壓軸題06計數原理、二項式定理、概率統計壓軸題六大題型匯總命題預測本專題考查類型主要涉及點為計數原理、二項式定理、概率統計相關的知識點。預計2024年后命題會繼續在上述幾個方面進行。高頻考法題型01概率與數列結合問題題型02二項式定理相關問題題型03排列組合新定義問題題型04概率統計與導數結合問題題型05進制問題題型06條件概率全概率問題01概率與數列結合問題遞推數列與概率知識的交匯問題，解決該類問題應該注意的事項有：（1）做好互斥事件的劃分，正確進行獨立事件概率的計算；（2）借助待定系數方法建立不同事件概率間的遞推關系，即構建遞推數列；（3）正確運用數列求通項公式或求和的方法解決問題.1.（21-22高二下·黑龍江雙鴨山·期中）足球運動被譽為“世界第一運動”．深受青少年的喜愛．為推廣足球運動，某學校成立了足球社團，社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲開始隨機地球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為Pn，即P（1）P2=0；（2）P3=1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.（23-24高三下·山東菏澤·開學考試）國際象棋是國際通行的智力競技運動.國際象棋使用8×8格黑白方格相間棋盤，骨牌為每格與棋盤的方格大小相同的1×2格灰色方格.若某種黑白相間棋盤與骨牌滿足以下三點：①每塊骨牌覆蓋棋盤的相鄰兩格；②棋盤上每一格都被骨牌覆蓋；③沒有兩塊骨牌覆蓋同一格，則稱骨牌構成了棋盤的一種完全覆蓋.顯然，我們能夠舉例說明8×8格黑白方格相間棋盤能被骨牌完全覆蓋.(1)證明：切掉8×8格黑白方格相間棋盤的對角兩格，余下棋盤不能被骨牌完全覆蓋；(2)請你切掉8×8格的黑白方格相間棋盤的任意兩個異色方格，然后畫出余下棋盤的一種骨牌完全覆蓋方式，并證明：無論切掉的是哪兩個異色方格，余下棋盤都能被骨牌完全覆蓋；(3)記m×n格黑白方格相間棋盤的骨牌完全覆蓋方式數為F(m,n)，數列{F(2,n)}的前n項和為Sn，證明：S3.（2024·江蘇常州·模擬預測）某游戲設置了兩套規則，規則A：拋擲一顆骰子n次，若n次結果向上的點數之和大于2n(1)若執行規則A，求拋擲次數恰為1次的概率；(2)若執行規則B，證明：拋擲次數的數學期望不大于3.4.（2024·浙江金華·模擬預測）現有n枚硬幣C1,C2,?,Cn(1)將C1,C2,C3(2)將這n枚硬幣拋起，求落下時正面朝上的硬幣個數為奇數的概率．5.（2023·河南開封·一模）某市每年上半年都會舉辦“清明文化節”，下半年都會舉辦“菊花文化節”，吸引著眾多海內外游客.為了更好地配置“文化節”旅游相關資源，2023年該市旅游管理部門對初次參加“菊花文化節”的游客進行了問卷調查，據統計，有23(1)從2023年初次參加“菊花文化節”的游客中隨機抽取三人，求三人合計得分的數學期望；(2)2024年的“清明文化節”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計劃免費向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務.已知游客甲每天的出行將會在該市提供的這兩種出行服務中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為45，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續選擇“單車自由行”的概率為14，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續選擇“觀光電車行”的概率為（i）求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）求甲第n（n=1，2，?，16）天選擇“單車自由行”的概率Pn02二項式定理相關問題6.（2018·上?！ひ荒＃┮阎?1+2x)6展開式的二項式系數的最大值為a，系數的最大值為b，則ba=7.（2024·浙江·模擬預測）已知(ax?1)2(2x?1)3=a08．（多選）（2024·全國·模擬預測）已知m∈N，m≥2，a1，a2，?，am∈0,1,2,?,9，記M=10m+i=1m10i?1aiA．若m=2，則GB．若m=19，則GC．對于任意奇數mD．對于任意整數m9．（2023·廣西南寧·二模）已知當x∈?12,12時，有11+2x=1?2x+4x10．（2024·湖南衡陽·二模）莫比烏斯函數在數論中有著廣泛的應用．所有大于1的正整數n都可以被唯一表示為有限個質數的乘積形式：n=p1r1p2r2???pkrk（k為n(1)求μ78(2)若正整數x,y互質，證明：μxy(3)若n>1且μn=1，記n的所有真因數（除了1和n以外的因數）依次為a103排列組合新定義問題11.（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習）將“用一條線段聯結兩個點”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”．若單位圓上n個顏色不相同且位置固定的點經過k次操作后，從任意一點出發，沿著邊可以到達其他任意點，就稱這n個點和k條邊所構成的圖形滿足“條件T”，并將所有滿足“條件T”的圖形個數記為T(n,k)，則T(5,4)=．12.（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）七選五型選擇題組是許多類型考試的熱門題型.為研究此類題型的選拔能力，建立以下模型.有數組a1,a2,…,ai和數組b1,b2(1)請直接寫出P(1),P(2)的值；(2)已知P(n+1)=(n+2)P(n)+nP(n?1).①對a1,a2,…,a5和b②試給出P(n+1)=(n+2)P(n)+nP(n?1)的證明.13．（2024·遼寧·模擬預測）若集合A,B,C，D滿足A,B,C都是D的子集，且A∩B，B∩C，A∩C均只有一個元素，且A∩B∩C=?，稱A,B,C為D的一個“有序子集列”，若D有5個元素，則有多少個“有序子集列”.14．（2024·遼寧·一模）十七世紀至十八世紀的德國數學家萊布尼茲是世界上第一個提出二進制記數法的人，用二進制記數只需數字0和1，對于整數可理解為逢二進一，例如：自然數1在二進制中就表示為12，2表示為102，3表示為112，5表示為1012，發現若n∈N+可表示為二進制表達式a0a1(1)記Sn=a(2)記In為整數n的二進制表達式中的0的個數，如I2=1（?。┣驣60（ⅱ）求n=151115．（2024·廣東·模擬預測）在組合恒等式的證明中，構造一個具體的計數模型從而證明組合恒等式的方法叫做組合分析法，該方法體現了數學的簡潔美，我們將通過如下的例子感受其妙處所在．(1)對于n元一次方程x1(2)對于n元一次方程組x1(3)證明：Cp+q+n+1注：x1=ax04概率統計與導數結合問題16.（2024·浙江杭州·二模）在概率統計中，常常用頻率估計概率．已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機摸球n次，紅球出現m次．假設每次摸出紅球的概率為p，根據頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率p的估計值為p=(1)若袋中這兩種顏色球的個數之比為1:3，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機摸取3個球，設摸出的球為紅球的次數為Y，則Y～注：PpY=k表示當每次摸出紅球的概率為p時，摸出紅球次數為（?。┩瓿上卤?；k0123P271P927（ⅱ）在統計理論中，把使得PpY=k的取值達到最大時的p，作為p的估計值，記為p，請寫出(2)把（1）中“使得PpY=k的取值達到最大時的p作為p的估計值具體步驟：先對參數θ構建對數似然函數lθ，再對其關于參數θ求導，得到似然方程l'θ=0，最后求解參數θ的估計值．已知Y～Bn,p的參數p17．（2024·山東濟南·二模）隨機游走在空氣中的煙霧擴散、股票市場的價格波動等動態隨機現象中有重要應用.在平面直角坐標系中，粒子從原點出發，每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位，且向四個方向移動的概率均為14.例如在1秒末，粒子會等可能地出現在(1)設粒子在第2秒末移動到點x,y，記x+y的取值為隨機變量X，求X的分布列和數學期望EX(2)記第n秒末粒子回到原點的概率為pn（i）已知k=0n(Cnk（ii）令bn=p2n，記Sn為數列bn的前n項和，若對任意實數M>0，存在18．（2024·重慶·模擬預測）函數fx(1)討論fx(2)若函數fx有兩個極值點x1,x2，曲線y=fx上兩點(3)盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：p<119．（2024·河北滄州·模擬預測）某景區的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務水平，現對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數分別為36、60和24．(1)若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（m>2且m∈N（i）試用含m的代數式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用gp表示恰有3組被標為B的概率，試求g20．（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國教育部發布了《中小學實驗教學基本目錄》，內容包括高中數學在內共有16個學科900多項實驗與實踐活動.我市某學校的數學老師組織學生到“牛田洋”進行科學實踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學生嘗試去摘全園最大的番石榴，規定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結果，學生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設小明在果園中一共會遇到n顆番石榴（不妨設n顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)顆番石榴，自第k+1顆開始，只要發現比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設k=tn，記該學生摘到那顆最大番石榴的概率為P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)當n趨向于無窮大時，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時t的值.（取1k05進制問題21.（20-21高三下·江蘇·階段練習）十六進制是一種逢16進1的計數制.我國曾在重量單位上使用過十六進制，比如成語“半斤八兩”，即十六兩為一斤.在現代，計算機中也常用到十六進制，其采用數字0～9和字母A～F共16個計數符號.這些符號與十進制的數的對應關系如下表：十六進制0123456789ABCDEF十進制0123456789101112131415例如，用十六進制表示：E+D=1B，則A×B=（

）A．6E B．72 C．5F D．BD22．（23-24高三下·江西贛州·期中）十進制計數法簡單易懂，方便人們進行計算.也可以用其他進制表示數，如十進制下，68=1×72+2×7+5A．1 B．2 C．5 D．623．（2022·江蘇南京·三模）19世紀，美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數表時，偶然發現表中以1開頭的數出現的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本福特又重新發現這個現象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數出現的頻率約為總數的三成，接近期望值19的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進制隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為Pbn=logbn+1n，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．根據本福特定律，在某項大量經濟數據（十進制）中，以6開頭的數出現的概率為24．（2014·吉林延邊·一模）給出下列命題：①已知線性回歸方程y=3+2x，當變量x②在進制計算中，100(2)③若ξ~N(3,σ2)，且P(0≤ξ≤3)=0.4④“a=011?⑤設函數f(x)=2014x+1+201325．（2022·安徽合肥·二模）通信編碼信號利用BEC信道傳輸，如圖1，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號與發來的信號完全相同；若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號.傳統通信傳輸技術采用多個信道各自獨立傳輸信號（以兩個信道為例，如圖2）．華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術專家ErdalArikan教授的極化碼技術（以兩個相互獨立的BEC信道傳輸信號為例）：如圖3，信號U2直接從信道2傳輸；信號U1在傳輸前先與U2“異或”運算得到信號X1，再從信道1傳輸．接收端對收到的信號，運用“異或”運算性質進行解碼，從而得到或得不到發送的信號（注：“異或”是一種2進制數學邏輯運算．兩個相同數字“異或”得到0，兩個不同數字“異或”得到1，“異或”運算用符號“⊕”表示：0⊕0=0，1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕1=1．“異或”運算性質：A⊕B=C，則A=C⊕B）．假設每個信道傳輸成功的概率均為p0<p<1．U(1)在傳統傳輸方案中，設“信號U1和U2均被成功接收”為事件A，求(2)對于極化碼技術：①求信號U1被成功解碼（即根據BEC信道1與2傳輸的信號可確定U1的值）的概率；②若對輸入信號U1賦值（如U1=006條件概率全概率問題條件概率公式P(A|B)=26.（多選）（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復n次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件An，Bn，A．PB1=59 B．P(C327.（2024·浙江寧波·二模）三個人利用手機軟件依次進行拼手氣搶紅包活動，紅包的總金額數為3nn≥2,n∈N個單位.第一個人搶到的金額數為1到2n?1個單位且等可能（記第一個人搶完后剩余的金額數為W），第二個人在剩余的W個金額數中搶到1到(1)若n=2，則第一個人搶到的金額數可能為1,2,3個單位且等可能.（i）求第一個人搶到金額數X的分布列與期望；（ii）求第一個人獲得手氣王的概率；(2)在三個人搶到的金額數為2,3,4的一個排列的條件下，求第一個人獲得手氣王的概率.28．（2024·浙江杭州·模擬預測）小蔣同學喜歡吃餃子，某日他前往食堂購買16個餃子，其中有X個為香菇肉餡，其余為玉米肉餡，且PX=iA．45 B．1316 C．141729．（多選）（2024·山西朔州·一模）在信道內傳輸M,N,P信號，信號的傳輸相互獨立，發送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為α0<α<1，收到其他兩個信號的概率均為1?α2．若輸入四個相同的信號MMMM,NNNN,PPPP的概率分別為p1,p2,p3，且p1+p2A．若輸入信號MMMM，則輸出的信號只有兩個M的概率為αB．PC．PD．P30．（2024·遼寧·三模）一個書包中有標號為“1,1,2,2,3,3,?,n,n”的2n張卡片.一個人每次從中拿出一張卡片，并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標號的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中有3張單張卡片或者書包中卡片全部被拿走，則操作結束.記書包中卡片全部被拿走的概率為Pn，則P3=.P31．（2024·浙江嘉興·二模）已知集合A=i=1m2ai∣0≤a1<a2<?<am,ai∈N，定義：當(1)寫出b(2)5,b(2)判斷88是否為數列b(3)(3)若2024是數列b(t)n中的某一項bt0n32．（2024·浙江杭州·模擬預測）在概率較難計算但數據量相當大?誤差允許的情況下，可以使用UnionBound（布爾不等式）進行估計概率.已知UnionBound不等式為：記隨機事件A1,?,A(1)有n個不同的球，其中k個有數字標號.每次等概率隨機抽取n個球中的一個球.抽完后放回.記抽取t次球