培優沖刺04幾何最值問題綜合1、將軍飲馬類幾何最值2、輔助圓類幾何最值3、瓜豆原理類幾何最值4、其他類幾何最值題型一：將軍飲馬類幾何最值1.“兩定一動”型將軍飲馬：①異側型→直接連接，交點即為待求動點；后用勾股定理求最值②同側型→對稱、連接；后續同上“兩定兩動”型：①同側型→先水平平移（往靠近對方的方向）、再對稱、最后連接；也可先對稱、再水平平移（往靠近對方的方向）、最后連接；后續同上。同側型異側型②異側型→先水平平移（往靠近對方的方向）、再連接；后續同上。【中考真題練】1．（2023?瀘州）如圖，E，F是正方形ABCD的邊AB的三等分點，P是對角線AC上的動點，當PE+PF取得最小值時，的值是．2．（2023?德州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，點E在AB上，且AE＝1．F，G為邊AD上的兩個動點，且FG＝1．當四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為．3．（2023?綏化）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長的最小值是．【中考模擬練】1．（2024?衡南縣模擬）已知：如圖，直線y＝﹣2x+4分別與x軸，y軸交于A、B兩點，點P（1，0），若在直線AB上取一點M，在y軸上取一點N，連接MN、MP、NP，則MN+MP+NP的最小值是（）A．3 B． C． D．2．（2023?龍馬潭區二模）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．若點D為拋物線上一點且橫坐標為﹣3，點E為y軸上一點，點F在以點A為圓心，2為半徑的圓上，則DE+EF的最小值．3．（2024?碑林區校級一模）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，點D是邊AC的中點．以點A為圓心，2為半徑在△ABC內部畫弧，若點P是上述弧上的動點，點Q是邊BC上的動點，求PQ+QD的最小值；（2）如圖②，矩形ABCD是某在建的公園示意圖，其中AB＝200米，BC＝400米．根據實際情況，需要在邊DC的中點E處開一個東門，同時根據設計要求，要在以點A為圓心，在公園內以10米為半徑的圓弧上選一處點P開一個西北門，還要在邊BC上選一處點Q，在以Q為圓心，在公園內以10米為半徑的半圓的三等分點的M、N處開兩個南門．線段PM、NE是要修的兩條道路．為了節約成本，希望PM+NE最小．試求PM+NE最小值及此時BQ的長．4．（2023?臥龍區二模）綜合與實踐問題提出（1）如圖①，請你在直線l上找一點P，使點P到兩個定點A和B的距離之和最小，即PA+PB的和最小（保留作圖痕跡，不寫作法）；思維轉換（2）如圖②，已知點E是直線l外一定點，且到直線l的距離為4，MN是直線l上的動線段，MN＝6，連接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解題過程中發現：“借助物理學科的相對運動思維，若將線段MN看作靜線段，則點E在平行于直線l的直線上運動”，請你參考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展應用（3）如圖③，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，連接BD，點E、F分別是邊BC、AD上的動點，且BE＝AF，分別過點E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分別為M、N，連接AM、AN，請直接寫出△AMN周長的最小值．題型二：輔助圓類幾何最值動點的運動軌跡為輔助圓的三種形式：1、定義法——若一動點到定點的距離恒等于固定長，則該點的運動軌跡為以定點為圓心，定長為半徑的圓（或圓弧）2、定邊對直角——若一條定邊所對的“動角”始終為直角，則直角頂點運動軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓弧）3．定邊對定角——若一條定邊所對的“動角”始終為定角，則該定角頂點運動軌跡是以該定角為圓周角，該定邊為弦的圓（或圓弧）【中考真題練】1．（2023?黑龍江）如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，點E是斜邊AB的中點，把Rt△ABC繞點A順時針旋轉，得Rt△AFD，點C，點B旋轉后的對應點分別是點D，點F，連接CF，EF，CE，在旋轉的過程中，△CEF面積的最大值是．【中考模擬練】1．（2023?永壽縣二模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中點，點P是CD上一個動點，當∠APM的度數最大時，CP的長為．2．（2023?營口一模）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點N，點M分別為BC，DE的中點，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點A旋轉過程中，MN的最大值為．3．（2023?定遠縣校級一模）如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，點E為⊙O上一動點，CF⊥AE于點F．當點E從點B出發順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為．4．（2024?蘭州模擬）綜合與實踐【問題情境】在數學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問題，如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為平面內一點（點A，B，D三點不共線），AE為△ABD的中線．【初步嘗試】（1）如圖1，小林同學發現：延長AE至點M，使得ME＝AE，連接DM．始終存在以下兩個結論，請你在①，②中挑選一個進行證明：①DM＝AC；②∠MDA+∠DAB＝180°；【類比探究】（2）如圖2，將AD繞點A順時針旋轉90°得到AF，連接CF．小斌同學沿著小林同學的思考進一步探究后發現：，請你幫他證明；【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點D在以點A為圓心，AD為半徑的圓上運動（AD＞AB），直線AE與直線CF相交于點G，連接BG，在點D的運動過程中BG存在最大值．若AB＝4，請直接寫出BG的最大值．題型三：瓜豆原理類幾何最值大概動點問題符合瓜豆原理的模型時，也可以和幾何最值結合【中考真題練】1．（2022?沈陽）【特例感知】（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C在OA上，點D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數量關系是；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點O順時針旋轉α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結論是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由．【方法運用】（3）如圖3，若AB＝8，點C是線段AB外一動點，AC＝3，連接BC．①若將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是；②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點按順時針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當∠CBD＝∠DAB＝30°時，直接寫出AD的值．【中考模擬練】1．（2023?金平區三模）如圖，長方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E為BC上一點，且BE＝，F為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞著點E順時針旋轉45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為．2．（2023?蒼溪縣一模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為．3．（2023?海淀區校級三模）在平面直角坐標系xOy中，給定圖形W和點P，若圖形W上存在兩個點M，N滿足PM＝PN且∠MPN＝90°，則稱點P是圖形W的關聯點．已知點A（﹣2，0），B（0，2）．（1）在點P1（﹣，﹣1），P2（﹣，3），P3（﹣2，﹣2）中，是線段AB的關聯點；（2）⊙T是以點T（t，0）為圓心，r為半徑的圓．①當t＝0時，若線段AB上任一點均為⊙O的關聯點，求r的取值范圍；②記線段AB與線段AO組成折線G，若存在t≥4，使折線G的關聯點都是⊙T的關聯點，直接寫出r的最小值．4．（2024?昆山市一模）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時點M的坐標；（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點（F在E右側），若P點是⊙B上一動點，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點為逆時針順序），連接FD．求FD長度的取值范圍．題型四：其他類幾何最值除了常見的模型與幾何最值結合外，還有一些幾何問題，應用直接的最值原理，比如：點到直線的距離垂線段最短等【中考真題練】1．（2023?錦州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD，AE，使AD＝AE．②分別以點D和點E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點M．③作射線AM交BC于點F．若點P是線段AF上的一個動點，連接CP，則CP+AP的最小值是．2．（2023?德陽）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，點M為AC的中點，一只小蟲從B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M處，則小蟲爬行的最短路程等于．3．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延長線上的一點，CD＝2．M是邊BC上的一點（點M與點B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作?CMND．連接AN并取AN的中點P，連接PM，則PM的取值范圍是．．【中考模擬練】1．（2024?濟南一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E為AB上一點，連接DE，將△ADE沿DE折疊，點A落在A1處，連接A1