爐溫采樣系統方塊圖

第六章：線性離散系統的分析與校正

§6.1離散系統

?離散系統----------系統中有一處或兒處信號是一串脈沖或數碼，稱

之為離散系統。

掛圖舉例----------爐溫采樣控制系統

采用檢流計（靈敏度、精度高），可以提高系統控制精

度。采樣調節，風門調節逐漸進行，可避免出現過調，出現波動。

?學習離散系統分析設計方法的目的：用于計算機控制系統的分析、設計。

計算機控制系統的原理框圖：

等效結構圖:

1、采樣--保持過程。

A/D：相當于一個采樣開關

時間離散：r?T:——認為采樣是瞬時完成的

＞視兒。為理想采樣開關：e*(kT)=e(kT)

數值離散：數字機字長足夠：——忽略量化誤差影響.

數字機：數碼處理裝置：用G,(s)+開關描述其輸入e*輸出/特性。

D/A：用ZOH零階保持器實現數碼的一拍保持。

2、采樣系統的特點：

'⑴采樣點間信息損失，帶來量化誤差和量化噪聲；

，穩定性變差

?代價后相應的連續系統相比心

.動態性能會有損失

(2需附加,A期部件A

,(I)利用數字機可以靈活的實現各種不同的控制律——適應性廣；

?利益＜(2)控制多臺設備，協調生產過程——經濟性好，功能強；

(3)利于實現生產過程的信息化和現代化管理。

3、采樣系統的研究方法

數學工具——Z變換

研究方法——連續系統研究方法的推廣。

§6.2信號的采樣與保持

88

e(t)=e(t\ST(0=-〃T)=Ze(〃T)?火一仃)(1)

n=0〃=0

L[e⑴]=￡(s)=〃象(〃T)b(f-〃T)]=￡e(〃T)?(2)

n=0n=0

例1:e(t)=l(t),求E*(s)。

g1TS

解：E*(s)=Z1.-E=1+e"+1"+e3，+…=

?=o1—ee—1

例2：e?)=e，求￡($)。

解：爐(s)=￡*叫"g=1+e-?+〃)+e-2".)+…=「」

n=01-e

另外，若將采樣函數（理想單位脈沖序列）展開為富氏級數:

〃=-00

?.”,=1采樣角頻率

%='R%(”"如小富氏級數

T2

=1￡13⑴

力=3

(3)

T”=—00

.?.e*(，)=e(f)a?)="eQ￡e—=J￡e^-e^'

/“=-CC/rt=-00

1]"

+

L[e(t)]=E*(s)=L[-Ze(f)?e^]=+j〃①)(4)

[n=—oo/n=—oo

11001

例3：e(0=l(r),￡(5)=-=>￡*(5)=—---；—

sT“…s+jncos

例4：e(t)=e~al,E(s)=----=>E(s)=一￡----------

s+〃T，/s+Q+jna)s

比較式(3)、(4)有：

E*G)=fe(U)."E先對L變換之后再乘

n=0

18、?

=-Z^G+j〃e)先乘6?).當")之后L變換

Ta=-00

'給出爐(s)與e⑺在采樣瞬時值之間的聯系；

前式：，一般可以寫出封閉形式；

用于求e*⑺的L變換，或時間響應過程。

'給出藥位)間的麟系；

后式：〈一般寫不出封閉形式；

用于對的(譜分析。

2、信號的復現

單一有限帶寬的連續頻譜

離散信號,

100

e*⑴頻譜：￡*（?=-1E（j①+加⑺是以角頻率％為周期的周期頻譜

T〃=-<?

香農采樣定理：——信號完全復現的必要條件

例：ea）中所含各諧波分量中的最大。

q>2co或T<一<2乃

h014：采樣角頻率以=干

給出了不產生頻率混迭的采樣角頻率處的下界（或采樣周期T的上界），若

找到一個理想濾波器（鉛筆所畫為其幅頻特性），便可實現信號完全復現。

3、零階保持器

Z0H單位脈沖響應左⑴=1?）-1（…T）

11l-e

G(s)=Z[l(/)-ia-r)]=———e-r%=——

h5SS

Z0H的頻率特性:

Gg(o)士二7丁7包?%2e0T/2

jco0T/2

2萬

?：T

4

2"sin乃?/@)cfi

GEM=

q兀*co*),

―誦贏f性

/理想濾波器幅頻特性

T,,,

、卜（j（0）|

里想濾波器相頻特性

?零階保持器頻率特性與理想濾波器頻率特性不同，不能實現完全復現。

?零階保持器有相角延遲（近似可視為一個e千環節）對系統性能不利。

§6.3Z變換理論

采樣信號的拉氏變換是s的超越函數，不便于分析處理，故引入Z變換的工

具。

1、Z變換的定義：

00

e*（f）=Ze（〃7W-U）

n=0

E(z)=Z[Z(?)]=⑺]|八=?(〃Fe叫=4

M=0

??.E(z)=Z[e*(f)]=￡e(〃T>z-n=Z[E(5)]=Z[e(t)]=Z[Er(s)]

M=0

注：Z變換只對離散信號而言,e*⑺是E（z）的像原函數，E⑵是e*⑴的Z變換。

E（z）只對應唯一的離散信號e*⑴，不對應唯一的連續信號/）。

1、級數求和法（用定義）

2、Z變換方法:

2、查表法（部分分式法）

例1、e"）=f，求E⑶=?

解法一、（級數求和法）

0000

enTnnTz23

E(z)=Y(^~=Y'"=T[Z-'+2Z-+3Z-+---]

n=0n=0

=TZ[Z-2+2Z-3+3Z-4---]

-1

t-2-3z1

???z+z+z+???=----r=——

1-Z-,Z-l-1Tz

￡(z)=-Tz——=-Tz

dzz~\("If(Z-1)2

—[z-1+z-2+z-3+…]=~[-2+2z~3+3廠+…]

dzZ

解法二、查表法：磯s）=4

Tz

(Z-D2

例2：E(s)=--------求E(z)=?

(S+Q)(S+/?)

解一、級數求和法：

廣/、1(s+a)—(s+Z?)111

E(s)=——-------------=——-[——------

a-b(s+a)(s+Z?)a-bs+bs+a

：.e^=-^—[e-b,-e-a,]

a-b

1_oQ_

E(z)=Ze(")z-"=——Y\e-bn,-e-an']z-n

,>=()"b"=o

=-{[1+e-bTz~'+e~2bT-2+???]-[1+e-aTz'+1"尸

a-hZ

=-J—{—!---------?—)=—L_[-----------]

a-b\-e-bTz'\-e'aTz'a-bz-e-bTz-e-aT

解二、查表法：

F(x=7r1]=17r_^_____l_n=_J_r___Z_______Z___n

7(s+a)(s+。)a-bs+bs+aa-bz-e~bTz-e~a7

?z變換的局限性：

①只反映采樣點上的信息e*(f)；

②e*(f)不對應唯一的連續函數e(f)o

典型信號Z變換。

例1、單位脈沖e(f)=b(f)

00

E(z)=ZeSTL=e(0T)./=1

”=0

例2、單位階躍：e(f)=l⑺

石⑶工貿仃方"=1+[7+2-2+...+]+...=1==三Iz-'|<1

n=0〃=01-Z2-1

例3、單位理想脈沖序列：e(f)=4(f)=f6(一〃T)

71=0

E(z)=￡e(〃T)z-"=￡l(nT>zT=l+zT+z-2+z-3+-=-Lzr=上卜[<1例2、

〃=o〃=oZ-1

唯一*不唯一

例3中：e(E)->e*⑴；但e*(t)-eQ)；

例4、單位斜坡：e(f)=f

E(z)=￡e(〃T)z-"=f

〃=0n=0(Z-1)

由例2、3有：

n=02-1

兩邊對Z求導：之匚嘰仙一記/二百,

?=0葭-1)

兩邊乘以(-Tz):￡〃T，"=上不

〃=0(Z-1)

例5、指數函數：e⑺

E(z)=￡e(〃T)z-"=￡e-""z-"=匕=一

fi=on=on=o1-eZZ—e

例6、正弦信號：e(t)=sincot=—[ejM-e~im]

2j

￡(z)=[e^-e-jm"]z-n=—z'")—￡?二")}

?=o2j2jw=ow=o

=1-Z_Z=]-3)]

~2jz-eitoTz-e-ja)T_2jz2-z(e+jti)T+)+1

_z-sincoT

z2-2zcoscoT+1

例7、已知E(s)=——1——，求E(z)。E(Z)HE(S)i=------------------

s(s+D'=”linZ(llnz+l)

解：E(5)=--—=

S5+1

尸(、嗎5zz_z(z-eT)

?―z^l-z-e-T-(z-l)(z-eT)

注E(z)豐E(s),o

s=-Inz

T

例8、查表法：

z2-ze-aTcos①T

e-atCOS69t—>

z2一2ze-aTcos69T+e2aT

3、Z變換基本定理

(1)線性性質：Z[ae：⑺土但*(/)]=叫⑶土防2口)(1)

(2)實位移定理

延遲定理：Z[e(一〃T)]=z-"E(z)z-HJ延遲算子(2)

超前定理：Z[e(t+nT)]=z"[E(z)-We(4)z"](3)

女=0

cooo

證(2)式：Z[e(t-nT)]=e(kT-nT)z-k=z-n^e[(k-n)T]-

k=0k=0

j=k-n8

=z-"Ze(〃)zT=z-"E⑶

j=n

證(3)式：〃=1時：

Z[e(t+T)]=￡e(kT+T)zk=z￡e[(k+1)T)]-z-(*+l)

k=0k=Q

j=k+\J、

=z^e(jT)-z~j

7=1

=z[￡e(/T)z7-e(O)-z°]=z[E(z)—e(0)]

j=0

〃=2時：

CO00

Z[e(t+2T)]=Ze(kT+2T)1=jge[(4+2)7)1-r(t+2)

k=0k=()

j=k+28

=^2[￡e(jT)z->-e(0).z°-?)/]

j=0

=z2[E(z)—ge(Sz\

k=0

綜合有(3)式。

例：e(f)=t—T,求E(z)=?

解：Z[e(f)]=Z[kT一T]=Z-'Z[kT]^z-'若j

例：e(f)=f+2T,求E(z)=?

解-：E(z)⑶=式z?[T廠7/'Tz\

(Z—1)A=o

2舟-。"段"Z

(3)復位移定理：Z[e(tye^']=E^,-e±aT)(4)

證：左=￡6(〃7>/""々一"

M=0

令4=z-e士"

左右￡e(〃/&一"=E(Z1)=E(z?e±")=

n=0

例：e(t)=t-e~a,求E(z)=?

解：已知

(z—l廠

依(4)Z[e(t)]=Z[t-e-at]=_3_=--——z-

(z,-l)2r(zD

(4)初值定理：lime(〃T)=limE(z)(5)

/l->0ZT8

00

證：依定義￡(z)=Ze(〃丁丁一"=e(0)+e(T)zi+e(2T)z"+…

n=0

limE(z)=e(0)=lime(nT)

Z-80

Z—1

(5)終值定理!即657)=1吧二成2)(6)

、十⑶

證：Z[e(k+1)T-e(AT)]=z￡(z)-ze(0>￡(z)

=(Z-l)E(Z)-ze(0)

(z—l)E(z)=ze(0)+z[e(k+1)T-e(ZT)]

取極限:

lim(z-1)E(2)=lim{ze(O)+Y[e(k+1)T-e(kT)]z~k}

z—>1Z->1.八

K=0

=e(0)+[e(T)—e(0)]+[e(2T)-e(T)]4—=e(0)-e(0)+e(oo)=e(oo)

，792<，

例：石⑶=------------7°----------------求e(0),e(8)o

1J(2-1)(?-0,4162+0,208)^

,,、z-l0.792?0.792

4星.e(oo)=lim----------------------------=---------------

-Iz(2-1)(22-0.4162+0.208)1-0.416+0.208

e(0)=limE(z)=0

Z->8

(6)卷積定理：設：u\t)=e\t)*g\t)=^e(kT)-g[(n-k)T]

k=0

則U(z)=E(z>G(z)

(6)Z域微分定理：Z[t-e(t)]=-zT—E(z)(7)

dz

co

證：E(z)=Ze(〃T)，z-"

n=0

dd工產，d

dzdz“=()?=()dz

81_100

=Y-e(nTX-Tn)z~n~'Z=—Ye(〃T)?nT

￡zTzT￡

=^-Z[re(0]

:.Z[t-e(t)]=-zT—E(z)

dz

例:Z[t]=Z{t?*}=-zT—Z{][t]}=-zT——

dzdzz-1

(z-1)-zzT

=-7/------------------=---------------

(Z—1)2(Z—1)2

例：和］“小52㈤一嚏舟

T2(Z—1)2—z-2(z—l)-i-2zzT2(l+z)

=-71----------------=-71-z------=---------

(Z-I)4(Z-I)3(z-1)3

(7)Z域尺度定理：zaw)]=E(5)a:常數(8)

a

oo8q-“7

證：左=￡a"e(〃T)-z-"=Ze("TA(W)-"=￡(z,)=￡(4)

?=o?=0aa

例:e(t)=pcosa)t,E(z)-?

翩7T查表z(z-cosoT)

用牛：Zfcoscot]=--------------

z2-2zcos(oT+1

由(8)：

JCOS”]1oT-1T

Z步coscot]=-----------------=——[zcos由

京2_2京COSW+11-2,z'cosM+廿Y

"基級數法(長除法)

4、z反變換都分分式法(查表法)E(z)唯一對應e*(t)稗-->e(t)

留數法

例1、E(z)=—9一用三種方法求反變換e*(f)=?

(z-l)(z-2)

解一：用嘉級數法:

10z

E(z)=

J-3z+2

Z」+3Z-2+7Z-3+15Z」+3]Z-5...

濟3Z+2/Z+OZ%OZ-1+OZ'2+0Z'3+OZ'4

Z-3+2Z'1

3-2Z-1+0Z-2

3-9Z4+6Z'2

7Z-1-6Z_2+0Z-3

7Z“-21Z，i4z-3_________

15Z-2-14Z'3+0Z'4

15Z-2-45Z-3+30Z-4

31Z'3-30Z'4

E(z)=10[z-1+3z-2+lz~3+15z4+3lz-5+…]

解二:

e(r)=10[J(z-T)+33”2T)+7*-3T)+153”4T)+3W-5T)+---]

部分分式法：

E⑶1010[(z-l)-(z—2)]111

z-a-l)(z-2)-(z-D(z-2)-Z-2Z-1

zz

..?磯]

z)=10[-^-0.693

z—2z-ez-1

杳表0.693人-

e(t)=10[eT-l]=10[2T-l]

QOQO

H

e*Q)=￡e(nT)6(1—U)=g10(2-1)-^(r-nT)

n=0〃=0

解三：留數法:

-1,

nl⑶比‘飛

e(nT)=YRes[E(z)z-]=——\Ez平面上包圍全部極點

2兀j

的曲線r積分

Z1=1

E⑺=———

(z—l)(z—2),2=2

7：-1

10z-z77

e(nT)=gRes[]=10[lim——+lim——]=10[-l+2z,]

i=\(z-l)(z—2)zf(Z-2)Zf2(z-1)

0000

e*Q)=Ze(〃T2Q-nT)=^10(1-2"W-nT)

n=0n=0

2

Z

例2：七(z)=用部分分式法，留數法求反變換e*⑺

(z-0.8)(z-0.1)

解一：部分分式法:

z-1-.-1-4--+---0-.-1-4-

z(z—0.8)(z—0.1)z~0.8z—0.1

z—0.8z-0.1

查表tt

e(f)=1.14xO.8T-0.14x0.lr

8

e*(t)=￡[1.14x0.8n-0.14x0.1nW-nT)

n=0

=b(t)+0.9^(t-T)+0.74^(t-2T)+0.58b(t—3T)+0.475(t—4T)+…

解二：留數法:

z24=0.8

E(z)=

(z-0.8)(z-0.1),2=0.1

2z2-zn~'

e(nT)=￡Res]1

i=\(z-0.8)(z-0.1)

z""I"”

=lim(z—0.8)?+lim(z-0.1)?

[—>0.8(z-0.8)(z-0.1)z->0.1(z-0.1)(z-0.8)

z向z〃+i0.8w+Io.r,+1

=lim-------+lim-----------=------------------

-0.8(z—0.1)一°」(z—0.8)0.70.7

=—(0.8,,+l-0.1,,+l)

0.7

00001

e*(t)=Ze(U)b(t-nT)=Z—(0.8n+I-0.1n+1nT)

n=0n=00?7

例已知E(z)=—求e*(f)=?

(z-a)

解：用留數法：

e(nT)=Res[-5(Z=。是石(z)的二重根)

z=a(z-a)

=」一lim—[(z-tz)2?―J-z"T]=51im—3一)

(2-l)!=-?°dz(z-a)-J"dz

=5一Dz"/=5(〃-l)an-2

Z—>a

例：已知E(z)=22廣?試求Z反變換e(nT)=?

(z'+l)-

4常.磯%)=2(1一1)1)=2([2一1)

'z-(z2+1)2-[(z+j)(z-j)]2-(z+j)2(z-j)2

ABCD

------H-------1------TH------

(z+j)2(z+j)(z-j)2(Z-J)

...2Z2f)=A(z-j)2+B(z+j)(z-j)2+C(z+j)2+D(Z-j)(z+j)2

z=-，：2?l-1)=A(-2/)2-A=1

z=+j:2(—l_l)=C(2_/)2fC=]

2/f)=(z-J/+a+抒+B(z+j)a_j)2+。仁一/)(z+jy

222

=(？-2j-l)+(z+2；-l)+B(Z+J)(Z-J)+O(z-j)(z+j)

=2(z2-l)+B(z+jXz-jY+D(z-j)(z+j，

:,B=D=0

11zz

E(z)=Z[------+-----d=—J+—J=耳(z)+區(z)

(z+/)2a-；)2a+/)2a-；)2

依留數法:

e(nT)=VResE{z}-zn-l=Res4(力zn-l=Res&G)?-n~l

Z+jZTj

]

Resg(?).廣】=lim—[(二+/)2尸]

"72=-j比

=lim—[z./n-1)]=nz(fl-1)

z-Jdz

Res￡1,(")?~n~l=lim—[(z—j):---=~--r*"-1']=lim—~n

z-J-z=jdz'(r-j)z=jdz

&N(-/)g)+(/)(”】)]=」.[山￡

2-j

nn

(e，2—(e，2)".兀n

=2n--------------=2nsin——

2.72

00

e*Q)=Ze("T)?況fT)

〃=0

00

=2>[(-)嚴+(/尸]3。一")

n=0

=0-必)+2-即-7)+03"27)+2-5(/-37)+0?必一47)+…

8n7T

=Z2〃?sin---3(t-nT)

n=02

§6.4離散系統數學模型

1、線性差分方程及其解法：

(1)差分定義：記e(b)為e(k)

一階前向差分：△e(k)=e(k+l)-e(A)e'(f)=e("+；

二階前向差分：A2e(k)=ke(k+1)-Ae(Z)=[e[k+2)-e(k+l)]-[e()t+l)-e(fe)]

<二e(&+2-26(左+1)+0(攵)

n階前向差分：Ne")=伏+1)-(左)

同理定義后向差分：Ve⑹=e(Z)-e(女-1)

(2)差分方程：由變量及其各階差分構成的等式

|變量沿時間序列上的遞推方程

[宜于計算機遞推求解

例：已知連續系統微分方程為：2-46+3e=?f)=l(f)e(0>0

現將之離散化，改用采樣方式對系統進行控制，求對應的(前向)差分方程。

(T=l")

解：用各階前向差分方程代替原方程中的各階導數(T=l時可以如此近似處

理),得：^e(k)-4/^e(k)+3e(k)=1(*)

依差分定義：e伏+2-2eC+l)+e(k)

-4以左+1)-e(&)]

+3小)

離散系統差分方程卜"+2)-6e(A+l)+8e⑹=1⑹相應微

e(&)=0(k40)

可以遞推求解：

e(l)=6e(0)-8e(-1)+1(-1)=0

e⑵=6e⑴一8e(0)+l(0)=l

e(3)=6e(2)-8e(l)+l(l)=7

(3)差分方程求解：(與連續域中用拉氏變換方法解微分方程的方法相類似)

I：求初條件，在(*)式中，令k=T

e(l)-6e(0)+8e(-l)=l[-l]

e(0)=0

e⑴-6x0+8x0r>(**)

^(1)=0

II:求E(z)：對(*)兩邊同時進行Z變換:

(?*)

Z[e(k+2)]=Z2[￡(Z)-e(0)-=z2￡(z)

(**)

Z[e(&+l)]=Z[E(z)—e(0)]=zE(z)

/.Z[e(k+2)—6e(k+l)+8e(R)]==-

z-1

?E(z)-6zE(z)+8E(z)=-

z-1

77

后⑶=------------;-------------=-----------------------------

(Z-1)(Z2-6Z+8)(Z-1)(Z-2)(Z-4)

ni：z變換求解：依反變換公式:

3Z'Z”T

e(〃T)=>,Res

/=!(z-l)(z—2)(z—4)

=Re$----------------------FRes----------------------bRes---------------------

)(z-l)(z—2)(z—4)z=2(z—i)(z—2)(z—4)z=40-i)(z—2)(z—4)

n

「zrz「z

=lim------------Flim-----------+lim-----------

-1(z-2)(z-4)-2(z-1)(Z-4)-4(z—1)(Z-2)

2、脈沖傳遞函數

(1)、脈沖傳遞函數的定義:

零初始條件下，離散系統輸出脈沖序列Z變換與輸入脈沖序列Z變換之比。

C(z)

G⑵

R(z)GQ)

注①G(z)是離散信號到離散信號之間的傳

遞關系；是線性系統(或環節)與采樣開關組合體的脈沖傳遞函數。

②當系統輸出是連續信號時，可虛設一個輸出采樣開關，沿用G(z)概念。

(2)G(z)的求法:

①Z[G(s)]竺G(z)

②…系統差分方程Z變-換2=GQ)

R⑶

(3)G(z)的性質:

①G(z)是復變量z的有理分式(一般是有理真分式);

②與相應的系統差分方程有直接聯系;

③是系統b⑴響應序列的Z變換；?1

7'=3S)/7“11/位z)

④與z平面上一定的零極點分布圖相對豕布一

應。

例：如右圖所示系統：

G(L=Z』

Z平面零極點分布

(l-g-r)z(l-e-r)z0.632z0.632Z-1

(z-l)(z-e")-F一(1+e")z+e”z2-1.368z+0.368-1-1.368-1+0.368z-2

?、C(z)0.632r'

G(z)=-----=-----------：----------r

R(z)l-1.368z-'+0.368z~2

(l-1.368r'+0.368z-2)C(z)=0.632//?。

c(jl)-1.368c(jt-1)+0.368c(A-2)=0.368r(A-1)

3、開環脈沖傳遞函數

(1)環節間無采樣開關相隔時:

G(z)=GiG4z)

10K1“RS+10—L

G(z)=Z[---------J-KN]J

5(5+10)--------5(5+10)

KZ[--—!—]

5+10

Gz(S)

\.—e-mGG)

=儀1TOT]=收

z-lz-e(z-l)(z-e-s)

(2)環節間有采樣開關相隔時:

G(z)=G,(z)-G,(z)

Z[-]Z[

s

Kz10z10Kj

O(S)

z-1z-e-'0T(z-l)(z-e-|or)G(s)2

注：一般地,G[G2(Z)=Z[G(S)G2(S)]HG1(Z>G2(Z)=Z[G](S)]Z[G2(S)]

(3)帶有零階保持器時的情況

⑵

~、6l-e*10K?G

G(z)=Z[---------------------]C*

S5(5+10)1-g-srK

(O.is+l)

=K(1-Z”[」5一]

52(5+10)

z—lTz(1—”)Z1

=K「兒K

21

Z(z-1)10(11)("，(O.ls+1)

L_-sr

T(l-e-10r)(z-l)e

=K[]

z-110(z-e-10r)

KJOT(z—”7)-(1一1"—i)

]

(z-l)(z-"7)

_K(10T-1+e-所)z+(1-e-所一10會一所)

"W(z—l)(Z—e。

注：ZOH不斷增加系統的階次；不改變系統開環極點；它只影響開環零點。

4、閉環脈沖傳遞函數。⑵

采樣開關在離散閉環系統中有多種配置方式，求。⑶時一，一般沒有像梅遜公

式一樣的通用方法，需要根據閉環結構特點，用代數方法或結構圖變換方法

逐步導出「_/一廠系統的G(z)。

例1、

pli圖

區R(z)-HG(z)D

[I+”G(1)]E(二)=HQ)

El,(~、)=---R--(-二--)----

l+HGC)

J1

...(Dd=

R(二)1+//G(二)

例2：

例2圖

C(z)=G1(z)[E(z)-E1(z)]

E")=//[G](二)[E(二)一￡\(二)]

[1+HR(二)]E,(-)=⑵.馬(二)=""二)E(r)

I+HGO

【廠，VI”￡(工)GO

=(二)U---------]E(二)=-----!-------E(二)

1+5區(二)1+凡5(二)

E(二)=H(二)-&(力C(二)

C(z)i--^-[Z?(z)-/f2(z)C(z)]

[1+=(工。RQ)

1+5用(二)」1+G#i(二)

G](2)

1+G]旦(二)G1(二)

11d（二）七2（z）1+@%（二）+5（二）凡（二）

l+G/O

?根據開關后離散信號?離散信號列出中間方程，消去中間變量，可以得出

G(z)o

?由于采樣開關位置不同，系統信號通過中連續、離散信號的作用效應不同,

一般不能簡單應用連續系統中結構圖等效變換規則。所以，在離散系統中

進行結構圖等效變

c*

換化簡時一，要特別注C(t)

意變換的等效性。

例，求舒，嘉

解l：R（s）作用時:

C(z)=G3G2(z)?E(z)+G3H3M(z)?R(z)

而：E(z)=G《(z)R(z)—G"2G3G2(z)E(z)—3H3Hl(z)-R(z)

[1+G1H2G3G2(Z)]E(Z)=[G四(z)-GM2G3H3Hl(z)]R(z)

G"《)-G"2G

??心INJ————八INJ

1+G四G3G2(z)

.Cd式z）.*黑盟誓+G盧也⑵次⑵

C(z)G3G2⑵G冏(z)-G3G2(z)。”2G343耳(z)+G3H再、(z)+G3HM6)G\H2G3G式z)

???①⑵=

R⑵1+GI//2G3G2(Z)

解II：N(s)作用時：C(z)=H4G3(Z)-7V(z)+G3G2(Z)-E(z)

而:E(z)=-5”2G3G2(z)?E(z)-G"2G3"4(z)?N(z)

[1+G"，aG,(z)]E(z)=-5”,@"4仁)?N(z)

…⑵

??CziQz)—GG(堵㈱篇[*z)

G3G式z)G"2G3也⑵C(z)

.?.O.(Z)=HG(Z)-

431+G]H2G3G2(z)N(z)

?以下兩種情形下，可以利用梅遜公式（推導G（z））,或C（z）表達式。

（1）單回路離散系統（不存在前饋），且前向通道存在一個實際采樣開關時;

（2）系統結構圖中各環節間都存在（或等效存在）采樣開關時。

?輸入端不存在（或等效存在）采樣開關時，R（z）不能分離，只能寫出C（z）

表達式。

例4、系統如右,求C（z）表達式。

解：c（z）=aR（z）G2（z）

1+G2//G,（Z）

例5、系統如右，求中（力=也

R（z）

解：①々）=^^=--------------

R⑶l+G（z）〃（z）+5G（z）

§6.5采樣系統穩定性與穩態誤差

1、S域到Z域的映射及Z域穩定判據。

⑴⑵

s=（r+jet）

Z=eTs=eaT-eiTo,=eaTZ.T（D=\^e

0=Zz=Teo

參數[s]圖型[z]圖型

產行于虛軸的直線原點為圓心的圓

--1

(T=<0。任意5=-1+j(De"

+1■■S=jCD半徑|z|=?0

5=1+JCDe+T

)K平線

用常值勤謝線

0S=(J

q/8s=cr+j—0

8

b任意CD=\CDJ47r/40=Tco

.也

34/8■■s=b+/—0=<4/22萬

4=

L/237cl4rT

.3q

S=CT+]--

871

,CDs

(2)z域穩定判據。

采樣系統穩定受特征根全部位于平面的單位圓內。

△穩定判據的解析說明：設系統中①⑶=絲@="例⑶

“⑴口(z-P，)i(z-R)

/=|

當擾動輸出《)=6⑺時：

R(Z)=1￡az

C(z)=O)(z)-R(z)=①(z)=Z—

r=iz-p,

eg本a,p：

1=1

當Vz,i=1,2,…pjf0

C(仃)=￡4P>=0n隨時間增加，系統回到平衡位置。

n系統穩定。

例：已知系統脈沖傳遞函數:

(l-e-flr)-z(z+l)

①⑵(a>0,r>0)

(z—l)(z—e")2

判定系統穩定性

解：依題

]q=l一有一個根落在單位圓上，系統臨界穩定。

aT

[z2=e-<1

(3)朱利穩定判據避免直接解根，由D(z)判定系統穩定性。

2n(a?>0)

設閉環系統特征根為：D(z)=a^+axz+a2z+?■?+anz

列朱利矩陣:

行數z°z"~J-...........zn

1a()a\a2an-J-...............an-\an

2您%??-2%-.....%?0

3%b/

瓦b2%?...............n-\

4b/

如bn_2bn_3H-.....4)

*eC

Cn-j-n-2//

/

Cj-2,…。0/

2〃-5PoP|Pl，3/

PlPo/

2?-4P3p2

2〃-3%q.%/

2n-2%q1q。/

元素定義:

PoP3PoP2PoPl

q。一nq、%

Pi°oPiPiP3Pl

>0,〃為偶數時;

。⑴>0,0(