22五月20241高等數(shù)學多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）22五月20242第三章微分中值定理與導數(shù)的應用第三節(jié)洛必達法則第二節(jié)泰勒(Taylor)公式第四節(jié)函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值第一節(jié)微分中值定理第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第七節(jié)曲率22五月20243第一節(jié)微分中值定理

第三章二、微分中值定理一、函數(shù)的極值三、小結與思考題（TheMeanValueTheorem）羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理22五月20244一、函數(shù)的極值（ExtremumsofFunction）22五月20245

注意：函數(shù)的極大值、極小值與最大值、最小值的區(qū)別．函數(shù)的極值是對一點的鄰域來說的，是局部性概念；而最值（最大值、最小值的簡稱）是整體性概念．22五月20246費馬引理（FermatLemma）且存在證:

設則證畢22五月20247二、微分中值定理1.羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]

上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.在(a,b)內(nèi)至少存在一點22五月20248若M=m,則因此若M>m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設則至少存在一點使則由費馬引理得注意:定理條件不全具備,結論不一定成立.例如,22五月20249提示：22五月202410有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設不真!設例2證明方程（補充題）22五月2024112.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.證畢22五月202412推論:若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:

在

I

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則拉格朗日中值定理的有限增量形式:22五月202413證:

設由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在

I

上例3證明等式22五月202414證:

設中值定理條件,即因為故因此應有例4證明不等式22五月2024153、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:要證22五月202416且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結論.證:

作輔助函數(shù)22五月202417解題思路：22五月202418內(nèi)容小結1.微分中值定理的條件、結論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關中值問題的結論關鍵:

利用逆向思維設輔助函數(shù)費馬引理22五月202419思考與練習1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值2)設有個根,它們分別在區(qū)間上.方程22五月202420且在內(nèi)可導,證明至少存在一點使提示:由結論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設2.

設22五月202421可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.3.

若22五月202422使證:法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:4.試證至少存在一點22五月202423使法2

令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在4.試證至少存在一點22五月202424使法3

令則f(x)在[1,e]上滿足零點定理條件,由于4.試證至少存在一點故由零點定理即證！22五月202425考研真題提示：22五月202426法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.費馬(1601–1665)22五月202427法國數(shù)學家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.拉格朗日(1736–1813)22五月202428法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是為巴黎綜合學校編寫的《分析教程》,《無窮