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文檔簡(jiǎn)介
基礎(chǔ)套餐練01
一、多選題
1.在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中,4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,60分以下視為不及格,若同一組中的
數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表,則下列說(shuō)法中正確的是()
A.成績(jī)?cè)冢?0,80)分的考生人數(shù)最多
B.不及格的考生人數(shù)為1000
C.考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分
D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分
【詳解】
解:由頻率分布直方圖可得,成績(jī)?cè)冢?0,80)內(nèi)的頻率最高,因此考生人數(shù)最多,故4正確;由頻率分布
直方圖可得,成績(jī)?cè)冢?0,60)的頻率為0.25,因此,不及格的人數(shù)為4000x0.25=1000,故B正確;由頻
率分布直方圖可得,平均分為45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正
確;因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?0,70)內(nèi)的頻率為0.45,[70,80)的頻率為0.3,所以中位數(shù)為70+10x^^71.67,
故O錯(cuò)誤,故選:ABC.
2.若函數(shù)/Cx)=2sin(x+2e)-cosx(0<e<5]的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),則結(jié)論不成立的是()
A.點(diǎn)(?,()]是y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心B.直線(xiàn)x=q是y=/(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸
C.函數(shù)y=/(x)的最小正周期是2"D.函數(shù)y=/(x)的值域是[0,2]
【詳解】由函數(shù)/(%)=2sin(x+2。)?cosx0<6<U的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),
7171
可得2sin26=2,即sin2夕=1,0<2。<",.二2夕=一,「.夕=一,
24
故/(工)=2sin(x+26)?cosx=2cos2x=cos2x+l,
71
當(dāng)工=一時(shí),/(%)=[故A、B都不正確;
4
2乃
/(X)的最小正周期為一=%,故C不正確;
2
顯然,f(x)=cos2x+le[0,2],故D正確,故選:ABC
,2
3.已知雙曲線(xiàn)'■-£=l(a>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工,P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),且歸國(guó)=2|PR|,
若sinN6P6=孚,則對(duì)雙曲線(xiàn)中。,4&e的有關(guān)結(jié)論可能正確的是()
A.e=>/6B.e=2C.b=\[5aD.b-yf^a
【詳解】由雙曲線(xiàn)的定義有歸耳|一歸周二2斯乂|尸盟=2|尸周,故仍周=2么|尸制=如
乂sin/^P瑪=萼,所以85/6尸6=±J1-
在焦點(diǎn)三角形△耳中,F(xiàn)、F;=P耳2+PF;—2PF?.PF2-cos/耳P6,即
4c~=16a-+4a~-2-4a?2a{±[[,化簡(jiǎn)得c?=6,/或c?=41,即e=瓜或e=2.
當(dāng)c2=6。2時(shí)a?+=6a2nb、5a2即b=45a-
當(dāng)c?=4a2時(shí)/+/=4a2=白=3a2即人=.綜匕ABCD均可能正確.
4.如圖,正方體ABCD—A4C;R的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AG上,F(xiàn),M分別是40、。的中點(diǎn),
則下列結(jié)論中正確的是()
A.FM/g
B.反以,平面CC/
C.存在點(diǎn)E,使得平面跳下〃平面CG
D.三棱錐8-CE尸的體積為定值
【詳解】在A中,因?yàn)榉謩e是AZ),CO的中點(diǎn),所以FMHAC/g,故A正確;
BCCD
在B中,因?yàn)閠anNBMC=——=2.tanZCFD=——=2,故ZBMC=ZCFD,
CMFD
TT
故ZBMC+NDCF=NCFD+NDCF=耳.故_Lb,又有6M,G。,
所以,平面CG尸,故B正確;
在C中,BE與平面CG2。有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn)E,使得平面BEF〃平面CGRD,故C錯(cuò)誤.
在D中,三棱錐B-CEF以面BCF為底,則高是定值,所以三棱錐B-CEF的體積為定值,故D正確.
故選:ABD.
二、解答題
5.正項(xiàng)數(shù)列{4}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足:Sj-(n2+H-l)S?-(n2+H)=0
(1)求數(shù)列{為}的通項(xiàng)公式/;
,?+15
(2)令2=7~不「",數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:對(duì)于任意的n£N*,都有TnV).
(〃+2)an64
【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列{明,}的前〃項(xiàng)和S”滿(mǎn)足:Si一(M+n-l)5?一(M+n)=0,
22
所以當(dāng)〃=1時(shí),S?-(l4-l-1)5J-(I+1)=0,BPS?-S]-2=0解得S1=2或Si=-1,
因?yàn)閿?shù)列{廝}都是正項(xiàng),所以g=2,
22
因?yàn)槎取?n+n—l)Sn—(n+n)=0,所以|S”一(7/+n)](Sw+1)=0,
解得Sn=/+〃或5"=一1,因?yàn)閿?shù)列{冊(cè)}都是正項(xiàng),所以Sn=M+。,
J
當(dāng)〃》2時(shí),有n”=S1f—Sn_p所以=M+〃—[(〃—1)4-(n—1)],解得=2/n
當(dāng)n=l時(shí),m=5i—2,符合-=2n所以數(shù)列{QQ的通項(xiàng)公式an=2m〃WN';
/八"+1,,,n+1n+1111,
(2)因?yàn)榱Α?Z2,Hrrli以力〃=3,~To~\2=1~2/.n\2=771r—2.7.
所以數(shù)列{鼠}的前n項(xiàng)和T”為:
I.?1111,1I,11,
.=而°r一短+7一?+*-市+…-戶(hù)+得一不肖]
111151r11
=而口+22-(n+I)2-(n+2戶(hù)上而一?l(n+l)2+(n+2)2^
當(dāng)“€N,時(shí),有初-訪(fǎng)h+1戶(hù)+(熊+2)水而,所以K?<小
所以對(duì)于任意nWN,,數(shù)列{鼠}的前n項(xiàng)和乙<總
6.在ABC中,角A氏C所對(duì)的分別為4,〃,。,向量機(jī)=(2a-,向量〃=(cos8,cosC),
且m//n-
(1)求角。的大小;
(2)求》=5m4+6411(8—搟)的最大值.
【詳解】(I)因?yàn)榧?/〃,所以24cosc-百bcosC-百ccos3=0
由正弦定理知:2sinAcosC-V3(sinBcosC+sinCcos8)=0,2sinAcosC->/3sin(B+C)=0
2sinAcosC—6sin(萬(wàn)一A)=0,2sinAcosC-V3sinA=0,
又A為三角形內(nèi)角,故sinA>0,
所以,2cosc-6=0,即cosC=@,C為三角形內(nèi)角,故。=[;
26
(2)由(1)知:4+8=萬(wàn)一0=且,則3—[=£-A,Ae(0,所以
632I6)
y=sinA+V3sin(5-y)=sinA+百sin6-4)=sinA+6cosA=2sin(A+g),Ae(0,即),
苧],則A+故A+^=匹,即4=工時(shí),V取最大值2.
I6J3[36)326
7.如圖,矩形ABC。所在的平面垂直于平面AE5,。為AB的中點(diǎn),NAEB=90°,NE48=30°,
AB=2。AD=3.
(1)求異面直線(xiàn)。。與所成角的余弦值;
(2)求二面角A-OE-C的正弦值.
【詳解】矩形A8CD所在的平面垂直于平面A即,。為A5的中點(diǎn),在平面AEB內(nèi)過(guò)。作AB的垂線(xiàn)交
AE于M,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得MO_L平面ABCD,
同理在平而ABCD內(nèi)面。作的垂線(xiàn)交CD:N,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得NO_L平面A£3,所以
OMQBQN兩兩互相垂直,
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,DNC
因?yàn)镹AEB=9G/EAB=30°,所以BE=;AB3-
易得C(0,G,3),D(0,—g,3),Ej,*,0M(0,-
的)'
/
(1)由上述點(diǎn)坐標(biāo)可知,OC=(0,G,3),OE=二妥,一3,所以也線(xiàn)。C與所成角的余弦值
22J
12-9廣
0\OCDE\\2V6
-\0C\.\DE\^^^-8:
^33/3、
(2)因?yàn)?。=(0,0,3),。石=大,+,-3,DC二二(0,26,0),設(shè)平面ADE1的法向量為加=(%,y,zj,
(22J
AD?機(jī)=3Z[=0
石=-3二取一=1,可得加=(一百J,。),
則〈33\/3解得<
DE?=—%H----y.-3z.=04=0
21211
DC-n-2V=0
設(shè)平面DEC的法向量為〃=(々,%,22),則,。艮〃=|馬+孚%-3Z2=0
x7=2Z7
解得《~八:取z=l,可得力=(2,0,1),
1%=0
\m-n\2V3
設(shè)二面角A—。E—C的平面角為a,則|cosa|=6
ImI-InIV3+1-A/4+1忑‘
8.追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市
環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)CAQD的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:
AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]
空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染
天數(shù)61418272510
(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50J,(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的
概率;
(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為
0,9<x<100
y=p20,100<x<250,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、
1480,250<x<300
重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中io。天的空氣
63612126
質(zhì)量的頻率代替.
(/)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;
(?)試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)
元?說(shuō)明你的理由.
【詳解】(1)設(shè)^為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),
C31
則P(4=2)
CJ57’
71?3
則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為」-+—=;
3857114
20
(2)(i)尸(X=0)=P(04x<100)=前
5
525。)=強(qiáng)7
P(X=220)=P(100
10
1
P(X=1480)=P(250<x<300)=—
)10010
X的分布列如下:
X02201480
271
p
5io-10
171
(")由⑺可得:E(X)=0x-+220x—+1480X—=302(元),
51010
故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E(X),即30E(X)=9060元,
設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為y元,可得:p(y=0)=-+---,
632
P(y=220)=-+—+—尸(y=1480)=,,E(D=0x-+220x-+1480xi=320(元),
,7612123\)6636
所以該企業(yè)7月、8月這兩個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320x(31+31)=19840(元),
由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成
經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元.
9.如圖,己知點(diǎn)尸為拋物線(xiàn)C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于M,N
兩點(diǎn),且當(dāng)直線(xiàn)/的傾斜角為45。時(shí),|MN|=16.
(1)求拋物線(xiàn)C的方程.
(2)試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得直線(xiàn)PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)?若存在,求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存
在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【詳解】解:(1)當(dāng)直線(xiàn)/的傾斜角為45。,則/的斜率為1,
F(日,o),;./的方程為y=》一春.
P
…不得/
由VN(W,%),則%+工2=3,,
=2px,
.?.|"兇=與+9+〃=4〃=16,。=4,.?.拋物線(xiàn)C的方程為>2=8》.
(2)假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸存在,設(shè)尸(a,0),由⑴知尸(2,0),
①當(dāng)直線(xiàn)/不與x軸垂直時(shí),設(shè)/的方程為y=A(x—2)(左。0),
<—2'得(4〃+8卜+4-=°,A=(4A:2+8)2-4.A:2.4A:2=64A:2+64>0,
由
4*24區(qū)
西十%二—=,=4;?直線(xiàn)PM,PN關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng),
k
?k+k-0k-"(?~~2)卜-M%-2)
??人PMT、PN_u9RpM~,凡PN~
xx-ax2-a
Mx_2)(/_〃)+%(工2—2)(工]_Q)=攵[2內(nèi)工2—(〃+2)(工1+9)+4〃]二—一〃+2)二0,
,a=-2時(shí),此時(shí)尸(一2,0).
②當(dāng)直線(xiàn)/與X軸垂直時(shí),由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,易知尸M,PN關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng),此時(shí)只需P與焦點(diǎn)F不重合
即可.綜上,存在唯一的點(diǎn)P(-2,0),使立線(xiàn)PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).
10.已知函數(shù)=一號(hào)產(chǎn)x—141nx的圖象在點(diǎn)。,/⑴)處的切線(xiàn)方程為10x+y+0=0.
(1)求〃,b的值;
(2)若加對(duì)xe(O,a)恒成立,求"?的取值范圍.
【詳解】解:(1)f'(x)=3ajc2-^-^--—
、)10x
因?yàn)?(X)在(1,/。))處的切線(xiàn)方程為10x+y+b=0,即y=-10x-6此時(shí)切線(xiàn)斜率%=—10.
則/'(1)=3。一^^-14=火=—10,解得〃=
v7103
所以/(x)=-x3-^^^x-141nx=-x3+3x-141nx,
v73103
所以/"(i)=J_xF+3xl—+—
v,33333
(2)由(1)知/(力=;X3+3尤一141n%,/'(%)=X2+3-3=__—,
設(shè)函數(shù)g(x)=V+3x—14(x>0),則<(%)=3%2+3>0,所以g(x)在(0,+8)為增函數(shù),因?yàn)間⑵=0.
令g(x)<0,得0cx<2;令g(x)>0,得x>2,
所以當(dāng)0<x<2吐/'(x)<0;當(dāng)x>2時(shí)J'(x)>0,
所以/(x)min=/(2)=1x23+3x2-141n2=y-141n2,
126
從而一根<----141n2,即根<26—421n2
33
基礎(chǔ)套餐練02
一、多選題
1.空氣質(zhì)量指數(shù)4Q/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQ/指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表:
AQI指數(shù)值0~5051^100101~150151~200201^300>300
空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染
如圖是某市12月1日-20日AQ/指數(shù)變化趨勢(shì):
下列敘述正確的是()
A.這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占L
4
C.該市12月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好
D.總體來(lái)說(shuō),該市12月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)折線(xiàn)圖和AQ/指數(shù)與空氣質(zhì)量對(duì)照表,結(jié)合選項(xiàng),進(jìn)行逐一分析即可.
【詳解】
對(duì)4將這20天的數(shù)據(jù)從小到大排序后,第10個(gè)數(shù)據(jù)略小于100,第11個(gè)數(shù)據(jù)約為120,
因?yàn)橹形粩?shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),故中位數(shù)略高于100是正確的,故A正確:
對(duì)8:這20天中,AQ/指數(shù)大于150的有5天,故中度污染及以上的天數(shù)占!是正確的,
4
故B正確;
對(duì)C:由折線(xiàn)圖可知,前5天空氣質(zhì)量越來(lái)越好,從6日開(kāi)始至15日越來(lái)越差,
故C錯(cuò)誤;
對(duì)D:由折線(xiàn)圖可知,上旬大部分AQ/指數(shù)在100以下,中旬AQ/指數(shù)大部分在100以上,
故上旬空氣質(zhì)量比中旬的要好.故D正確.
故選:ABD.
【點(diǎn)睛】
本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的觀(guān)察,屬基礎(chǔ)題;需要認(rèn)真看圖,并理解題意.
2.已知Q<c<b<\,下列不等式成立的是()
bc
A.a>aB.C.logfta<log(.aD.—^―
bb+ab+ac+a
【答案】ACD
【解析】
【分析】
1
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A;由作差法和不等式的性質(zhì)可判斷5;可根據(jù)換底公式,取log〃a=-----
log"b
1
log,a=;——,運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性,可判斷C;運(yùn)用作差法和不等式的性質(zhì),可判斷。.
log“c
【詳解】
illa>1.0<c<b<l,可得故A正確;
£,£±£可得="+M—反一為=—,cc+a
山a>1,0<c<Z?<l.一<----故3錯(cuò)誤;
bb+ab^b+a)b(b+a)bb+a
,1,111
a
由a>l,0<c<Z?<l,logfc?=------>>og,=------,則也〃c也><,則^一-<---<o,
log“hlog?clog”hlog.c
可得log,,a<log?a,故C正確;
bbc-^-ba-cb-ca_hc
>。可得----->-,--故---。
由a>lf0<c<b<l?
b+ac+a(/7+Q)(C+Q)(b+Q)(c+〃)b+ac+a
正確.
故選:ACD
【點(diǎn)睛】
本題考查不等式基本性質(zhì)和利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.
-----x>2
3.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(X),滿(mǎn)足/(耳=彳2%—3,,下列敘述正確的是()
x2-2x+2,Q<x<2
A.存在實(shí)數(shù)k,使關(guān)于x的方程/(力=質(zhì)有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B.當(dāng)一1cxi<々<1時(shí),恒有/(七)〉/^%)
C.若當(dāng)%e(O,a]時(shí),/(x)的最小值為1,貝ijae1,1
33
D.若關(guān)于X的方程1和/(力=加的所有實(shí)數(shù)根之和為零,則加=一持
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),寫(xiě)出其解析式,畫(huà)出該函數(shù)的圖像,再結(jié)合選項(xiàng),數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.
【詳解】
因?yàn)樵摵瘮?shù)是奇函數(shù),故/(X)在R上的解析式為:
-^―,(x<-2)
2x+3
—x^—2x—2,(-2<x<0)
/(》)=,0,(x=l)
x2-2x+2,(0<x<2)
2,(x>2)
2x—3
繪制該函數(shù)的圖像如下所示:
對(duì)4如圖所示直線(xiàn)4與該函數(shù)有7個(gè)交點(diǎn),故A正確:
對(duì)氏當(dāng)-1<玉<々<1時(shí),函數(shù)不是減函數(shù),故8錯(cuò)誤;
對(duì)C:如圖直線(xiàn)4:y=i,與函數(shù)圖交于(1,1),(:』),
故當(dāng)/(X)的最小值為1時(shí),ae1,1,故C正確;
對(duì)。:/(X)=:時(shí),若使得其與/(%)=加的所有零點(diǎn)之和為o,
33
則根=—耳,或機(jī)=一萬(wàn),如圖直線(xiàn)",故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
【點(diǎn)睛】
本題考查由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式,以及判斷方程的根的個(gè)數(shù),以及函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題,涉及函數(shù)單調(diào)
性,屬綜合性基礎(chǔ)題;另,本題中的數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的重要手段,值得總結(jié).
4.如圖,矩形ABC。,M為的中點(diǎn),將△,出W沿直線(xiàn)AM翻折成,連接用。,N為四。
的中點(diǎn),則在翻折過(guò)程中,下列說(shuō)法中所有正確的是()
BM
A.存在某個(gè)位置,使得CNLAg;B.翻折過(guò)程中,CN的長(zhǎng)是定值:
C.若A6=BM,則D.若AB=8W=1,當(dāng)三棱錐與-AM。的體積最大時(shí),
三棱錐B,-AMD的外接球的表面積是4萬(wàn).
【答案】BD
【解析】
【分析】
對(duì)于A取的中點(diǎn)為E,連接CE交M£>于點(diǎn)/,則NEABt,NFMB,
由CNJ_AB|,則ENJ_CN,從而判斷A,對(duì)于B,由判斷A的圖以及余弦定理可判斷B:對(duì)于C由線(xiàn)面
垂直的性質(zhì)定理即可判斷;對(duì)于D根據(jù)題意知,只有當(dāng)平面&AM_L平面4WO時(shí),
?棱錐用一AM。的體積最大,取AD的中點(diǎn)為E,
連接OE,B{E,ME,再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理即可判斷;
【詳解】
對(duì)于A,取4)的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)F,如圖1
圖】
則NEAB,,NFMB1
如果CN_LA4,則ENLCN,
由于Ag±MB1,則ENINF,
由于三線(xiàn)NE,NF,NC共面且共點(diǎn),
故這是不可能的,故不正確;
對(duì)于B,如圖1,由NNEC=NMAg,
且==EC,
2
???在ACEN中,由余弦定理得:
NC2=NE2+EC2-2NE-EC?cosNNEC,也是定值,
故NC是定值,故正確;
對(duì)于C,如圖2
AB=BM,即AB]=B]M,則AM_L40
若由于4。BQ=B1,
且平面。。片,
.?.AMJ_平面。。4,0。匚平面。。4,
.?.OD_LAM,則AD=ME>,
由于ADwMD,故AM,耳。不成立,故不正確;
對(duì)于D,根據(jù)題意知,只有當(dāng)平面用AM_L平面凡做。時(shí),
三棱錐耳-AMD的體積最大,取A£>的中點(diǎn)為E,
連接如圖2
AB=BM=1,則A4=6|M=1,
且AB,,平面用AMc平面AMD=AM
610_LAM.4。i平面B]AM
???旦。,平面AMD,OEu平面AMD
:.BQ上OE,
1r
則=
B]O=-AM
易知E4=£D=EM=1
A£>的中點(diǎn)E就是三棱錐用-AMD的外接球的球心,球的半徑為1,
表面積是4萬(wàn),故D正確;
故選:BD
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了立體幾何中的翻折問(wèn)題,考查了學(xué)生的空間想象能力以及立體幾何中的垂直性質(zhì)定理,余
弦定理,綜合性比較強(qiáng),屬于難題.
二、解答題
5.AABC的內(nèi)角A6,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知2a+)=2ccosB,c=JL
(1)求角C;
(2)延長(zhǎng)線(xiàn)段AC到點(diǎn)D,使CD=CB,求八旬。周長(zhǎng)的取值范圍.
27r
【答案】⑴—(2)(26,3百)
【解析】
【分析】
⑴利用余弦定理cosB=巴士——化簡(jiǎn)整理再川角C的余弦定理即可.也可以用正弦定理先邊化角,再利
2ac
用和差角公式求解.
(2)易得AABD的周長(zhǎng)等于2a+6+G,再利用正弦定理將用角A8表示,再利用三角函數(shù)的值域方法
求解即可.
【詳解】
解法一:(1)根據(jù)余弦定理得
整理得a2+b2—c2=—ab>
a2+h2-c2
cosC=
2ab2
/、2
Ce(0,^):.C=—7i
(2)依題意得ABC。為等邊三角形,所以八鉆。的周長(zhǎng)等于2Q+〃+G
a_b_c_5/3_
由正弦定理sinAsinBsinCJ],
T
所以〃=2sinA,Z?=2sinB,
2a+/?=4sinA+2sin3
=4sinA+2sin(y-A)
=2V3sin(A+—)
Ac0卷,,A+會(huì)蜀鄉(xiāng),
JIi
/.sin(A+—)e(—,1),
\2a+b?(瓜2#)),
所以八46。的周長(zhǎng)的取值范圍是(26,36).
解法二:(1)根據(jù)正弦定理得
2sinA+sin3=2sinCeosB
sinA=sin[萬(wàn)一(8+C)]=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC,
.*.2sinBcosC=-sin
sin3w0,
cosC=—,
2
C《(0㈤,
.0_2
..C——71
3
(2)同解法一
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正余弦定理求解三角形的問(wèn)題,同時(shí)也考查了邊角互化求解邊長(zhǎng)的取值范圍問(wèn)題等.屬于中
等題型.
6.已知等差數(shù)列{4}中,S,,為其前〃項(xiàng)和,4?4=8,55=15;等比數(shù)列{hlt}的前n項(xiàng)和T?=2"-1
⑴求數(shù)列{%},也}的通項(xiàng)公式;
⑵當(dāng){4}各項(xiàng)為正時(shí),設(shè)c“=an-2,求數(shù)列{q}的前n項(xiàng)和.
【答案】⑴。“=〃或4=6-〃,〃=2"T(2)7;,=(n-l)-2n+l
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可求知;由7,與力的關(guān)系可求久.
(2)利用錯(cuò)位相減法即可求和.
【詳解】
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{%}的首項(xiàng)為4,公差為d
[q+d)(q+3d)=8f(3—d)(3+d)=82一
則八?八?)o八八)n"2=ind=]或Q=_]
5a1+10d=15[q=3—2d
..d=l,4—-1,..~〃
d=—1,4=5,.*.an=6—n
當(dāng)”之2時(shí)—,-i
當(dāng)〃=1時(shí),4=工=1也滿(mǎn)足上式
所以為=2"i
l
(2)由題可知,an=n,cn=an\hf=n2"~
n
Tn=22、32?-1)*+n2-'
21=厘「622?+至23+?+(〃一)n-'+n"
一1=1+2+???+2"T-〃2"=(1-〃)2"-1
故<=(“一1)2"+1
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式,已知S“求凡以及錯(cuò)位相減法,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.
7.在A5c中(圖1),AB=5,AC=7,。為線(xiàn)段AC上的點(diǎn),且8。=8=4.以8。為折線(xiàn),把
3OC翻折,得到如圖2所示的圖形,M為8c的中點(diǎn),且AA/L3C,連接AC.
(1)求證:AB±CD;
(2)求二面角B—AC—。的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)之叵
34
【解析】
【分析】
⑴根據(jù)條件先證明CO_L平面說(shuō),然后結(jié)論可證.
(2)以。為原點(diǎn),BD、A。、CD所在的直線(xiàn)分別為%、V、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利
用向量法求二面角的余弦值.
【詳解】
(1)證明:在圖1中有:AC=7,BD=CD=4,所以AD=3
..在AABD中,AB=5,AD=3,BD=4
r.AD?+BO?=AB?,所以8。,CQ
在圖2中有:在A4BC中,AM±BC,M為BC的中點(diǎn)
AB-AC—5?在AABD中,AC=5,CD=4,AD=3
AC2=CD2+AD2.所以COLAD
翻折后仍有6。_L8
又AD、BDu平面ABD,ADBD=D,
\CD八平面
ABu平面AfiD,
所以CDLAB
(2)解:由(1)可知CO、BD、A£>兩兩互相垂直.
以。為原點(diǎn),BD、A。、CO所在的直線(xiàn)分別為X、V、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,3,0),5(4,0,0),C(0,0,4)
/.AB=(4,-3,0),AC=(0,-3,4)
設(shè)平面ABC的法向量為m=(x,y,z),則
4x-3y=0
..八,令x=3,則y=4,z-3.
―3y+4z=0
m=(3,4,3)
平面AC。的法向量為;t=(1,0,0)
/\mn3>/34
cos(m,n)=,;—n-r=-----
'/U\n\34
???二面角5-AC—。的余弦值為豆豆
34
【點(diǎn)睛】
本題考查線(xiàn)面垂直,線(xiàn)線(xiàn)垂直,二面角,立體幾何中求角或距離常用向量法,屬于中檔題.
8.某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸
奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單
位:C)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為
300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各
天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)
天數(shù)216362574
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率;
(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為丫(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),
寫(xiě)出y的所有可能值,并估計(jì)丫大于零的概率.
34
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),求出最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù),
由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率.
(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí),需求量為500,求出丫=900元;當(dāng)溫度在[20,25)℃時(shí),需求量為300,
求出丫=300元;當(dāng)溫度低于20℃時(shí),需求量為200,求出y=-100元,從而當(dāng)溫度大于等于2。時(shí),丫
>0,由此能估計(jì)估計(jì)丫大于零的概率.
【詳解】
解:(1)由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),
得到最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,
根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:C)有關(guān).
如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶,
如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶,
如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶,
543
二六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率p=—=
905
(2)當(dāng)溫度大于等于25c時(shí),需求量為500,
丫=450x2=900元,
當(dāng)溫度在[20,25)℃時(shí),需求量為300,
丫=300x2-(450-300)x2=300元,
當(dāng)溫度低于20℃時(shí),需求量為200,
丫=400-(450-200)x2=-100%,
當(dāng)溫度大于等于20時(shí),y>0,
由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有:
90-(2+16)=72,
724
,估計(jì)Y大于零的概率,
【點(diǎn)睛】
本題考查概率的求法,考查利潤(rùn)的所有可能取值的求法,考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論
證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
9.已知過(guò)拋物線(xiàn)=2px(〃>0)的焦點(diǎn),斜率為28的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于4(%,,,),3(盯必乂玉<馬)
兩點(diǎn),且|明=9.
(1)求拋物線(xiàn)的方程;
(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),若OC=04+408,求4的值.
【答案】(1)y2=8x.(2)A=0,或入=2.
【解析】
【詳解】
試題分析:第一問(wèn)求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題可直接利用焦半徑公式,先寫(xiě)出直線(xiàn)的方程,再與拋物線(xiàn)的方
程聯(lián)立方程組,設(shè)而不求,利用根與系數(shù)關(guān)系得出玉+馬,然后利用焦半徑公式得出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式
|AB|=%+%+「,求出弦長(zhǎng),第二問(wèn)根據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出
點(diǎn)C的坐標(biāo),由于點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上滿(mǎn)足拋物線(xiàn)方程,求出參數(shù)值.
試題解析:
⑴直線(xiàn)AB的方程是y=20),與y2=2px聯(lián)立,消去y得8x2-10px+2P2=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2p.由拋物線(xiàn)定義得|A8|=2p+p=9,故p=4
44
(2)由(1)得X2-5X+4=0,得xi=l,X2=4,從而A(L—2夜),8(4,472).
設(shè)OC=(X3,月)=(1,-272)+A(4,472)=(4A+1,472A-272)?
又y;=8x3,即[20(2A—1)]2=8(4A+1),BP(2A-1)2=4A+1,
解得入=0或4=2.
【點(diǎn)睛】
求弦長(zhǎng)問(wèn)題,一般采用設(shè)而不求聯(lián)立方程組,借助根與系數(shù)關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式去求;但是遇到拋物線(xiàn)的
焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí),可直接利用焦半徑公式,使用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|4邳=芭+%+〃,求出弦長(zhǎng).遇到與向量有
關(guān)的問(wèn)題,一般采用坐標(biāo)法去解決,根據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出點(diǎn)C
的坐標(biāo),由于點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上滿(mǎn)足拋物線(xiàn)方程,求出參數(shù)值.
10.已知函數(shù)/(x)=(x+2)lnx+ar2-4x+7a(aeR).
(1)若。=,,求函數(shù)/0)的所有零點(diǎn);
2
(2)若證明函數(shù)f(x)不存在的極值.
2
【答案】(1)x=l⑵見(jiàn)證明
【解析】
【分析】
(1)首先將a=g代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的定義域,之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo),得到了'("之0
(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)),從而得到函數(shù)/(%)在(0,+e)單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn),因?yàn)?(1)=0,
x=l是函數(shù)/(x)唯一的零點(diǎn),從而求得結(jié)果;
(2)根據(jù)函數(shù)不存在極值的條件為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),結(jié)合題中所給的參數(shù)的取值范圍,得到
"工)在(0,+。)上單調(diào)遞增,從而證得結(jié)果.
【詳解】
117
(1)解:='時(shí),/(x)=(x+2)IIIY+萬(wàn)元?—4x+—?
函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),
2
且/'(X)=Inxd---FX-3.
2
設(shè)g(x)-+—+X-3,
則g,(x)+1=+:-2=(x+2〃x—l)。〉0)
XXXX"
當(dāng)0<x<K寸,g'(x)<0;當(dāng)]>1時(shí),,(力〉0,
即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在。,內(nèi))上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)X>0時(shí)、g(x)2g⑴=0(當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào)).
即當(dāng)x>0時(shí),r(x)>0(當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào)).
所以函數(shù)/(x)在(0,+。)單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?1)=0,x=l是函數(shù)/(力唯一的零點(diǎn).
所以若a=g,則函數(shù)/(x)的所有零點(diǎn)只有x=1.
(2)證法1:因?yàn)?'(%)=(%+2)111¥+儂2-4%+74,
函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),且/'(x)=lnx+*+2ac-4.
1/2
當(dāng)a2]時(shí),F(xiàn)x_3>
2
由(1)知Inv4---Fx—320.
X
即當(dāng)x>o時(shí)/(力“,
所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.
所以/(X)不存在極值.
證法2:因?yàn)?(x)=(x+2)lnx+G;2-
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