2023年高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數二滿足z(l-i)=2,其中i為虛數單位，貝lz—1=().

A.iB.-iC.1+zD.l-i

2.設全集U=R,集合4=&|尤2-3工-4>0},則a)A=()

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-4Sr<l}

3.若復數z滿足(I+3i)z=(l+i)2,則|z|=()

N亞R有CD.叵

A?------15?-----lx?

45~r5

4.已知函數〃x)=(lnax-D(x2+ox-4),若x>()時，恒成立，則實數"的值為()

A.ZeB.I

"&-2,J4-e

zt

5.已知復數4=6-81,z2=-i,則一()

Z2

A.8—6iB?8+6i(-8+6iD.-8-6i

4%

6.如圖所示，用一邊長為0的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為7的雞

蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()

<A>

XZ

,5/2+1

A.r

22

&-1

C.i

22

7.已知函數/(x)=cos2x+J^sin2x+l,則下列判斷錯誤的是()

A./(x)的最小正周期為萬B..f(x)的值域為

7T

C./(X)的圖象關于直線》=上對稱D./(幻的圖象關于點一?,0)對稱

6

kx,x>0

8.記/(x)=X-［幻其中㈤表示不大于x的最大整數g(x)=1八，若方程在/(%)=g(x)在[-5,5]有7個不

——,x<0

x

同的實數根，則實數〃的取值范圍()

,1]_]_]_]_

A.B.C.D.

6?5655ma554

9.設加，”是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若加//〃，mL/3,則〃，/?；

②若mHa,mH0,則。〃￡；③若加_La,nila,貝④若加〃a,mL/3,則a_L4；其中真命題的個

數為()

A.1B.2C.3D.4

10.已知i為虛數單位，復數二滿足Z-(l-i)=i,則復數二在復平面內對應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22

11.已知雙曲線=1(。>04>0)的右焦點為尸，若雙曲線。的一條漸近線的傾斜角為且點尸到該漸近

線的距離為6,則雙曲線C的實軸的長為

A.1B.2

4

0?竽

2

12.若雙曲線C：工—y2=i的一條漸近線方程為3x+2y=O,則/〃=()

m

4923

A.B.-C.一D.-

9432

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。「。2,過直線aa的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的表面積為

14.如圖，某地一天從6?14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin(Q)x+e)+。，則這段曲線的函數解析式為

771：

15.如圖，AB是圓。的直徑，弦BD,C4的延長線相交于點E,ER垂直84的延長線于點尸.求證:

AB-=BE-BD-AE-AC

16.已知集合A={1,4},3={弓一5,7}.若4<^3={4},則實數a的值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖所示的幾何體中，面底面ABCQ,四邊形AOEF為正方形，四邊形ABC。為梯形,

JT

AB//CD,NBAD=—,AB=AD^2CD=4,G為BF中點.

2

(1)證明：CG〃面ADEF；

(2)求二面角A—8/一。的余弦值.

2

18.(12分)設函數/(x)=|x-a|+|x+-|(a>0).

a

2

(1)若不等式/(x)-|x+一|%x的解集為{x降"，求實數a的值;

a

(2)證明：/(x)>272.

19.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，46人平面ABC,ABLAC,且AB=AC=A6=2.

G/】

曲

(1)求棱AR與8C所成的角的大小；

(2)在棱與G上確定一點P,使二面角P-AB-4的平面角的余弦值為竽.

20.(12分)為增強學生的法治觀念，營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學校開展了“憲法小衛士”

活動，并組織全校學生進行法律知識競賽.現從全校學生中隨機抽取50名學生，統計他們的競賽成績，已知這50名

學生的競賽成績均在［50,100］內，并得到如下的頻數分布表：

分數段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數51515123

(1)將競賽成績在［70,100］內定義為，，合格”，競賽成績在［50,70)內定義為“不合格”.請將下面的2/2列聯表補充完

整，并判斷是否有95%的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關？

合格不合格合計

高一新生12

非高一新生6

合計

(2)在(1)的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這5()名學生中抽取5名學生，再從這5名學生中隨

機抽取2名學生，求這2名學生競賽成績都合格的概率.

參考公式及數據：K2=----------叢㈣—---------,其中〃=a+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(/?+d)

2

P(K>k0)0.1000.05()0.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

21.(12分)隨著互聯網金融的不斷發展，很多互聯網公司推出余額增值服務產品和活期資金管理服務產品，如螞蟻

金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調查廣大市民理財產品的選擇情況，隨機抽

取1200名使用理財產品的市民，按照使用理財產品的情況統計得到如下頻數分布表：

分組頻數（單位：名）

使用“余額寶”X

使用“財富通”y

使用“京東小金庫”30

使用其他理財產品50

合計1200

已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.

（1）求頻數分布表中“，丁的值；

（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為2.8%,“財富通”的平均年化收益率為4.2%.若在1200名使用理財產

品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機選取

2人，假設這2人中每個人理財的資金有10000元，這2名市民2018年理財的利息總和為X,求X的分布列及數學

期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財產品“平均年化收益率為3%”即將100元錢存入某理財產

品，一年可以獲得3元利息.

22.（10分）如圖，四棱錐P—ABC。中，PAL底面ABC。，ABYAD,點E在線段上，且CEHAB.

（2）若Q4=AB=1，AD=3,CD=6，NCD4=45°,求二面角P-CE-3的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

先化簡求出z,即可求得答案.

【詳解】

因為z(l—i)=2,

2_2(1+z)_2(1+7)

所以z==l+z

1^7"-2

所以z—l=l+i—l=i

故選：A

【點睛】

此題考查復數的基本運算，注意計算的準確度，屬于簡單題目.

2.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得&A

【詳解】

由f-BxTWxTNx+l)>。，解得X<—1或x〉4.

因為A={x|x<—1或x>4},所以3bA={x|-14x<4}.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎題.

3.D

【解析】

先化簡得z=1+gi,再求|z|得解.

【詳解】

2i2i(l-3i)31.

z=----=---------=---1--1

l+3i1055'

所以|z|=半.

故選：D

【點睛】

本題主要考查復數的運算和模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4.D

【解析】

通過分析函數y=lnax-l（x>0）與y=x2+ar-4（x>0）的圖象，得到兩函數必須有相同的零點f,解方程組

In"-1=0

即得解.

礦+at—4—0

因為x>0時，/（力2。恒成立,

于是兩函數必須有相同的零點乙

Inar-1=0

所以《

a2+at-4=Q

at=4-t2=e>

解得"忌，

故選：D

【點睛】

本題主要考查函數的圖象的綜合應用和函數的零點問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解

掌握水平.

5.B

【解析】

分析：利用/=_］的恒等式，將分子、分母同時乘以i,化簡整理得五=8+6i

Z2

Z16—8z6z—8廣

詳解：一=-=---—=8+6］,故選B

z?-j—i

點睛：復數問題是高考數學中的常考問題，屬于得分題，主要考查的方面有：復數的分類、復數的幾何意義、復數的

模、共輾復數以及復數的乘除運算，在運算時注意『=7符號的正、負問題.

6.D

【解析】

47r

因為蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1,又因為雞蛋的體積為三，所

以球的半徑為1,所以球心到截面的距離1=Ji］工=正，而截面到球體最低點距離為1-無，而蛋巢的高度為,，

V4222

1(出)出

故球體到蛋巢底面的最短距離為彳-1-一=丫丁.

點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內接或外接幾何

體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解

決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.

7.D

【解析】

先將函數f(x)=cos2x+百sin2x+l化為/(x)=2sin(2x+V+l,再由三角函數的性質，逐項判斷，即可得出結

果.

【詳解】

/(x)=cos2x+>/3sin2x+1

可得/(x)=2—?cos2x+-sin2x+1=2sinf2x+—>1+1

2兀2TI

對于A,/(x)的最小正周期為7=「=丁=?，故A正確；

1。12

對于B,由-l<sin(2x+￡j4l,可得—lW/(x)W3,故B正確；

jrjr

對于C,?.?正弦函數對稱軸可得：2%+工=Z〃+—，UeZ)

62

解得：與=g上"+?,(%￡Z),

JT

當Z=0,x=-,故C正確；

06

對于D,?.?正弦函數對稱中心的橫坐標為：2%+"=攵乃,仕€2)

6

1JT

解得：/=—%"+—,(ZEZ)

212、7

若圖象關于點［-￡,()］對稱，則!左萬+2=一工

<4J2124

2

解得：k=-］，故D錯誤；

故選：D.

【點睛】

本題考查三角恒等變換，三角函數的性質，熟記三角函數基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基

礎題.

8.D

【解析】

做出函數/(x),g(x)的圖象，問題轉化為函數/(x),g(x)的圖象在［-5,5］有7個交點，而函數/(x),g(x)在［-5,0］上

有3個交點，則在［0,5］上有4個不同的交點，數形結合即可求解.

【詳解】

方程f(x)=g(x)在［-5,0］上有3個不同的實數根，

則在［0,5］上有4個不同的實數根，

當直線y=履經過(4,1)時，k=］

當直線y=船經過(5,1)時，kJ,

可知當時，直線y=與f(x)的圖象在［0,5］上有4個交點，

54

即方程/(%)=g(x),在［0,5］上有4個不同的實數根.

故選:D.

【點睛】

本題考查方程根的個數求參數，利用函數零點和方程之間的關系轉化為兩個函數的交點是解題的關鍵，運用數形結合

是解決函數零點問題的基本思想，屬于中檔題.

9.C

【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.

【詳解】

如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線加

平行于平面。與平面夕的交線時也有加〃a,ml1/3,故②錯誤；若〃2,a,則〃?垂直平面

a內以及與平面a平行的所有直線，故③正確；若/篦〃a,則存在直線/ua且機/〃，因

為〃?所以從而故④正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.

10.B

【解析】

求出復數z,得出其對應點的坐標，確定所在象限.

【詳解】

由題意2=丁匚=7.、=-［+Ii,對應點坐標為(—1,2),在第二象限.

l-i(l-i)(l+i)2222

故選：B.

【點睛】

本題考查復數的幾何意義，考查復數的除法運算，屬于基礎題.

11.B

【解析】

雙曲線C的漸近線方程為^=±2》，由題可知2=tan工=6.

aa3

16cl

設點尸(c,0),則點尸到直線y=可的距離為=6,解得c=2,

J(國+(-1)2

所以="2+6=/+3/=4/=4,解得4=1,所以雙曲線C的實軸的長為2。=2,故選B.

12.A

【解析】

根據雙曲線的漸近線列方程，解方程求得，〃的值.

【詳解】

4

1313-

由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±-/=x(/〃>0),3x+2y=0可化為y=——x,則丁=39-

7m27m2

故選：A

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.12先

【解析】

設圓柱的軸截面的邊長為x,可求得x=2近，代入圓柱的表面積公式，即得解

【詳解】

設圓柱的軸截面的邊長為X,

則由爐=8,得x=2a，

S圓柱表=2s底+S例=2x%x(起產+2%x血x272=12乃.

故答案為：12萬

【點睛】

本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學生空間想象，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于基礎題.

14.y=10sin^—x+—j+20,XG[6,14]

【解析】

根據圖象得出該函數的最大值和最小值，可得A=小一,h=)嬴+，結合圖象求得該函數的最小正周期1,

22

24、

可得出。=下，再將點(10,20)代入函數解析式，求出/的值，即可求得該函數的解析式.

【詳解】

由圖象可知，

ymax=30,ymin=10,；.A=%維丁皿=10,b=X；%M=20,

yn>rr

從題圖中可以看出，從6?14時是函數y=4sin(5+e)+8的半個周期，貝117=2x(14—6)=16,.』=』=生.

T8

jrj7r37r

又不乂10+夕=2乃+2攵萬，keZ、得夕=了+2%%(％￡2),取0=丁，

f1r\'\兀3兀

所以y=10sin[fX+7+20,XG[6,14].

故答案為：(jr37r

y=10sinUx+T+20,xe[6,14].

【點睛】

本題考查由圖象求函數解析式，考查計算能力，屬于中等題.

15.證明見解析.

【解析】

ARsr

試題分析：ARE,尸四點共圓，所以BDBE=BABF,又xABCs^AEF,所以——=—,即

AEAF

ABAF^AEAC,得證.

試題解析:

A.連接4),因為A3為圓的直徑，所以

又EFLAB,則AD,E,F四點共圓,

所以BDBE=BABF.

又AABCsAAEF,

AD\r

所以一=——，即AB-4F=AE-AC,

AEAF

:.BE?BD-AEAC=BA?BF-ABAF=AB<BF-AF)=AB2.

16.9

【解析】

根據集合交集的定義即得.

【詳解】

?.?集合A={1,4},B={a-5J],Ac3={4},

。-5=4,則a的值是9.

故答案為：9

【點睛】

本題考查集合的交集，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)-

3

【解析】

(1)取AE的中點H,結合三角形中位線和長度關系，C￡>”G為平行四邊形，進而得到根據線面平行判定

定理可證得結論；

(2)以AB，AD,AE為x,二軸建立空間直角坐標系，分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據

二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；

【詳解】

(1)取AE的中點“，連結GH,HD

因為G為8尸中點，AB//CD,AB=2CD,

所以GH〃CD,G”=CD,...COHG為平行四邊形，

所以CG//HD,

又因為“力u面ADEE,。62面4。￡：/

所以CG〃面AOEE；

(2)由題及(1)易知AB,AD,AE兩兩垂直，

所以以A8，AD,Ab為x,z軸建立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),3(4,0,0),￡>(0,4,0),網0,0,4),C(2,4,0),BF=(-4,0,4),而=(2,4,-4)

易知面A5尸的法向量為(0,1,0)

設面ABF的法向量為后=(x,y,z)

,而2-BF=-Ax+4z=0

則Vr

n2-FC=2x+4y—4z=0

可得〃2=(1，!/

I2)

1

所以cos(〃i,〃2)=

如圖可知二面角A—BE—C為銳角，所以余弦值為:

3

【點睛】

本題考查立體幾何中直線與平面平行關系的證明、空間向量法求解二面角，正確求解法向量是解題的關鍵，屬于中檔題.

18.(1)a=l；(2)見解析

【解析】

(1)由題意可得分類討論去掉絕對值，分別求得x的范圍即可求出a的值.(2)由條件利用絕對值三角不

等式，基本不等式證得/(x)>272.-

【詳解】

2

(1)由/(x)-|x+—|>4x,可得|X-Q|N4X,(a>0),

a

當xNa時，x-a>4x9解得》<一]，

這與工法>0矛盾，故不成立，

當xVa時，a-x>4x,解得％

又不等式的解集是{X|XS1},故三=1，解得a=L

222

(2)證明：/(x)=|x-a|+|x+—|>\x-a-(x+一)|=|a+—Va>0,

aaa

2?I2

.?.la+-l=a+->2,a--=2y/2>當且僅當。=血時取等號，

aa\a

故/(x)>2y[2-

【點睛】

本題主要考查絕對值三角不等式，基本不等式，絕對值不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎

題.

19.（1）y（2）P（l,3,2）

【解析】

試題分析：（1）因為AB_LAC,AiBJL平面ABC,所以以A為坐標原點，分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y

軸，以過A,且平行于BAi的直線為z軸建立空間直角坐標系，由AB=AC=AB=2求出所要用到的點的坐標，求出棱

AAi與BC上的兩個向量，由向量的夾角求棱AAi與BC所成的角的大小；

（2）設棱BiCi上的一點P,由向量共線得到P點的坐標，然后求出兩個平面PAB與平面ABAi的一個法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值為名叵，轉化為它們法向量所成角的余弦值，由此確定出P點的坐標.

5

試題解析：

解（D如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，

則。（2,0,0）,3（0,2,0）,4（0,2,2）,耳（0,4,2）,

豆=（0,2,2）,而=醞=（2,-2,0）.

cosAABC-的__4__1

償’小畫畫一直詆一于

故與棱BC所成的角是

（2）p為棱4G中點，

設即=4南=（2/1,-2/1,0）,貝！JP（24,4-24,2）.

設平面Q4B的法向量為I=（x,yz）,麗=（244-24,2）,

勺?AP-0x+3y+2z=0z=-Ax

則《n<

勺?AB=02y=0|y=0

故I=(1,0,T)

1275

而平面ABA,的法向量是元=（1,0,0）,則cosn,,n2=

1+/125

解得4=（,即p為棱用G中點，其坐標為P（L3,2）.

點睛：本題主要考查線面垂直的判定與性質，以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:

（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面

的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理

結論求出相應的角和距離.

3

20.(1)見解析；(2)P=—

10

【解析】

（1）補充完整的2x2列聯表如下:

合格不合格合計

高一新生121426

非高一新生18624

合計302050

則心的觀測值八嚅號等卷，4.327>3的,

所以有95%的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關.

（2）抽取的5名學生中競賽成績合格的有30X卷=3名學生，記為a,b,c,

競賽成績不合格的有20x卷=2名學生，記為〃4",

從這5名學生中隨機抽取2名學生的基本事件有：ah,ac,he,am,an,bm,bn,cm,cn,nm,共10種,

這2名學生競賽成績都合格的基本事件有：ab,ac,bc,共3種，

3

所以這2名學生競賽成績都合格的概率為P=—

x=640

21.（1）\；（2）680元.

y=480

【解析】

x-y=160

（1）根據題意，列方程-CM然后求解即可

x+y=1200—80

（2）根據題意，計算出10000元使用“余額寶”的利息為l（XXX）x2.8%=28（）（元）和

10000元使用“財富通”的利息為KXXX）x4.2%=420（元），

得到X所有可能的取值為560（元）,700（元），84（）（元），

然后根據X所有可能的取值，計算出相應的概率，并列出X的分布列表，然后求解數學期望即可

【詳解】

x-j=160

（1）據題意，得＜

x+y=1200-80

x-640

所以《

y=480

（2）據640:480=4:3,得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財富通”的