④在旋轉過程中，始終存在，其中結論正確的序號是①②④.(多填或填錯得0分，少填酌情給分）解析：如圖1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中點.正確 如圖2，當α=60°時，取A′B′的中點E,連接CE,則∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合，∴A′、B′恰好經過點B.正確如圖3，連接AA′,BB′,則⊿CAA′∽⊿CBB′,∴,∴AA′=BB′.錯誤如圖4，∠A′B′D=∠CBB′－60°,∠B′A′D=180°－(∠CA′A+30°),∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A∵∠CBB′=∠CA′A,∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°,∴AA′⊥BB′.正確∴①，②，④正確.6.(2014年湖北咸寧13．（3分）)如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，點C是上的一個動點（不與A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E．若DE=1，則扇形OAB的面積為．考點： 三角形中位線定理；垂徑定理；扇形面積的計算．分析： 連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂徑定理得到D、E分別為BC、AC的中點，即ED為三角形ABC的中位線，即可求出AB的長．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得該扇形的半徑．解答： 解：連接AB，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D、E分別為BC、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴AB=2DE=2．又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，∴OA=OB=AB=，∴扇形OAB的面積為：=．故答案是：．點評： 此題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形面積的計算以及三角形的中位線定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．7.(2014?年山東東營,第14題3分)如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數的樹梢，問小鳥至少飛行10米．考點： 勾股定理的應用．分析： 根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．解答： 解：如圖，設大樹高為AB=12m，小樹高為CD=6m，過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC，∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），在Rt△AEC中，AC==10（m）．故小鳥至少飛行10m．故答案為：10．點評： 本題考查了勾股定理的應用，根據實際得出直角三角形，培養學生解決實際問題的能力．8．（2014?四川宜賓，第14題，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′=1.5．考點：翻折變換（折疊問題）分析：首先根據折疊可得BE=EB′，AB′=AB=3，然后設BE=EB′=x，則EC=4﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．解答：解：根據折疊可得BE=EB′，AB′=AB=3設BE=EB′=x，則EC=4﹣x，∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，，∴B′C=5﹣3=2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5．故答案為：1.5．點評：此題主要考查了翻折變換，關鍵是分析清楚折疊以后哪些線段是相等的．9.（2014?四川涼山州，第16題，4分）已知一個直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為5或．考點：勾股定理．專題：分類討論．分析：已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①3是直角邊，4是斜邊；②3、4均為直角邊；可根據勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長．解答：解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：=；②長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為：=5；故第三邊的長為：5或．點評：此題主要考查的是勾股定理的應用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類討論，以免漏解．10．（2014?四川涼山州，第26題，5分）如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內壁離杯底4cm的點B處有乙滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外幣A處到達內壁B處的最短距離為20cm．考點：平面展開－最短路徑問題分析：將杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．解答：解：如圖：將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B===20（cm）．故答案為：20．點評：本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創造性思維能力．11．（2014?甘肅白銀、臨夏,第13題4分）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是cm．考點：勾股定理；等腰三角形的性質．分析：利用等腰三角形的“三線合一”的性質得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長度．解答：解：如圖，AD是BC邊上的高線．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．故答案是：8．點評：本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理．等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形．三、解答題1.（2014?上海，第22題10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考點：解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．分析：（1）根據∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根據sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，則CE=1，從而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB；（2）∵sinB，∴AC：AB=1：，∵CD=，∴AB=2，由勾股定理得AC=2，則CE=1，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．點評：本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質的應用，難度不大．2.（2014山東濟南，第27題，9分）如圖1，有一組平行線，正方形的四個頂點分別在上，過點Ｄ且垂直于于點Ｅ，分別交于點Ｆ，Ｇ，．（1），正方形的邊長＝；（2）如圖2，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角為，點在直線上，以為邊在的左側作菱形，使點分別在直線上．①寫出與的函數關系并給出證明；②若，求菱形的邊長．【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，，知,又，所以正方形的邊長為．（2）①過點作垂直于于點M，在中,,,故，所以互余，與之和為，故=－.②過E點作ON垂直于分別交于點O，N，若,，,故,,，由勾股定理可知菱形邊長為.3.（(2014年河南)22.10分）（1）問題發現如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE填空：（1）∠AEB的度數為60；（2）線段AD、BE之間的數量關系是AD=BE。解:（1）①60；②AD=BE.…………2分提示：（1）①可證△CDA≌△CEB,∴∠CEB=∠CDA=1200，又∠CED=600，∴∠AEB=1200－600=600.②可證△CDA≌△CEB,∴AD=BE（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等邊三角形，∠ACB=∠DCE=900,點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE。請判斷∠AEB的度數及線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由。解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE.…………4分（注：若未給出本判斷結果，但后續理由說明完全正確，不扣分）理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,即∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE.……………………6分∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=1350.∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………7分在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………8分（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=。若點P滿足PD=1,且∠BPD=900，請直接寫出點A到BP的距離。(3)或………10分