2019年江蘇省徐州市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分，在每小題所給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置）

1.（3分）（2019?徐州）-2的倒數是（）

A.-LB.1C.2D.-2

22

【考點】17：倒數.

【分析】根據乘積是1的兩個數叫做互為倒數解答.

【解答】解：V（-2）X（-1）=1,

2

/.-2的倒數是-1.

2

故選：A.

【點評】本題考查了倒數的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵.

2.（3分）（2019?徐州）下列計算正確的是（）

A.a2+a2=a4B.（a+6）2=a2+b2

326

C.（/）3=/D.a'a=a

【考點】35：合并同類項；46：同底數塞的乘法；47：塞的乘方與積的乘方；4C：完全

平方公式.

【專題】512：整式.

【分析】分別根據合并同類項的法則、完全平方公式、塞的乘方以及同底數塞的乘法化

簡即可判斷.

【解答】解：A、a2+a2=2a2,故選項A不合題意；

B.（a+6）2—cT+2ab+b2,故選項8不合題意；

C.（a3）3=a9,故選項C符合題意；

D.cr'*a1—<r,,故選項。不合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了合并同類項的法則、募的運算法則以及完全平方公式，熟練掌

握法則是解答本題的關鍵.

3.（3分）（2019?徐州）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.2,2,4B.5,6,12C.5,7,2D.6,8,10

【考點】K6：三角形三邊關系.

【專題】552：三角形.

【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊可以判斷各個選項中的三天線段是否能組成三

角形，本題得以解決.

【解答】解：：2+2=4,，2,2,4不能組成三角形，故選項A錯誤，

V5+6<12,/.5,6,12不能組成三角形,故選項B錯誤，

：5+2=7,；.5,7,2不能組成三角形，故選項C錯誤，

V6+8>10,：.6,8,10能組成三角形，故選項。正確，

故選：D.

【點評】本題考查三角形三邊關系，解答本題的關鍵是明確三角形兩邊之和大于第三邊.

4.（3分）（2019?徐州）拋擲一枚質地均勻的硬幣2000次,正面朝上的次數最有可能為（）

A.500B.800C.1000D.1200

【考點】XI：隨機事件.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】由拋擲一枚硬幣正面向上的可能性為0.5求解可得.

【解答】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣2000次，正面朝上的次數最有可能為1000次，

故選：C.

【點評】本題主要考查隨機事件，關鍵是理解必然事件為一定會發生的事件；解決此類

問題，要學會關注身邊的事物，并用數學的思想和方法去分析、看待、解決問題，提高

自身的數學素養.

5.（3分）（2019?徐州）某小組7名學生的中考體育分數如下：37,40,39,37,40,38,

40,該組數據的眾數、中位數分別為（）

A.40,37B.40,39C.39,40D.40,38

【考點】W4：中位數；W5：眾數.

【專題】542：統計的應用.

【分析】根據眾數和中位數的概念求解可得.

【解答】解：將數據重新排列為37,37,38,39,40,40,40,

所以這組數據的眾數為40,中位數為39,

故選：B.

【點評】本題考查了中位數和眾數的概念，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；

將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于

中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的

平均數就是這組數據的中位數.

【考點】P3：軸對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】根據軸對稱圖形的概念求解可得.

【解答】解：

不是軸對稱圖形，

故選：D.

【點評】本題主要考查軸對稱圖形，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的概念：如果一個圖

形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直

線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱.

7.（3分）（2019?徐州）若A（xi,yi）、B（x2,”）都在函數>=①曳的圖象上，且xi<0

X

<X2,貝！！（）

A.yi<y2B.yi=y2C.yi>y2D.yi=-y2

【考點】G6：反比例函數圖象上點的坐標特征.

【專題】534：反比例函數及其應用.

【分析】根據題意和反比例函數的性質可以解答本題.

【解答】解：.函數y=亞2,

X

???該函數圖象在第一、三象限、在每個象限內y隨X的增大而減小，

VA（xi,yi）、B（X2,"）都在函數y=2019的圖象上,且

＜丁2,

故選：A.

【點評】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用

反比例函數的性質解答.

8.（3分）（2019?徐州）如圖，數軸上有。、A、B三點，。為原點，。4、08分別表示仙

女座星系、M87黑洞與地球的距離（單位：光年）.下列選項中，與點8表示的數最為接

近的是（）

°AB

-------1—.------------------------------------------------------------------------?―?

02.5X106

A.5X106B.107C.5X107D.108

【考點】13：數軸；H：科學記數法一表示較大的數.

【專題】511：實數.

【分析】先化簡2.5X106=0.25X107,再從選項中分析即可；

【解答】解：2.5X106=0.25X107,

（5X107）4-（0.25X107）=20,

從數軸看比較接近；

故選：C.

【點評】本題考查數軸，科學記數法；能夠將數進行適當的表示，結合數軸解題是關鍵.

二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請將答案直

接填寫在答題卡相應位置）

9.（3分）（2019?徐州）8的立方根是2.

【考點】24：立方根.

【專題】11：計算題.

【分析】利用立方根的定義計算即可得到結果.

【解答】解：8的立方根為2,

故答案為：2.

【點評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關鍵.

10.（3分）（2019?徐州）使47T有意義的x的取值范圍是x2-1.

【考點】72：二次根式有意義的條件.

【專題】17：推理填空題.

【分析】根據二次根式中的被開方數必須是非負數，可得無+1\0,據此求出尤的取值范

圍即可.

【解答】解：有意義，

.??X的取值范圍是:尤2-1.

故答案為：X2-1.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明

確：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義.

11.（3分）（2019?徐州）方程4=0的解是±2.

【考點】A5：解■元二次方程-直接開平方法.

【分析】首先把4移項，再利用直接開平方法解方程即可.

【解答】解：?-4=0,

移項得：/=4,

兩邊直接開平方得：x=±2,

故答案為：±2.

【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未

知數的項移到等號的左邊，把常數項移項等號的右邊，化成/=aQ20）的形式，利用

數的開方直接求解.（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：

ax1=b（a,b同號且aWO）；（x+a）2=b（620）；a（x+b）2=c（a,c同號且aWO）.法

貝U：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1,再開平方取正負，分開求得方程

解”.（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點.

12.（3分）（2019?徐州）若a=6+2,則代數式丁-2詔+廬的值為4.

【考點】4C：完全平方公式.

【專題】512：整式.

【分析】由。=6+2,可得a-b=2,代入所求代數式即可.

【解答】解：'：a=b+2,

??ci-

-2ab+?=（a-Z?）2=22=4.

故答案為：4

【點評】本題主要考查了完全平方公式，熟記公式是解答本題的關鍵.

13.（3分）（2019?徐州）如圖，矩形A3CD中，AC.BD交于點O,M.N分別為BC、0C

的中點.若MN=4,則AC的長為16

【考點】KX：三角形中位線定理；LB：矩形的性質.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】根據中位線的性質求出B0長度，再依據矩形的性質AC=BD=2B0進行求解

問題.

【解答】解：；加、N分別為8C、0c的中點，

：.BO=2MN=8.

:四邊形ABC。是矩形，

：.AC=BD=2BO=16.

故答案為16.

【點評】本題主要考查了矩形的性質以及三角形中位線的定理，解題的關鍵是找到線段

間的倍分關系.

14.（3分）（2019?徐州）如圖，A、B、C、O為一個外角為40°的正多邊形的頂點.若。

為正多邊形的中心，則NOW=30°.

【考點】L3：多邊形內角與外角.

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】連接。8、OC,利用任意凸多邊形的外角和均為360。，正多邊形的每個外角相

等即可求出多邊形的邊數，再根據多邊形的內角和公式計算即可.

【解答】解：連接OB、OC,

D

7

KB

多邊形的每個外角相等，且其和為360°,

據此可得多邊形的邊數為：塾二=9，

40

ZAOB=36Q°-40°,

ZAOD=40°X3=120°.

??./OW=180。；/AOD=3O°.

故答案為：30°

【點評】本題主要考查了正多邊形的外角以及內角，熟記公式是解答本題的關鍵.

15.（3分）（2019?徐州）如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓

錐的底面圓的半徑r=2c?i,扇形的圓心角6=120°,則該圓錐的母線長/為6cm.

【考點】MP：圓錐的計算.

【分析】易得圓錐的底面周長，也就是側面展開圖的弧長，進而利用弧長公式即可求得

圓錐的母線長.

【解答】解：圓錐的底面周長=2TTX2=4ITC",

設圓錐的母線長為凡貝1|：12071XR=4TT,

180

解得R=6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的側面展開圖的弧長等于底面

周長；弧長公式為：亞二.

180

16.（3分）（2019?徐州）如圖，無人機于空中A處測得某建筑頂部8處的仰角為45°,測

得該建筑底部C處的俯角為17°.若無人機的飛行高度AD為62m,則該建筑的高度BC

為262m.

（參考數據：sinl7°心0.29,cosl7°?0.96,tanl7°心0.31）

B

DC

【考點】TA：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】作于E,根據正切的定義求出AE,根據等腰直角三角形的性質求出BE,

結合圖形計算即可.

【解答】解：作于E,

則四邊形AOCE為矩形，

：.EC=AD=62,

在RtzMEC中，tan/EAC=段，

AE

則AE=——熨——七_§Z_=200,

tanZEAC0.31

在RtzXAEB中，/BAE=45°,

：.BE=AE=200,

ABC=200+62=262(m),

則該建筑的高度BC為262%

故答案為：262.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

17.（3分）（2019?徐州）已知二次函數的圖象經過點尸（2,2）,頂點為。（0,0）將該圖

象向右平移，當它再次經過點尸時，所得拋物線的函數表達式為」三［（x-4）2.

2

【考點】H3：二次函數的性質；H5：二次函數圖象上點的坐標特征；H6：二次函數圖象

與幾何變換.

【專題】535：二次函數圖象及其性質.

【分析】設原來的拋物線解析式為：利用待定系數法確定函數關系式；然后利

用平移規律得到平移后的解析式，將點P的坐標代入即可.

【解答】解：設原來的拋物線解析式為：y=/QW0）.

把P（2,2）代入，得2=4a,

解得

2

故原來的拋物線解析式是：

2

設平移后的拋物線解析式為：y=L（x-b）2.

2

把P（2,2）代入，得2=1（2-b）2.

2

解得b=0（舍去）或6=4.

所以平移后拋物線的解析式是：y=L（x-4）2.

2

故答案是：y=L（x-4）2.

2

【點評】考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標

特征.利用待定系數法確定原來函數關系式是解題的關鍵.

18.（3分）（2019?徐州）函數y=x+l的圖象與無軸、y軸分別交于A、B兩點，點C在x

軸上.若△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C共有4個.

【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征；KI：等腰三角形的判定.

【專題】533：一次函數及其應用；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】三角形48c的找法如下：①以點A為圓心，A8為半徑作圓，與無軸交點即為

C；②以點8為圓心，AB為半徑作圓，與無軸交點即為C；③作的中垂線與無軸的

交點即為C;

【解答】解以點A為圓心，AB為半徑作圓，與無軸交點即為C；

以點B為圓心，為半徑作圓，與無軸交點即為C；

作AB的中垂線與x軸的交點即為C；

故答案為4；

【點評】本題考查一次函數的圖象上點的特征，等腰三角形的性質；掌握利用兩圓一線

找等腰三角形的方法是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共有10小題，共86分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出

文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（10分）（2019?徐州）計算：

（1）71°-兩（-1）一2-|一5|;

3

（2）X2-16^2X-8

x+44x

【考點】2C：實數的運算；6A：分式的乘除法；6E：零指數幕；6F：負整數指數幕.

【專題】11：計算題；513：分式.

【分析】（1）先計算零指數累、算術平方根、負整數指數塞和絕對值，再計算加減可得;

（2）先化簡各分式，再將除法轉化為乘法，繼而約分即可得.

【解答】解：（1）原式=1-3+9-5=2；

（2）原式=&+4）（x-4）+2（x-4）

x+44x

=（x-4）?

x-4

=2x.

【點評】本題主要考查分式的乘除法，解題的關鍵是掌握分式的乘除運算順序和運算法

貝lj.

20.（10分）（2019?徐州）（1）解方程：三2+l=^L

x-33-x

（2）解不等式組：乙

?2x+l》5x-5

【考點】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式組.

【專題】522：分式方程及應用；524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】（1）兩邊同時乘以尤-3,整理后可得x=上；

2

（2）不等式組的每個不等式解集為卜

[x<2

【解答】解：（1）三2+1=2,

x-33-x

兩邊同時乘以3,得

x-2+x-3=-2,

2

經檢驗X=旦是原方程的根；

2

,八百（3x>2x-2-rzp,fx>-2

（2）由I可得I,

12x+l>5x-51x42

，不等式的解為-2<xW2；

【點評】本題考查分式方程，不等式組的解；掌握分式方程和不等式組的解法是關鍵.

21.（7分）（2019?徐州）如圖，甲、乙兩個轉盤分別被分成了3等份與4等份，每份內均

標有數字.分別旋轉這兩個轉盤，將轉盤停止后指針所指區域內的兩數相乘.

（1）請將所有可能出現的結果填入下表：

乙1234

積

甲

1]234

22468

336912

（）積為的概率為工；積為偶數的概率為

29-2-,.

123

（3）從1?12這12個整數中，隨機選取1個整數，該數不是（1）中所填數字的概率為

3~'

【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】（1）計算所取兩數的乘積即可得；

（2）找到符合條件的結果數，再根據概率公式計算可得;

（3）利用概率公式計算可得.

【解答】解：（1）補全表格如下：

1234

11234

22468

336912

（2）由表知，共有12種等可能結果，其中積為9的有1種，積為偶數的有8種結果，

所以積為9的概率為工；積為偶數的概率為2=2,

12123

故答案為：2.

123

（3）從1?12這12個整數中，隨機選取1個整數，該數不是（1）中所填數字的有5、7、

10、11這4種，

二此事件的概率為且=工，

123

故答案為：1.

3

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所

有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用

到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

22.（7分）（2019?徐州）某戶居民2018年的電費支出情況（每2個月繳費1次）如圖所示:

電要支出條形統計圖電費支出分布扇形統計圖

電斐（元）

0；-20n月5-6啟7-8月9-10月指

根據以上信息，解答下列問題：

（1）求扇形統計圖中“9-10月”對應扇形的圓心角度數；

（2）補全條形統計圖.

【考點】VB：扇形統計圖；VC：條形統計圖.

【專題】27：圖表型；542：統計的應用；65：數據分析觀念.

【分析】（1）從條形統計圖中可得3-4月份電費240元，從扇形統計圖中可知3-4月

份電費占全年的10%,可求全年的電費，進而求出9-10月份電費所占的百分比，然后

就能求出9-10月份對應扇形的圓心角的度數；

（2）全年的總電費減去其它月份的電費可求出7-8月份的電費金額，確定直條畫多高,

再進行補全統計圖.

【解答】解：（1）全年的總電費為：240?10%=2400元

9-10月份所占比：280+2400=1-,

，扇形統計圖中“9-10月”對應扇形的圓心角度數為：360°X_Z_=42°

答：扇形統計圖中“9-10月”對應扇形的圓心角度數是42°

（2）7-8月份的電費為：2400-300-240-350-280-330=900元,

補全的統計圖如圖：

電要支出條形統計圖電費支出扇形統計圖

電斐（元）

。；-20乜月5-6啟7-8后9-10月;1一1指

【點評】考查條形統計圖、扇形統計圖的特點及反應數據的變化特征，兩個統計圖聯系

在一起，可以發現數據之間關系，求出在某個統計圖中缺少的數據.

23.（8分）（2019?徐州）如圖，將平行四邊形紙片ABC。沿一條直線折疊，使點A與點C

重合，點。落在點G處，折痕為EE求證：

⑴ZECB=ZFCG；

（2）AEBC^AFGC.

Bc----------------------

【考點】KB：全等三角形的判定；L5：平行四邊形的性質；PB：翻折變換（折疊問題）.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】（1）依據平行四邊形的性質，即可得到由折疊可得，ZA=ZECG,

即可得到/ECB=NPCG；

（2）依據平行四邊形的性質，即可得出AD=BC,由折疊可得，ND=/G,

AD=CG,即可得到/B=/G,BC=CG,進而得出△EBCg△人?（7.

【解答】證明：（1）,??四邊形ABCD是平行四邊形，

ZA=ZBCD,

由折疊可得，ZA^ZECG,

：.ZBCD=ZECG,

，ZBCD-ZECF=/ECG-ZECF,

:./ECB=NFCG；

（2）???四邊形A8C￡）是平行四邊形,

；./D=/B,AD=BC,

由折疊可得，ZD=ZG,AD=CG,

:./B=/G,BC=CG,

又,：NECB=/FCG,

:.LEBC沿4FGCCASA）.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對

角相等；平行四邊形的對角線互相平分.

24.（8分）（2019?徐州）如圖，為。。的直徑，C為O。上一點，。為黃的中點.過點

。作直線AC的垂線，垂足為E,連接OD

（1）求證：/A=NDOB；

（2）OE與OO有怎樣的位置關系？請說明理由.

【考點】M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系；M5：圓周角定理；MB：直線與

圓的位置關系.

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】⑴連接OC,由。為前的中點，得到而=而，根據圓周角定理即可得到結論;

（2）根據平行線的判定定理得到AE〃OD,根據平行線的性質得到。于是得到

結論.

【解答】（1）證明：連接0C,

為黃的中點，

?1?CD=BD-

:./BCD=M/BOD,

,：ZBAC=1-J/BOC,

：.ZA^ZDOB；

（2）解：DE與。0相切,

理由：:/A=/DOB,

J.AE//OD,

\'DE±AE,

J.ODLDE,

...DE與O。相切.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，熟練

掌握切線的判定定理是解題的關鍵.

25.（8分）（2019?徐州）如圖，有一塊矩形硬紙板，長30c7",寬20〃〃.在其四角各剪去

一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子.當剪去正

方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的側面積為200cm2?

【考點】AD：一元二次方程的應用.

【專題】34：方程思想；523：一元二次方程及應用.

【分析】設剪去正方形的邊長為雙切，則做成無蓋長方體盒子的底面長為（30-2x）cm,

寬為（20-2x）cm,高為尤CMJ,根據長方體盒子的側面積為200<7層，即可得出關于x的

一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論.

【解答】解：設剪去正方形的邊長為則做成無蓋長方體盒子的底面長為（30-2尤）

cm,寬為（20-2尤）cm,高為

依題意，得：2義[（30-2x）+（20-2x）]x=200,

整理，得：2/-25x+50=0,

解得：XI——,X2=10.

2

當x=10時，20-2x=0,不合題意，舍去.

答：當剪去正方形的邊長為昱機時，所得長方體盒子的側面積為200"?.

2

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

26.（8分）（2019?徐州）【閱讀理解】

用lOcmXZOon的矩形瓷磚，可拼得一些長度不同但寬度均為20c機的圖案.已知長度為

10。%、20cm>30c?t的所有圖案如下：

如圖，將小方格的邊長看作10c〃z,請在方格紙中畫出長度為40c機的所有圖案.

【歸納發現】

觀察以上結果，探究圖案個數與圖案長度之間的關系，將下表補充完整.

圖案的長度10c/n20cm30cm40c機5Qcm60cm

所有不同圖案的個數1235813

【考點】N4：作圖一應用與設計作圖.

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】根據已知條件作圖可知40c機時，所有圖案個數5個；猜想得到結論;

【解答】解：如圖

根據作圖可知40c時，所有圖案個數5個

50。機時，所有圖案個數8個；

60c機時，所有圖案個數13個；

故答案為5,8,13；

【點評】本題考查應用與設計作圖，規律探究；能夠根據條件作圖圖形，探索規律是解

題的關鍵.

27.（9分）（2019?徐州）如圖①，將南北向的中山路與東西向的北京路看成兩條直線，十

字路口記作點A.甲從中山路上點B出發，騎車向北勻速直行；與此同時，乙從點A出

發，沿北京路步行向東勻速直行.設出發無加力時，甲、乙兩人與點A的距離分別為

y2m.已知yi、K與尤之間的函數關系如圖②所示.

圖①圖②

（1）求甲、乙兩人的速度；

（2）當x取何值時，甲、乙兩人之間的距離最短？

【考點】FH：一次函數的應用.

【專題】11：計算題；33：函數思想.

【分析】（1）設甲、乙兩人的速度，并依題意寫出函數關系式，再根據圖②中函數圖象

交點列方程組求解；

(2)設甲、乙之間距離為d,由勾股定理可得/=(1200-240X)2+(80x)264000

(x-旦)2+144000,根據二次函數最值即可得出結論.

2

【解答】解：(1)設甲乙兩人的速度分別為am!min，bm/min，則：

圖①

1200-ax(0<x<5)

ax-1200(x>5)

y2=bx

由圖②知：x=3.75或7.5時，”=>2,...[12°℃75a=3.75b,解得：[a=240

l7.5a-1200=7.5blb=80

答：甲的速度為2405/機i",乙的速度為80m/加沅.

(2)設甲、乙之間距離為d,

貝|J/=(1200-240x)2+(80無)2

=64000(x-2)2+144000,

2

/.當x=2時，/的最小值為144000,即d的最小值為120后；

2一

答：當x=2時，甲、乙兩人之間的距離最短.

2

【點評】本題考查了函數圖象的讀圖識圖能力，正確理解圖象交點的含義，從圖象中發

現和獲取有用信息，提高分析問題、解決問題的能力.

28.(11分)(2019?徐州)如圖，平面直角坐標系中，。為原點，點A、8分別在y軸、x

軸的正半軸上.△AOB的兩條外角平分線交于點尸，尸在反比例函數＞=旦的圖象上.PA

x

的延長線交X軸于點C,PB的延長線交y軸于點。，連接CD

(1)求NP的度數及點P的坐標；

(2)求△OCD的面積；

(3)ZkAOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請說明理由.

【考點】GB：反比例函數綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】(1)如圖，作于M,PNLOB于N,PHLAB于H.利用全等三角形

的性質解決問題即可.

(2)設。4=mOB=b,則AM=AH=3-a,BN=BH=3-b,利用勾股定理求出a,b

之間的關系，求出0C,。。即可解決問題.

(3)設OA=a,OB=b,貝!JAAf=A”=3-a,BN=BH=3-b,可得A8=6-a-6,推

出。4+OB+A6=6,可得〃+。+{a2+匕2=6,利用基本不等式即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖，作PM_LQ4于PN10B于N,于

：.ZPMA=ZPHA=90°,

VZB4M=ZB4H,B4=B4,

(A4S),

:?PM=PH,NAPM=NAPH,

同理可證：ABPN咨ABPll,

:?PH=PN,NBPN=NBPH,

：.PM=PN,

VZPMO=ZMON=ZPNO=90°,

???四邊形PMON是矩形，

：.ZMPN=90°,

：./APB=NAPH+/BPH=L(ZMPH+ZNPH)=45°,

2

,:PM=PN,

:?可以假設尸(m,m),

VP(m,m)在＞=與上，

加=29,

Vm>0,

：.P(3,3).

(2)設OA=mOB=b,貝！!AM=AH=3-〃，BN=BH=3-b,

.,.AB=6-a-b,

VAB2=OA2+OB2,

tz2+/?2=(6-a-b)2,

可得ab=6a+6b-18,

/.3a+3b-9=Lb,

2

,:PM〃03

ACO=OA>

**PMAM，

???O—C一—，a,

33-a

；.oc=-包,同法可得O0=:北'，

3-a3-b

SACOD=OC?DO=—,-------------------=工------------=。-9ab——=%

22(3-a)(3-b)29-3a-3b+ab2_Xab+ab

解法二：證明△COPS2\PO￡),得0c?。。=。尸2=18,可求△C。。的面積等于9.

(3)設OA=a,OB=b,貝UAM=AH=3-。，BN=BH=3-b,

??A8=6~ci~hi

：.0AWB+AB=6,

,,a+b+?陵+匕2=6,

2蟲嬴/2abW6,

?'?Vab^3(2-V2)，

???"W54-36我，

S^AOB—^abW27-18%，

.'.△AOB的面積的最大值為27-18A/2.

【點評】本題屬于反比例函數綜合題，考查了反比例函數的應用，全等三角形的判定和

性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，基本不等式等知識，解題的關鍵是學會利

用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

考點卡片

1.數軸

(1)數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.

數軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

(2)數軸上的點：所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理

數.(一般取右方向為正方向，數軸上的點對應任意實數，包括無理數.)

(3)用數軸比較大小：一般來說，當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大.

2.倒數

(1)倒數：乘積是1的兩數互為倒數.

一般地，tz*—=1(aWO),就說a(aWO)的倒數是工.

aa

(2)方法指引：

①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉化為加法及相反數一

樣，非常重要.倒數是伴隨著除法運算而產生的.

②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而。沒有倒數，這與相反數不同.

【規律方法】求相反數、倒數的方法

求一個數的相反數求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“-”即可

求一個數的倒數求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一

求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數.

3.科學記數法一表示較大的數

(1)科學記數法：把一個大于10的數記成aX10〃的形式，其中a是整數數位只有一位的

數，〃是正整數，這種記數法叫做科學記數法.【科學記數法形式：aX10n,其中lWa<10,

”為正整數

(2)規律方法總結：

①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數

位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數小

②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

4.立方根

（1）定義：如果一個數的立方等于a,那么這個數叫做。的立方根或三次方根.這就是說,

如果無3=“，那么無叫做。的立方根.記作：圾.

（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0,負數的立方根是負數.即任意數都有立方根.

（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數.

注意：符號。3中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負

數都有唯一一個立方根.

【規律方法】平方根和立方根的性質

1.平方根的性質：正數。有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方

根.

2.立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數,

0的立方根是0.

5.實數的運算

（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.

（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

【規律方法】實數運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、塞的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根

式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

6.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數的代數項；字母和字母指數；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字

母和字母的指數不變.

7.同底數塞的乘法

（1）同底數幕的乘法法則：同底數哥相乘，底數不變，指數相加.

am*an=am+n（m,〃是正整數）

（2）推廣：am-an-aP=am+n+P（機，n,p都是正整數）

在應用同底數募的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25,（/.）3與（a2b2）

4,（x-y）2與（尤-y）3等；②。可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只

有相乘時才是底數不變，指數相加.

（3）概括整合：同底數哥的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵.在

運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數幕.

8.塞的乘方與積的乘方

（1）塞的乘方法則：底數不變，指數相乘.

（am）n=amnUn,w是正整數）

注意：①塞的乘方的底數指的是塞的底數；②性質中“指數相乘”指的是幕的指數與乘方

的指數相乘，這里注意與同底數塞的乘法中“指數相加”的區別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

（ab）附（”是正整數）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據

乘方的意義，計算出最后的結果.

9.完全平方公式

（1）完全平方公式：（。±匕）2=a2+2ab+b2.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

(2)完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數的和的平方；②右邊是一個三項式，

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算

符號相同.

(3)應用完全平方公式時，要注意：①公式中的0,6可是單項式，也可以是多項式；②

對形如兩數和(或差)的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩

項看做一項后，也可以用完全平方公式.

10.分式的乘除法

(1)分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.

(2)分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

(3)分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方.

(4)分式的乘、除、乘方混合運算.運算順序應先把各個分式進行乘方運算，再進行分式

的乘除運算，即“先乘方，再乘除”.

(5)規律方法總結：

①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行

因式分解，再約分.

②整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式.

③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴格按照由左到右的

順序進行運算，切不可打亂這個運算順序.

11.零指數嘉

零指數塞：a°=l(aWO)

由a"'+a"'=l,可推出/=1QW0)

注意：O°W1.

12.負整數指數事

負整數指數塞：aP^lapSO,p為正整數)

注意：①aWO；

②計算負整數指數累時，一定要根據負整數指數嘉的意義計算，避免出現(-3)-2=(-

3)X(-2)的錯誤.

③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數.

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

13.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如小（a20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數的取值范圍.二次根式中的被開方數是非負數.

（3）二次根式具有非負性.4QNO）是一個非負數.

學習要求：

能根據二次根式中的被開方數是非負數來確定二次根式被開方數中字母的取值范圍，并能利

用二次根式的非負性解決相關問題.

【規律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開

方數都必須是非負數.

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零.

14.解一元二次方程-直接開平方法

形如/=。或（nx+7〃）2=p（p\o）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成*=p的形式，那么可得x=土丘；

如果方程能化成（MX+7"）'p（p20）的形式，那么土、/工

注意：①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個非負數.

②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程.

③方法是根據平方根的意義開平方.

15.一元二次方程的應用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應用題中常見問題：

（1）數字問題：個位數為十位數是b,則這個兩位數表示為106+a.

（2）增長率問題：增長率=增長數量/原數量X100%.如：若原數是a,每次增長的百分率

為X,則第一次增長后為。（1+尤）；第二次增長后為a（1+x）2,即原數X（1+增長百分率）

2=后來數.

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程.③利用

相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方

程.

（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解.

【規律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、己知量以及它們之間的數量關系.

2.設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數.

3.歹！J：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

16.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論.

（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

17.解一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分.

解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到.

18.一次函數圖象上點的坐標特征

一次函數尸質+b,（20,且公b為常數）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-

K0）；與y軸的交點坐標是（0,b）.

直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y=fcc+b.

19.一次函數的應用

1、分段函數問題

分段函數是在不同區間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學合理，又要符合實際.

2、函數的