4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第一課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,了解推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程與方法,發(fā)展邏輯推理的核心素養(yǎng).2.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用,提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究[問(wèn)題1](1)數(shù)列1,3,32,33,…,3n的首項(xiàng)和公比分別是多少?知識(shí)探究提示:(1)首項(xiàng)為1,公比為3.(2)把該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=1+3+32+…+3n-1,①兩邊同乘公比3得3Sn=3+32+33+…+3n,②這兩個(gè)等式的右邊有何相同點(diǎn)?若用②式減去①式,會(huì)有什么結(jié)果?(3)對(duì)Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠1)按(2)的方法處理會(huì)怎樣呢?1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[思考1]等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五個(gè)量,已知幾個(gè)量方可以求其他量?提示:三個(gè).B[問(wèn)題2](1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比數(shù)列嗎?提示:(1)a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比數(shù)列.(2)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比數(shù)列嗎?提示:(2)成等比數(shù)列.2.等比數(shù)列“片段和”性質(zhì)等比數(shù)列{an}中,公比為q,前n項(xiàng)和為Sn(Sn≠0),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…構(gòu)成公比為qn的等比數(shù)列.[做一做2]在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,則S6等于(

)A.140 B.120C.210 D.520A解析:因?yàn)镾2=20,S4-S2=40,且(S4-S2)2=S2×(S6-S4),所以S6-S4=80,S4=40+S2=60,所以S6=140.故選A.[問(wèn)題3]類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題,等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)?3.等比數(shù)列“奇、偶數(shù)項(xiàng)和”的性質(zhì)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和,則:[問(wèn)題4]你能從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式嗎?4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征(1)若數(shù)列{an}為非常數(shù)列的等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),則必有A+B=0;反之,若某一非常數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),則該數(shù)列必為等比數(shù)列.(2)如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等比數(shù)列.[思考2]若等比數(shù)列{an}的公比q不為1,其前n項(xiàng)和為Sn=Aqn+B,則A與B有什么關(guān)系?提示:A=-B.[做一做3]若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和Sn=3n+1-3k,則實(shí)數(shù)k等于

.解析:因?yàn)镾n=3n+1-3k=3×3n-3k,所以3=3k,即k=1.答案:1師生互動(dòng)·合作探究[例1]在等比數(shù)列{an}中,探究點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的計(jì)算(2)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q;[例1]在等比數(shù)列{an}中,(3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.[例1]在等比數(shù)列{an}中,方法總結(jié)(1)在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三個(gè)量,通過(guò)解方程組,就能求出另外兩個(gè)量,這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.(2)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先要對(duì)公比q=1或q≠1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.(3)在解有關(guān)的方程(組)時(shí),通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.[針對(duì)訓(xùn)練](1)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,a6=8a3,則S5等于(

)A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1[例2](1)在等比數(shù)列{an}中,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2=3,S4=9,則S6等于(

)A.12 B.18 C.21 D.27探究點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解析:(1)法一設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)镾2=3,S4=9,所以S4-S2=6,q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4構(gòu)成以S2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以62=3(S6-9),所以S6=12+9=21.故選C.法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.①若q=1,可得S4=2S2,即9=2×3,顯然不成立;答案:(1)C(2)等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=

.

答案:(2)2方法總結(jié)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì),處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題時(shí)的注意事項(xiàng):(1)等比數(shù)列“片段和”性質(zhì)的成立是有條件的,即Sn≠0.答案:(1)80(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=48,前2n項(xiàng)和S2n=60,則前3n項(xiàng)和S3n=

;

答案:(2)63(3)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).[例3]某人準(zhǔn)備購(gòu)買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款項(xiàng)全部付清.商場(chǎng)提出的付款方式:購(gòu)買2個(gè)月后第1次付款,再過(guò)2個(gè)月后第2次付款,…,購(gòu)買12個(gè)月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算,求此人每期付款金額是多少.探究點(diǎn)三等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用解:法一設(shè)此人每期付款x元,第k個(gè)月末付款后的欠款本利為Ak,則A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,方法總結(jié)解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟(1)認(rèn)真審題,準(zhǔn)確理解題意,達(dá)到如下要求:①明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題,即明確是等差數(shù)列問(wèn)題還是等比數(shù)列問(wèn)題,還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問(wèn)題,是求an,還是求Sn.特別要注意準(zhǔn)確弄清項(xiàng)數(shù)是多少.②弄清題目中主要的已知事項(xiàng).(2)抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).(3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,將已知與所求聯(lián)系起來(lái),列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.[針對(duì)訓(xùn)練]一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%,這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎?備用例題[例1](2021·廣東高州高二期末)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;[例1](2021·廣東高州高二期末)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.(1)求a1,a2;(2)設(shè)bn=an+2,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(3)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.學(xué)海拾貝等比數(shù)列的判定與證明判斷給定的數(shù)列{an}是等比數(shù)列的方法(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*),則{an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和法:數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=A-Aqn(常數(shù)A≠0,公比q≠1).提醒:通過(guò)等比數(shù)列的判定與證明,可培養(yǎng)邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).需要注意的是前兩種方法常用于解答題中,而后兩種方法常用于選擇、填空題中.典例探究:數(shù)列{an}滿足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n∈N*,且n≥2).(1)求a2,a3,并證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.思路點(diǎn)撥:利用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式求解.(2)由(1)知an-n=-2·3n-1,所以an=n-2·3n-1.(1)證明:{an+1}為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.當(dāng)堂檢測(cè)1.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,公比q=2,則S5等于(

)A.93B.-93 C.45D.-45AA.3 B.2 C.-2 D.-3D3.(2022·山東臨沂高二期末)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難