2020-2021學年山西省陽泉市平定縣九年級第一學期期末數學試

卷

一、選擇題（每小題3分）

1.在平面直角坐標系中，點（-2,6）關于原點對稱的點坐標是（）

A.（-6,2）B.（2,-6）C.（2,6）D.（-2,-6）

2.下列四個圖形是word軟件中的自選圖形，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的

是（）

3.一元二次方程尤2-4x-1=0的根的情況是（）

A.沒有實數根B.只有一個實根

C.有兩個相等的實數D.有兩個不相等的實數根

4.對于反比例函數y=-巨，下列說法正確的是（）

x

A.點（1,5）在它的圖象上

B.它的圖象在第一、三象限

C.當x<0時，y隨x的增大而增大

D.當x>0時，y隨x的增大而減小

5.從如圖所示的撲克牌中任取一張，牌面數字是3的倍數的概率是（）

6.如圖，正六邊形48CDEF內接于連接AC,則NBAC的度數是（)

A.60°B.50°C.40°D.30°

7.如圖，DE//FG//BC,若DF=3FB,則EC與GC的關系是(

5

A.￡C=4GCB.EC=3GCC.EC=—GCD.EC=2GC

2

8.如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC中點8的坐標為(4,2),以坐標原點。為位

似中心，在第三象限內，將△ABC邊長放大2倍得到了B'。，則點8對應點8,

的坐標為()

A.(-4,-8)B.(-8,-4)C.(-6,-4)D.(8,4)

9.如圖，已知PA與。。相切于點4點B為。上一點，ZAOB=120°,過點8作

PA于點C,BC交于點D,連接A3.已知。4=2,則圖中陰影部分的面積是()

兀4兀

A.D口.2--兀---C.n

73-T

10.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（1,0）,B（4,0）,下列說法正確的

是（）

B.a-b+c>0

C.圖象的對稱軸是直線尤=2

D.圖象的對稱軸是直線尤奇

二、填空題（每小題3分，共15分.）

11.兩個相似多邊形的面積比是9：16,其中較小多邊形周長為36c%,則較大多邊形周長

為.

12.用16加長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，設圍成長方形的生物園的長為您"，則

圍成長方形的生物園的面積S（單位：機2）與X的函數表達式是.（不要求寫自變

量尤的取值范圍）

13.小明拋擲兩枚質地均勻的骰子（如圖，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數），兩枚

骰子朝上的點數和是7的概率是.

14.如圖，學校綜合實踐小組的種植園是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現要在中

間開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為627平方米，設小道的寬為x

米，則可列方程為

15.將邊長為2的正方形ABC。繞點C按順時針方向旋轉45°至【JBECG的位置(如圖)，

EF與AD相交于點H,則HD的長為.(結果保留根號)

三、解答題(本大題共個小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16.解方程:

(1)解方程：4x2-4.r-2=0；

(2)解方程：無(2%-5)—6x-15.

17.如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC的頂點的坐標分別是A(-5,2),8(-2,

4),C(-1,1).

(1)在圖中作出△ALBICI,使△ALBICI和△ABC關于無軸對稱；

(2)畫出將△A8C以點。為旋轉中心，順時針旋轉90°對應的AAzB2c2；

(3)直接寫出點8關于點C對稱點的坐標.

18.閱讀思考，并解答問題:

推測滑行距離與滑行時間的關系

一個滑雪者從山坡滑下，為了得出滑行距離S（單位：相）與滑行時間f（單位：S）之間

的關系式，測得的一些數據（如表）

滑行時間t/s01234

滑行距離04.51428.548

s/m

為觀察S與才之間的關系，建立坐標系（如圖），以/為橫坐標，S為縱坐標.

請解答以下問題：

（1）指出表中數據對應的5個點，并用平滑曲線連接它們.

（2）根據（1）曲線圖象，利用我們所學的函數，近似地表示s關于f的函數關系式（不

要求寫/的取值范圍）.

sm八.

50-

40-

30-

20-

10-

----------------------------------------->t/s

-1O1234

-10-

19.在平面直角坐標系中，直線y=Ax+b（女WO）與雙曲線y=㈣（相W0）相交于A,B兩

x

點，點A坐標為（3,2）,點5坐標為（九，-3）.

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）根據函數圖象直接寫出關于x的不等式依+6>旦的解集.

20.平定縣位于山西中部東側，是三晉東大門.境內山川秀麗，有著名旅游景區娘子關，有

名揚三晉的冠山古書院，建于秦長城一百年之前的固關長城，省級森林公園藥林寺等等,

這些都是人們周末游的好去處，小明計劃某個周末和妹妹一起去旅游，他收集了如圖所

示四個景點的卡片，卡片分別用MG,C,y表示，卡片大小、形狀及背面完全相同，

通過游戲規則，選擇景點，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求下列隨機事件的概率：

(1)若選擇其中一個景點，游戲規則：把這四張圖片背面朝上洗勻后，妹妹從中隨機抽

取一張，作好記錄后，將圖片放回洗勻，哥哥再抽取一張，求兩人抽到同一景點的概率;

(2)若選擇其中兩個景點，游戲規則：把這四張圖片背面朝上洗勻后，妹妹和哥哥從中

各隨機抽取一張(不放回).求兩人抽到娘子關和固關長城的概率.

，娘子關G-冠山C?固關長城丫?藥林寺

21.如圖，己知是。。的直徑，OOLA8于點O,CD是OO的切線，切點為C,連接

AC,交。。于點E.

(1)求證：ZDCE=ZDEC；

(2)若48=17,AC=15,求AE的長.

22.問題情境：

如圖1,己知點。是正方形ABC。的中心，以點。為直角頂點的直角三角形。所的兩邊

OE,OF分別過點B,C,S.OF=OC,ZE=30°,BC=2.

(1)0c的長度為;

操作證明：

(2)如圖2,將△OEF繞點。按順時針方向旋轉，若。E,。尸分別與A3,8C相交于

點M,N.請判斷和ON有怎樣的數量關系，并證明結論；

探究發現：

(3)如圖3,將△OEF繞點。按順時針方向旋轉，若點B恰好在EF上，求/ONB的度

數.

23.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=N-4x+3與x軸交于A,8兩點，點A在

點2的左側，與y軸交于點C,其頂點為點。，點E的坐標為(0,得)，該拋物線與

BE交于另一點F,連接BC.

(1)求點A,B,C的坐標；

(2)動點〃從點。出發，沿拋物線對稱軸方向向下以每秒1個單位的速度運動，運動

時間為3連接?！ǎ珺M,當/為何值時，為等腰三角形？

(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在點P,使得歹被8A平分？若存在，請求出

點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（共10小題）.

1.在平面直角坐標系中，點（-2,6）關于原點對稱的點坐標是（）

A.（-6,2）B.（2,-6）C.（2,6）D.（-2,-6）

解：點（-2,6）關于原點對稱的點坐標是（2,-6）,

故選：B.

2.下列四個圖形是軟件中的自選圖形，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的

是（）

A弋B-（E）C

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：C.

3.一元二次方程x2-4x-1=0的根的情況是（）

A.沒有實數根B.只有一個實根

C.有兩個相等的實數D.有兩個不相等的實數根

【分析】先計算出根的判別式△的值，根據△的值就可以判斷根的情況.

解：*/△=（-4）2-4XlX（-1）=20>0,

.?.方程有兩個不相等的實數根.

故選：D.

4.對于反比例函數y=下列說法正確的是（）

x

A.點（1,5）在它的圖象上

B.它的圖象在第一、三象限

C.當x<0時，y隨x的增大而增大

D.當x>0時，y隨x的增大而減小

【分析】利用反比例函數的性質分別判斷后即可確定正確的選項.

解：4把（1,5）代入得：左邊#右邊，故A選項錯誤，不符合題意;

B、左=-5<0,圖象在第二、四象限，故B選項錯誤，不符合題意；

C、當x<0時，y隨著龍的增大而增大，故C選項正確，符合題意；

D、當x>0時，y隨著x的增大而增大，故。選項錯誤，不符合題意;

故選：C.

5.從如圖所示的撲克牌中任取一張，牌面數字是3的倍數的概率是（）

【分析】根據概率公式直接計算即可解答.

解：（1）從中隨機抽出一張牌，牌面所有可能出現的結果有4種，且它們出現的可能性

相等，其中出現3的倍數的情況有1種,

：.P（牌面是3的倍數）=5；

4

故選：A.

6.如圖，正六邊形ABCOEF內接于。0,連接AC,則NBAC的度數是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【分析】根據正六邊形的性質即可得到結論.

解：連接8。、CO,

在正六邊形A8CAEF中，ZBOC=——=60°,

6

/.ZBAC=—ZBOC=30°,

2

故選：D.

D

7.如圖，DE//FG//BC,若DF=3FB,則EC與GC的關系是（）

5

A.￡C=4GCB.EC=3GCC.EC=—GCD.EC=2GC

2

【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，得到EG=3GC,進而得出結論.

解：'.,DE//FG//BC,DF=3FB,

.EG_DF_.

??3，

GCFB

：.EG=3GC,

；.EC=4GC,

故選：A.

8.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC中點3的坐標為（4,2）,以坐標原點。為位

似中心，在第三象限內，將△ABC邊長放大2倍得到了AA'B'C',則點8對應點夕

的坐標為（）

A.(-4,-8)B.(-8,-4)C.(-6,-4)D.(8,4)

【分析】根據在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為左，那

么位似圖形對應點的坐標的比等于上或-k,即可求得答案.

解：「△ABC中點2的坐標為(4,2),以坐標原點。為位似中心，在第三象限內，將

△ABC邊長放大2倍得到了AA'B'C,

...點B對應點的坐標為：[4X(-2),2X(-2)]§P(-8,-4).

故選：B.

9.如圖，已知E4與。。相切于點A,點B為。上一點，ZAOB=120°,過點2作

PA于點C,8C交。。于點。，連接A艮已知OA=2,則圖中陰影部分的面積是()

【分析】連接0D,求出NAOD=N8OD=60°,由于點。和點A到BD的距離相等,

△ABD的面積與△08。的面積相同，從而可知陰影部分面積為扇形OBD的面積.

：尸4為。。的切線,

：.0A±PA,

'：BC±PA,

：.ZOAP=ZBCA=90°,

J.OA//BC,

NAOB+NOBC=180°,

VZAOB=120°,

./OBC=60°,

?：OB=OD,

???△08。是等邊三角形,

：.ZBOD=60°,

?：0A〃BC,

?,?點0和點A到BD的距離相等,

??S/\ABD=S/\OBD9

:?S陰影=S扇形08。，

_60KX42_

.“彭—一痂—w兀

故選：B.

10.如圖，二次函數y=oN+Z?x+c的圖象經過點A(1,0),B(4,0)下列說法正確的

是()

B.a-b+c>0

C.圖象的對稱軸是直線x=2

D.圖象的對稱軸是直線x="|

【分析】由二次函數的圖象與x軸有兩個交點可判斷A,由x=-1,ya-b+c,此時(-

1,a-b+c)在第三象限，可判斷8,由圖象經過A(1,0)\、B(4,))可求解對稱軸,

可判斷C、D,從而可得答案.

解：二?二次函數的圖象經過點A(1,0),B(4,0),

b2-4〃c>0,故A錯誤；

當x=-1時，y—a-Z?+c,

由函數圖象可得(-1,a-b+c)在第三象限，

?'?a-b+c<0,故B不符合題意;

二?二次函數y=aN+Z?x+c的圖象經過點A(1,0),B(4,0),

???圖象的對稱軸是直線X=2把士，故C不符合題意，。符合題意.

22

故選：D.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分.把答案寫在題中橫線上）

11.兩個相似多邊形的面積比是9：16,其中較小多邊形周長為36%則較大多邊形周長

為48C〃7..

【分析】根據相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的

平方計算即可.

解：兩個相似多邊形的面積比是9：16,

面積比是周長比的平方，

則大多邊形與小多邊形的相似比是4：3.

相似多邊形周長的比等于相似比，

因而設大多邊形的周長為xcm,

解得：尤=48.

大多邊形的周長為48c：”.

故答案為48cm.

12.用16加長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，設圍成長方形的生物園的長為》"，則

圍成長方形的生物園的面積S（單位：加2）與天的函數表達式是S=-/+8x.（不要

求寫自變量x的取值范圍）

【分析】直接利用長方形面積求法得出函數關系式.

解：?..圍成長方形的生物園的長為初J,則長方形的生物園的寬為（8-X）777,

...圍成長方形的生物園的面積S（單位：加9與X的函數表達式是：

S=x（8-尤）=-N+8X.

故答案為：S=-/+8尤.

13.小明拋擲兩枚質地均勻的骰子（如圖，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數），兩枚

骰子朝上的點數和是7的概率是《.

一6一

【分析】畫出樹狀圖，共有36個等可能的結果數，其中兩枚骰子朝上的點數和是7的結

果數為6個，再由概率公式求解即可.

解：畫樹狀圖為：

開始

123456123456123456123456123456123456

和234567345678456789567891067891011789101112

共有36個等可能的結果數，其中兩枚骰子朝上的點數和是7的結果數為6個，

兩枚骰子朝上的點數和是7的概率為占=當，

366

故答案為：4--

0

14.如圖，學校綜合實踐小組的種植園是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現要在中

間開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為627平方米，設小道的寬為x

米，則可列方程為（35-2x）（20-x）=627（或2爐-75x+73=0）.

【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個矩形，根據種植

的面積為627列出方程即可.

解：把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊可得矩形的長為（35-2無）米，寬為（20-尤）

米，

，可列方程為（35-2無）（20-x）=627（或2N-75x+73=0）,

故答案為（35-2x）（20-無）=627（或2/-75x+73=0）.

15.將邊長為2的正方形ABC。繞點C按順時針方向旋轉45°到EECG的位置（如圖），

EF與AD相交于點H,則HD的長為2、萬-2.（結果保留根號）

【分析】先根據正方形的性質得到CD=2,ZCDA=9Q0,再利用旋轉的性質得CF=

2加,根據正方形的性質得NC/芯=45°,則可判斷△。阿為等腰直角三角形，從而計

算CF-C。即可得出答案.

解：：四邊形ABC。為正方形，

：.CD=2,ZCDA=9Q°,

:邊長為1的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉到FECG的位置，使得點D落在對

角線CF±,

:.CF=2M，ZCFE=45°,

/.叢DFH為等腰直角三角形，

:.DH=DF=CF-CD=2近-2.

故答案為：

三、解答題(本大題共個小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16.解方程;

(1)解方程：4x2-4.r-2=0；

(2)解方程：x(2x-5)—6x-15.

【分析】(1)方程利用公式法求出解即可；

(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

解：(1)這里。=4,b=-4,c=-2,

?"2-4ac=16+32=48>0,

_4±473

??A,

8_

解得：的=生巨，血=上正；

22

(2)方程移項得：x(2%-5)-6x+15=0,

方程整理得：x(2x-5)-3(2x-5)=0,

分解因式得：(2x-5)(x-3)=0,

可得2%-5=0或％-3=0,

解得：Xi=3,X2=y.

17.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點的坐標分別是A(-5,2),2(-2,

4),C(-1,1).

(1)在圖中作出△4B1G,使和△A8C關于無軸對稱；

(2)畫出將AABC以點。為旋轉中心，順時針旋轉90°對應的△AzB2c2；

(3)直接寫出點2關于點C對稱點的坐標.

【分析】(1)根據軸對稱性質即可在圖中作出△AbBiG,使△4B1C1和△ABC關于x軸

對稱；

(2)根據旋轉的性質即可畫出將△ABC以點。為旋轉中心，順時針旋轉90°對應的△

A2B2c2；

(3)根據3(-2,4),C(-1,1).即可寫出點3關于點C對稱點的坐標.

解：(1)如圖，△481G即為所求；

（2）如圖，282c2即為所求；

（3）點8關于點C對稱點的坐標為（0,-2）.

18.閱讀思考，并解答問題：

推測滑行距離與滑行時間的關系

一個滑雪者從山坡滑下，為了得出滑行距離s（單位：加）與滑行時間f（單位：s）之間

的關系式，測得的一些數據（如表）

滑行時間tls01234

滑行距離04.51428.548

slm

為觀察s與t之間的關系，建立坐標系（如圖），以f為橫坐標，s為縱坐標.

請解答以下問題：

（1）指出表中數據對應的5個點，并用平滑曲線連接它們.

（2）根據（1）曲線圖象，利用我們所學的函數，近似地表示s關于f的函數關系式（不

要求寫/的取值范圍）.

s.m.八

50-

40-

30-

20-

10-

--------------------------->tfs

-1O1234

-10■

【分析】(1)描點，連線，畫出函數圖象，

(2)由圖象可得出s與t的關系可近似看成二次函數，再根據點的坐標利用待定系數法

求出二次函數關系式即可.

(2)觀察函數圖象，S與r的關系可近似看成二次函數，

設S關于/的函數關系式為S=at2+bt,

將(1,4.5)(2,14)代入$=請+從,得

(a+b=4.5

l4a+2b=14,

解得：a^2,

,b=2

...近似地表示s關于t的函數關系式為s=^t2+2t.

19.在平面直角坐標系中，直線y=br+6(20)與雙曲線了=螞(〃zWO)相交于A,B兩

x

點，點A坐標為(3,2)，點B坐標為(n,-3).

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；

(2)根據函數圖象直接寫出關于x的不等式依+6>螞的解集.

【分析】(1)把點A(3,2)、點B(n,-3)代入y=—(m^O),即可求得m、n

x

的值；

(2)由函數的圖象即可求得.

解：(1)???雙曲線丁=典(mWO)過點A(3,2),

x

*.m=3X2=6,

..反比例函數表達式為y=旦，

X

;點B-3)在反比例函數y=2的圖象上,

X

\n--2,

\B(-2,-3).

.?點A(3,2)與點、B(-2,-3)在直線上,

梵，解得k=l

b=-f

..一次函數表達式為y=x-1；

(2)由圖像可知，關于x的不等式依+b＞處的解集是-2＜尤＜0或x＞3.

x

20.平定縣位于山西中部東側，是三晉東大門.境內山川秀麗，有著名旅游景區娘子關，有

名揚三晉的冠山古書院，建于秦長城一百年之前的固關長城，省級森林公園藥林寺等等,

這些都是人們周末游的好去處，小明計劃某個周末和妹妹一起去旅游，他收集了如圖所

示四個景點的卡片，卡片分別用MG,C,y表示，卡片大小、形狀及背面完全相同，

通過游戲規則，選擇景點，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求下列隨機事件的概率：

(1)若選擇其中一個景點，游戲規則：把這四張圖片背面朝上洗勻后，妹妹從中隨機抽

取一張，作好記錄后，將圖片放回洗勻，哥哥再抽取一張，求兩人抽到同一景點的概率;

（2）若選擇其中兩個景點，游戲規則：把這四張圖片背面朝上洗勻后，妹妹和哥哥從中

各隨機抽取一張（不放回）.求兩人抽到娘子關和固關長城的概率.

'娘子關G-冠山C?固關長城丫?藥林寺

【分析】（1）畫樹狀圖，共有16個等可能的結果，其中兩人抽到同一景點的結果有4

個，則由概率公式求解即可；

（2）畫樹狀圖，共有12個等可能的結果，其中兩人抽到娘子關和固關長城的結果有2

個，則由概率公式求解即可.

解：（1）畫樹狀圖如圖：

一開始、

NGCY

人

WNGCYNGCYNGCYNGCY

共有16個等可能的結果，其中兩人抽到同一景點的結果有4個，

兩人抽到同一景點的概率為冬=1;

164

（2）畫樹狀圖如圖：

開始

NGCY

/T\/1\ZN/1\

WGCYNCYNGYNGC

共有12個等可能的結果，其中兩人抽到娘子關和固關長城的有2個，

兩人抽到娘子關和固關長城的概率為3=《.

126

21.如圖，已知A8是。。的直徑，于點。，C￡）是O。的切線，切點為C,連接

AC,交0D于點、E.

（1）求證：ZDCE=ZDEC；

(2)若AB=17,AC=15,求AE的長.

【分析】（1）首先連接0C,由C。是OO的切線，切點為C可得OC_LC。，又由。0

LAB,根據等角的余角相等，可證得：ZDCE=ZDEC；

（2）易證得△AEOS/XABC,然后根據相似三角形的對應邊成比例，求得A5的長即可.

【解答】（1）證明：連接

??,CD是。。的切線，切點為C

JOCLCD,

即NOCZ)=90°,

???OC=OAf

：.ZA=ZOCA,

9

：OD±ABf

：.ZDEC=NAEO=90°-NA,

VZDCE=90°-ZOCA,

???ZDCE=/DEC；

(2)解：??,A3是。。的直徑，

AZACB=90°,

VAB=17,

2

VZAOE=ZACB,ZA=ZA,

：.￡\AEO^/\ABC,

AE_AO

AB'AC'

17

AE~T：

yrnr

289

：.AE

~30

22.問題情境:

如圖1,已知點。是正方形ABC。的中心，以點。為直角頂點的直角三角形OEP的兩邊

OE,。尸分別過點3,C,MOF=OC,ZE=30°,BC=2.

(1)OC的長度為

操作證明:

(2)如圖2,將△OEP繞點。按順時針方向旋轉，若OE,。/分別與AB,8C相交于

點、M,N.請判斷和ON有怎樣的數量關系，并證明結論；

探究發現：

(3)如圖3,將繞點。按順時針方向旋轉，若點8恰好在EF上，求/ONB的度

數.

【分析】(1)根據等腰直角三角形的性質和勾股定理解答；

(2)如圖2,連接03、0C,證明△20M四△CON,即可得出答案；

(3)根據題意可推出AOB尸為等邊三角形，可得/。8/=90°,再根據NOBC=45°,

可得NCBF=/OBF-ZOBC,繼而可求出/0N8=

解：(1)如圖1,

圖1

:點。是正方形ABC。的中心，ZBOC=90°,

：.OB=OC.

\'BC=2,

：.OB2+OC2=BC1,即2002=4.

；.OC=&.

故答案是：近.

(2)OM=ON,理由如下:

如圖2,連接。8、OC,

圖2

:點。是正方形ABCD的旋轉中心，

：.OB=OC,ZOBC=ZOCB=45°.

；/ABC=NBCD=90°,

：./OBM=/OCN=45°.

由旋轉的性質，可得NMOB=NNOC.

在△BOM與△CON中，