)2故選c.

3.【2019年高考全國DI卷理數(shù)】若z（l+i）=2i,則2=

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

【答案】D

2i2i(l-i)

【解析】z=~~~r八.、=1+i.故選D.

1+1(l+i)(l-i)

【名師點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).采取運算法則法，利用方程思想解題.

4.設(shè)i為虛數(shù)單位，復數(shù)Z滿足（1+月i）z=（-B+i）2,則共軌復數(shù)N的虛部為

A.由B.―底

C.6D.-73

【答案】C

【分析】根據(jù)條件求出復數(shù)Z,然后再求出共軌復數(shù)N,從而可得其虛部.

【解析】：（1+后2=（-G+if=2-2后i,

2(1-73i)2(1-73i)2

=—1—\/3i,

I+A/31-(1+V3i)(l-V3i)

，N=-l+6i，；?復數(shù)N的虛部為百.故選C.

【名師點睛】本題考查復數(shù)的乘除法的運算及共軌復數(shù)的概念，其中正確求出復數(shù)z是解題的關(guān)鍵,

對于復數(shù)的運算，解題時一定要按照相關(guān)的運算法則求解，特別是在乘除運算中一定不要忘了i?=-1

5.已知復數(shù)z滿足|z|=0,z+z=2（彳為z的共輾復數(shù)）（i為虛數(shù)單位）則2=

A.1+iB.1-i

C.1+i或1—iD.—1+i或一1—i

【答案】c

【解析】設(shè)2=。+/^（。力eR）,則區(qū)=。—Z?i,z+z=2a,

a2+b2=261—1

所以《得《所以z=l+i或z=l—i故選C.

2a=2b=±l

6.已知為虛數(shù)單位，且=，則復數(shù)對應的點位于

i(1+i)z—1z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】V,對應的點是，復數(shù)對應的點位于第二象限.

故選B.

0—rrii

7.復數(shù)上'"=A+(加、A、BGR),且A+5=0,則加的值是

l+2i

22

A.——B.-

33

C.A/2D.2

【答案】A

【解析】因為~Y~Y=A+Bi^m>43eR），所以2—m設(shè)A+順1〉,即

A=t

A-2B=22

2—mi-A一2々+2@,由此可得＜,結(jié)合A+3=0可解之得4B=-

2A+B=-m3

2

m=-

3

故應選A.

8.下面關(guān)于復數(shù)=的四個命題：

z2Pt-\z\=2;

的共軌復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為

P2：Z2(-1,-1)；

的虛部為-1；

p^z2=-2i

其中的真命題是

A.B.C.D.

P2，P3PfP2P2，P4P3，P4

【答案】C

【解析】=，則

Pi：|z|=V2

的共軌復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為；

p2?zz=-1—i(―1,—1)

的虛部為1;

P3-Z

2

p4：2=-2i

故真命題是.

P2，%

故選C.

]

9.【2019年高考全國I卷理數(shù)】如圖是求2+」y的程序框圖，圖中空白框中應填入

2+-

2

—k=k+l（結(jié)束）

IAC1

A.AA=--------B.A=2+—

2+AA

1I

C.A=--—D.AA=l+——

l+2A2A

【答案】A

【分析】本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認真分析式子結(jié)構(gòu)特征

與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.

【解析】初始：A^-,k=l<2,因為第一次應該計算=k=k+l=2；

22+-2+A

1

11

執(zhí)行第2次，k=2<2,因為第二次應該計算2+—r=------,k=k+l=3,

2+12+A

2

結(jié)束循環(huán)，故循環(huán)體為A=故選A.

2+A

【秒殺速解】認真觀察計算式子的結(jié)構(gòu)特點，可知循環(huán)體為A=^^.

2+A

10.12018全國卷U理】為計算S=l-工+,-l+…+’———,設(shè)計了下面的程序框圖，則在空白框中

23499100

應填入

A.i=i+lB.i=i+2

C.z=z+3D.z=z+4

【答案】B

【解析】由s=i-工+,-工+…+’——匚得程序框圖先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因

23499100

此在空白框中應填入i=i+2.

故選B.

【名師點睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念

,

包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循

環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項.根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加

,最后再相減.因此累加量為隔項.

11.習近平總書記在十九大報告中指出:堅定文化自信,推動社會主義文化繁榮興盛.如圖，“大衍數(shù)列”

。2,4,8,12…來源于〈乾坤譜〉中對〈易傳》“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的

太極衍生過程中曾

經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.下圖是求大衍數(shù)列前項和的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，輸入，則輸出

nm=10

的

S=

A.100B.140

C.190D.250

【答案】C

【解析】由題意得,程序的功能是計算當輸入機=10時，的值，=

SS12232-142-192-lIO2

—1-----1----------1----------r???H---------1------

222222

計算可得=

s

-(8+24+48+80)+^(4+164-36+64+100)=190

故選C.

12.【2019年高考全國III卷理數(shù)】執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的￡為o.01,則輸出S的值等于

(y)

/輸入。

.L

.

IS=$+XI

X

蟲J

/輸

(A)

C2一：

D.2-

【答案】C

【分析】根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進行運算,可得結(jié)果.

【解析】輸入的￡為0.01,

x=l,s=O+l,x=L<0.01?不滿足條件;

2

s=0+l+L,x=L<0.01?不滿足條件；

24

S=0+l+^+…+二，%=▲=0.0078125<0.01?滿足條件，結(jié)束循環(huán);

226128

輸出5=]+萬-1--1-=2x(1—=2—,故選C.

【名師點睛】解答本題關(guān)鍵是利用循環(huán)運算，根據(jù)計算精確度確定數(shù)據(jù)分析.

13.宋元時期數(shù)學名著〈算學啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹

何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的G,b分別為5,2,則輸出的?1=

A.B.

23

C.D.

45

【答案】C

【解析】由題可得，因為有==.因為不成立，所以

a=5,b=2a=5b=2n=la5154415

ffff5+-=—bT—<4

22r2

=因為不成立，所以==因為不成立，所以

c15,1545Tc45一c713,a45,45135T16，135一一

71=2,Q=—+--------,b=8,—<8—+---------b一<16

2444488f8

==.因為成立，所以輸出.

4051g71=4

幾，135,135405T32

4,q=------1---------------,b—<3Z

8161616

故選C.

14.用秦九韶方法求多項式二在的I值時，的值為

f(x)12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6X=-4

A.34B.220

C.-845D.3392

【答案】A

【解析】因為=，因為=，所以

(((((倒+5)x+6)x+79)x—8)x+35)x4-12n一4

17Q=3,17]=—7,172=34

故選A.

15.【2019年高考全國I卷文數(shù)】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度

之比是由二！(1二LO.618,稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.止匕外，最美人體的

22

頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是避工.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為

2

105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】方法一：如下圖所示.

依題意可知：

AC75-1AB_A/5-1

CD-2)fiC-2

①腿長為105cm得，即CD>105,

J5-1

AC-——CD>64.89,

2

AD=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以AA169.89.

②頭頂至脖子下端長度為26cm,

即AB<26,

473

BC=T—<42.07,

V5-1

2

AC=AB+BC<6S.O1,

AC

CD=<110.15,

V5-1

2

AC+CD<68.07+110.15=178.22,

所以4X178.22.

綜上，169.89<AD<178.22.

Ar頭頂

B-咽喉

c-肚臍

DL足底

故選B.

方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為尤cm,肚臍至腿根的長為ycm,則竺=至土生=Y1二1,得

xy+1052

無。42.07cm,ya5.15cm.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,所以其身高約為

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【名師點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取類比法，利用轉(zhuǎn)化

思想解題.

16.中國有個名句“運籌帷幄之中,決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指〈孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算

籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算.算籌的擺放形式有縱橫兩種形式.如圖，表

示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，

個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如用算籌表示就是

6613

1T—111，則用算籌表示為

11227

1234A67Kg

IiiiiimimuTnmnn俄式

—=三三三」?=!=上』

—代皿―

A.||——ITB.ii-n

c.|—II_LLD.I=IIJl_

【答案】B

【解析】由題意得千位的1用算籌表示為“一”.

故選B.

17.甲、乙、丙、丁四個人參加某項競賽，四人在成績公布前做出如下預測：

甲說：獲獎?wù)咴谝冶∪酥校?/p>

乙說：我不會獲獎，丙獲獎；

丙說：甲和丁中的一人獲獎；

丁說：乙猜測的是對的.

成績公布后表明，四人中有兩人的預測與結(jié)果相符，另外兩人的預測與結(jié)果不相符.己知倆人獲獎，則

獲獎的是

A.甲和丁B.甲和丙

C.乙和丙D.乙和丁

【答案】D

【解析】乙、丁的預測要么同時與結(jié)果相符，要么同時與結(jié)果不符，若乙、丁的預測成立，則甲、丙

的預測不成立，可知矛盾，故乙、丁的預測不成立，從而獲獎的是乙和丁，故選D.

【名師點睛】本題考查了邏輯推理能力，假設(shè)法是解決此類問題常用的方法.

18.甲乙丙丁四名同學參加某次過關(guān)考試，甲乙丙三個人分別去老師處問詢成績,老師給每個人只提供了其他

三人的成績.然后，甲說:我們四個人中至少兩人不過關(guān);乙說:我們四人中至多兩人不過關(guān);丙說:甲乙丁恰

好有一人過關(guān).假設(shè)他們說的都是真的,則下列結(jié)論正確的是

A.甲沒過關(guān)B.乙沒過關(guān)

C.丙過關(guān)D.丁過關(guān)

【答案】B

【解析】因為甲說:我們四人中至少兩人不過關(guān);乙說:我們四人中至多兩人不過關(guān);所以四人級有且只有

兩人過關(guān)，兩不過關(guān),又因為，丙說:甲乙丁恰好有一人過關(guān),不過關(guān)的情況有三種可能:甲乙、甲丁、乙丁，

根據(jù)甲不知道自己成績的情況下說四個人中至少兩人不過關(guān),可見乙丙丁中有兩人不過關(guān)，不過關(guān)的可

能的情況有三種:乙丙、丙丁、乙丁，結(jié)合以上六種情況，同時成立的是乙丁不過關(guān)，所以一定正確的結(jié)論

是乙沒過關(guān).

故選