名校聯考聯合體2023年春季高二第一次聯考數學時量120min滿分150分一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數滿足，其中是虛數單位，則()A. B. C. D.2.如圖，在中，，則()A.9 B.18 C.6 D.123.的展開式中，常數項為()A. B.C. D.4.在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上的點，則()A. B. C. D.5.已知等比數列的各項均為不等于1的正數，數列滿足，則數列前項和的最大值等于()A.126 B.130 C.131 D.1326.現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確是()A.每人都安排一項工作的不同方法數為B.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為480C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為300D.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是1267.在平面直角坐標系中，，，若圓：上存在點，使得，則的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知圓在橢圓的內部，點為上一動點.過作圓的一條切線，交于另一點，切點為，當為的中點時，直線的斜率為，則的離心率為()A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從含有3道代數題和2道幾何題的5道試題中隨機抽取2道題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則()A.“第1次抽到代數題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件B.“第1次抽到代數題”與“第2次抽到幾何題”相互獨立C.第1次抽到代數題且第2次也抽到代數題的概率是D.在有代數題的條件下，兩道題都是代數題的概率是10.下列結論正確的有()A.若隨機變量滿足，則B.若隨機變量，且，則C.若樣本數據線性相關，則用最小二乘估計得到的經驗回歸直線經過該組數據的中心點D.根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到．依據的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.0511.已知函數，，則下列說法正確的是()A.在上增函數B.，不等式恒成立，則正實數的最小值為C.若有兩個零點，則D.若，且，則的最大值為12.數列滿足，，數列的前n項和為，且，則下列正確的是()A.B.數列的前n項和C.數列的前n項和D.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數的定義域為，且函數為奇函數，若，則______．14.已知隨機變量,且，若,則的最小值為_________．15.已知數列滿足，其前項和為，則________．16.已知函數滿足，若方程有五個不相等實數根，則實數的取值范圍為___________.四、解答題:本題共6小題，共70分．解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．17.已知是等差數列，是公比不為1的等比數列，．(1)求數列的通項公式;(2)若集合，且，求中所有元素之和．18.小明參加一個挑戰游戲，他每次挑戰成功的概率均為．現有3次挑戰機會，并規定連續兩次挑戰均不成功即終止挑戰，否則繼續下一次挑戰．已知小明不放棄任何一次挑戰機會，且恰好用完3次挑戰機會的概率是．(1)求的值;(2)小明每挑戰成功一次，可以獲得500元獎勵，記其獲得的獎勵金額為，求的分布列及數學期望．19.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AA1＝8，點D在線段AB上．(1)當AC1平面B1CD時，確定D點的位置并證明；(2)當時，求二面角B－CD－B1的余弦值．20.2022年12月15至16日，中央經濟工作會議在北京舉行.關于房地產主要有三點新提法，其中“住房改善”位列擴大消費三大抓手的第一位.某房地產開發公司旗下位于生態公園的樓盤貫徹中央經濟工作會議精神，推出了為期10天的促進住房改善的惠民優惠售房活動，該樓盤售樓部統計了惠民優惠售房活動期間到訪客戶的情況，統計數據如下表：(注：活動開始的第i天記為，第i天到訪的人次記為，)(單位：天)1234567(單位：人次)12224268132202392(1)根據統計數據，通過建模分析得到適合函數模型為(c，d均為大于零的常數).請根據統計數據及下表中的數據，求活動到訪人次y關于活動開展的天次x的回歸方程，并預測活動推出第8天售樓部來訪的人次；參考數據：其中；參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；(2)該樓盤營銷策劃部從有意向購房的客戶中，隨機通過電話進行回訪，統計有效回訪發現，客戶購房意向的決定因素主要有三類：A類是樓盤的品質與周邊的生態環境，B類是樓盤的品質與房子的設計布局，C類是樓盤的品質與周邊的生活與教育配套設施.統計結果如下表：類別A類B類C類頻率0.40.20.4從被回訪的客戶中再隨機抽取3人聘為樓盤的代言人，視頻率為概率，記隨機變量X為被抽取的3人中A類和C類的人數之和，求隨機變量X的分布列和數學期望.21.設函數．(1)求曲線在點處切線方程;(2)若對所有的，都有成立，求實數的取值范圍．22.設函數.(Ⅰ)討論導函數的零點的個數；(Ⅱ)證明：當時.名校聯考聯合體2023年春季高二第一次聯考數學時量120min滿分150分一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數滿足，其中是虛數單位，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡復數為，結合復數模的求解方法可得答案.【詳解】由題意，，，．則．故選：C2.如圖，在中，，則()A.9 B.18 C.6 D.12【答案】D【解析】【分析】由可得，則，代入化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，所以，所以，，因為，所以.故選：D3.的展開式中，常數項為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出展開式的通項公式，然后求出其一次項系數和常數項，從而可求得結果.【詳解】展開式的通項公式為，所以的展開式中，常數項為，故選：D4.在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上的點，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數定義得，再根據二倍角公式計算即可.【詳解】解：因為點為角終邊上的點，所以，由三角函數的定義知，所以故選：A5.已知等比數列的各項均為不等于1的正數，數列滿足，則數列前項和的最大值等于()A.126 B.130 C.131 D.132【答案】D【解析】【分析】先根據求出等比數列的首項和公比，求出，利用等差數列求出前項和，結合二次函數求解最值.【詳解】由題意可知，，．又，，則，，解得，．又為正項等比數列，∴，即為等差數列，且，．故．．又，故或12時，．故選：D．6.現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是()A.每人都安排一項工作的不同方法數為B.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為480C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為300D.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是126【答案】D【解析】【分析】根據乘法原理，結合排列和組合的定義逐一判斷即可.【詳解】每人都安排一項工作的不同方法數為，即選項A錯誤，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為，即選項B錯誤，如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為：，即選項C錯誤，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是，即選項D正確，故選：D．7.在平面直角坐標系中，，，若圓：上存在點，使得，則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設，由兩點距離公式結合可得，又點Р在圓C上，可得兩圓心距離范圍，即可列式求得的取值范圍.【詳解】設，所以，即，又點Р在圓C上，所以，解得，即的取值范圍是.故選：A.8.已知圓在橢圓的內部，點為上一動點.過作圓的一條切線，交于另一點，切點為，當為的中點時，直線的斜率為，則的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當點為中點時，由點差法可得，再由與圓相切可得，可解出；設為的左頂點，連接，則，根據正切的二倍角公式可解得，即得出，將和代入得，然后解出離心率.【詳解】設，，，則，.將，的坐標分別代入的方程，得，兩式相減，得，所以，即.當為的中點時，，則，故.如圖，設為的左頂點，連接，則，所以，整理得，解得或(舍去)，則，所以，所以，故的離心率.故選：C.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，難度較大，解答的關鍵在于根據題目條件解出和，然后運用點差法得出而得出，的關系求解離心率，其中難點在于根據得到，運用二倍角公式解出從而得出.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從含有3道代數題和2道幾何題的5道試題中隨機抽取2道題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則()A.“第1次抽到代數題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件B.“第1次抽到代數題”與“第2次抽到幾何題”相互獨立C.第1次抽到代數題且第2次也抽到代數題的概率是D.在有代數題的條件下，兩道題都是代數題的概率是【答案】ACD【解析】【分析】根據互斥事件，獨立事件的定義判斷AB，利用條件概率公式計算判斷CD．【詳解】“第1次抽到代數題”與“第1次抽到幾何題”這兩個事件不可能同時發生，它們互斥，A正確；“第1次抽到代數題”這個事件發生與否對事件“第2次抽到幾何題”發生的概率有影響，“第1次抽到代數題”發生時，“第2次抽到幾何題”的概率是，“第1次抽到代數題”不發生時，“第2次抽到幾何題”的概率是，它們不獨立；B錯；第1次抽到代數題且第2次也抽到代數題的概率是，C正確；抽取兩次都是幾何題的概率是，因此有代數題的概率是，在有代數題的條件下，兩道題都是代數題的概率是，D正確．故選：ACD．10.下列結論正確的有()A.若隨機變量滿足，則B.若隨機變量，且，則C.若樣本數據線性相關，則用最小二乘估計得到的經驗回歸直線經過該組數據的中心點D.根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到．依據的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據方差的性質判斷即可；對B，根據正態分布的對稱性判斷即可；對C，根據回歸直線的性質判斷即可；對D，根據獨立性檢驗的性質判斷即可【詳解】對A，由方差的性質可知，若隨機變量滿足，則，故A錯誤；對B，根據正態分布的圖象對稱性可得，故B正確；對C，根據回歸直線過樣本中心點可知C正確；對D，由可知判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05，故D正確故選：BCD11.已知函數，，則下列說法正確的是()A.在上是增函數B.，不等式恒成立，則正實數的最小值為C.若有兩個零點，則D.若，且，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A選項中，令，利用導數可求得單調性，根據復合函數單調性的基本原則可知A正確；B選項中，利用導數可求得在上單調遞增，由此可將恒成立的不等式化為，令，利用導數可求得，由可知B正確；C選項中，利用導數可求得的單調性，由此確定，若，可等價轉化為，令，利用導數可求得單調性，從而得到，知，可得C錯誤；D選項中，采用同構法將已知等式化為，從而可確定，結合單調性得到，由此化簡得到，令，利用導數可求得最大值，知D正確.【詳解】對于A，當時，，令，則，，，當時，恒成立，在上單調遞增；在上單調遞增，根據復合函數單調性可知：在上為增函數，A正確；對于B，當時，，又為正實數，，，當時，恒成立，在上單調遞增，則由得：，即，令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，，則正實數的最小值為，B正確；對于C，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，則；不妨設，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，，，，即，在上單調遞增，，即，，可知不成立，C錯誤；對于D，由，得：，即，由C知：在上單調遞減，在上單調遞增；，，則，，，即，；令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，即的最大值為，D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：本題C選項考查了導數中的極值點偏移問題；處理極值點偏移中的類似于()的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.12.數列滿足，，數列的前n項和為，且，則下列正確的是()A.B.數列的前n項和C.數列的前n項和D.【答案】BCD【解析】【分析】求得數列的通項公式判斷選項A；求得數列的前n項判斷選項B；求得數列的前n項和，進而判斷選項C；求得數列的前項和進而判斷選項D.【詳解】由，有，又所以是首項為，公差為的等差數列，則，則，則，A錯誤；由，可得，解之得又時，，則，整理得則數列是首項為3公比為3的等比數列，則，則數列的前項和，B正確；，則數列的前項和，C正確；設數列的前項和，則，，兩式相減得整理得，則當時，，D正確.故選：BCD.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數的定義域為，且函數為奇函數，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用奇函數的性質，結合代入法進行求解即可.【詳解】，因為函數為奇函數，所以故答案為：．14.已知隨機變量,且，若,則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】先根據正態曲線的對稱性可求，結合基本不等式可求答案.【詳解】，可得正態分布曲線的對稱軸為，又，，即．則，當且僅當，即時，等號成立故答案：.15.已知數列滿足，其前項和為，則________．【答案】##【解析】【分析】先對通項公式進行變形為，然后利用二項式定理進行求和.【詳解】因為，.故答案為：.16.已知函數滿足，若方程有五個不相等的實數根，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】令，則方程轉化為，原問題等價于有兩個根，再根據一元二次方程根的分布列出不等式組求解即可得答案.【詳解】令，則方程轉化為，作出函數的圖象如下圖所示，由題意，方程有五個不相等的實數根，即有一個根，一個根或有一個根，一個根令，當有一個根，一個根則解得：，當有一個根，一個根則解得：，綜上，實數m的取值范圍為故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解四、解答題:本題共6小題，共70分．解答應寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．17.已知是等差數列，是公比不為1的等比數列，．(1)求數列的通項公式;(2)若集合，且，求中所有元素之和．【答案】(1)，(2)242【解析】【分析】(1)根據等差數列和等比數列的通項公式求解，可得答案；(2)先根據，以及得出的范圍，利用等比數列求和可得答案.【小問1詳解】設的公差為d，的公比為q，則由，，可得，解得．所以，.【小問2詳解】設，即，得，因為，所以，故，由于，所以，即，所以中所有元素之和為：．18.小明參加一個挑戰游戲，他每次挑戰成功的概率均為．現有3次挑戰機會，并規定連續兩次挑戰均不成功即終止挑戰，否則繼續下一次挑戰．已知小明不放棄任何一次挑戰機會，且恰好用完3次挑戰機會的概率是．(1)求的值;(2)小明每挑戰成功一次，可以獲得500元獎勵，記其獲得的獎勵金額為，求的分布列及數學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為.【解析】【分析】(1)利用對立事件以及所給概率值可求出的值；(2)先求的所有取值，分別求解每個取值對應的概率，可得分布列，利用期望公式可得期望.【小問1詳解】設事件A：“恰用完3次挑戰機會”，則其對立事件：“前兩次挑戰均不成功”，依題意，，解得．【小問2詳解】依題意，X的所有可能值為，，，；，,,故,X的概率分布列為：X050010001500P數學期望.19.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AA1＝8，點D在線段AB上．(1)當AC1平面B1CD時，確定D點的位置并證明；(2)當時，求二面角B－CD－B1的余弦值．【答案】(1)D是AB的中點，證明見解析(2)【解析】【分析】(1)連接BC1，交B1C于點E，連接DE，由題意證得DEAC1，再由線面平行的判定定理即可證明.(2)以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，分別求出平面和平面B1CD的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】當D是AB的中點時，AC1平面B1CD．證明：連接BC1，交B1C于點E，連接DE.因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以側面BB1C1C為矩形，DE為的中位線，所以DEAC1.因為DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD，所以AC1平面B1CD．【小問2詳解】由AB＝10，AC＝8，BC＝6得AC⊥BC．以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，則B(6，0，0)，A(0，8，0)，．設，因為點D在線段AB上，且，即.所以a＝4，b＝.所以＝(－6，0，－8)，＝(4，，0)．平面BCD的一個法向量為＝(0，0，1)，設平面B1CD的法向量為＝(x，y，1)，由·＝0，·＝0得所以，y＝2，，．設二面角B－CD－B1的大小為θ，cosθ＝，所以二面角B－CD－B1的余弦值為.20.2022年12月15至16日，中央經濟工作會議在北京舉行.關于房地產主要有三點新提法，其中“住房改善”位列擴大消費三大抓手的第一位.某房地產開發公司旗下位于生態公園的樓盤貫徹中央經濟工作會議精神，推出了為期10天的促進住房改善的惠民優惠售房活動，該樓盤售樓部統計了惠民優惠售房活動期間到訪客戶的情況，統計數據如下表：(注：活動開始的第i天記為，第i天到訪的人次記為，)(單位：天)1234567(單位：人次)12224268132202392(1)根據統計數據，通過建模分析得到適合函數模型為(c，d均為大于零的常數).請根據統計數據及下表中的數據，求活動到訪人次y關于活動開展的天次x的回歸方程，并預測活動推出第8天售樓部來訪的人次；參考數據：其中；參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；(2)該樓盤營銷策劃部從有意向購房的客戶中，隨機通過電話進行回訪，統計有效回訪發現，客戶購房意向的決定因素主要有三類：A類是樓盤的品質與周邊的生態環境，B類是樓盤的品質與房子的設計布局，C類是樓盤的品質與周邊的生活與教育配套設施.統計結果