高考數學敗題集

我國的高考經歷了艱難的歷程，在這些歷程中，出現了許許多多成功、優秀的試題，這在國

家公布的“評價報告”、“分析報告、“試題分析”等文中已祥有闡述闡述，同時各地的期刊也不時

發表許多專家對優秀試題的領悟與見解，這些都對中學教學及考試起了不可忽視的作用.另一方

面，對于命題者而言，縱觀高考試題，可以發現，每換一幫人命題，總有一些“重蹈歷史覆轍”

的不盡人意的試題，這說明僅僅知曉什么樣的試題優秀而去照著這個方向模擬、研究是不夠的，

還必須知道“有哪些經驗教訓”；同時由于教師職業正在由單純的教書向教書育人及身兼研究者進

行轉化，因此對于中學教師及應試的考生而言，考的內容重在把握命題的“度”，不考的內容也需

要一清二楚，而這些又得通過一定的教訓及得出的一些經驗來啟示.因此，筆者對歷年高考試題

進行了分析，搜集而成高考數學敗題集.

高考數學試題隨著國家政策的調整幾度沉浮，而試題的成敗又取決于考后的評價，就評價而

言，高考試題走過了越來越受社會關注、越來越受社會評價影響的軌跡：原來的高考試題，社會

關注評價比較少，因而試題評價形式以批評與自我批評為主，這一情況延續到1983年，雖然因為

文化大革命而中斷了些年；之后的1984——1993年，試題評價有了社會人員的參議，但仍然以國

家公布的為主；1994年后，由于社會評價的參議，許多評價指標進行了量化(如：難度、標準分、

區分度、信度等)，又隨著社會參與評價幅度的增大，1999年，國家將評價報告改成“分析報告”，

2002年定下“自主招生”的政策；2003年，高考試題進入以省市為主的自主招生階段，并逐步向

“高校自主招生”轉移，相應的評價中心也在逐步向參加高考的高中轉移，其中的師生逐步成為

評價的主角，而這些評價無疑也會影響今后命題方向，同時更直接的影響著平時教學的檢測方向

及力度.

這樣，我們就更有必要對高考試題中的敗題加以留意總結了.

一、1983年前的高考數學敗題

【說明】這一階段高考數學試題評價是以批評與自我批評為主,因此,我們也就國家公布的沒

有提及優秀的試題來說明.

(1951—、13.)系數是實數的一元三次方程，最少有幾個根是實數，最多有幾個根是實數？

答：最少是一個，最多是三個.

【評析】該題根據實系數復數方程虛數根成對出現得到的結論，但這一結論在當時并沒有在大

范圍的教材中出現.

(1952二、1.)解方程x'+5x3-7x2-8x72=0.

解：左式=(x'+5x'-6x2)-(X2+8X+12)=(x+6)[x2(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x1-x2-x-2)

=(x+6)[(x5-2x2)+(x2-x-2)]=(x+6)(x-2)(x)+x+l)=0可得原方程的四根為：

,~-1+V3z-1—V3Z

x

i=-6,x2=2,X3=-,x4=--

【評析】該題分解因式的技巧性過強，多數學生不能完成，競賽性質太濃

1963—5.根據對數表求23.28101的值.

解:lg23.28-101=-1011g23.28=-101x1.3670

=-138.0670=139+1-0.0670=139.9330

Igx=0.9330,x=8.570

23.28-101=10~139x8.570=8.570x10"139.

【評析】對數值中的國符號，當時是否應該、有必要引入中學還在討論當中，高考就出現了這

樣符號.結論：研究及有爭議的內容不能在試題中出現.

1965附加題（1）已知a,b,c為實數，證明a,b,c均為正數的充要條件是

w+6+c>0

<+be+ca>0

abc>0

（2）已知方程*3+Q,2+夕*+1=0的三根4/,7都是實數，證明a,民/是一個三角形的三邊

的充要條件是

J/?<0,g>0/<0

[p'>4pq—8r.

1期：（1）條件的必栗性是顯然的，因為已知〃>0力

所以立即可得。+6+c>0,a0+/?c+ca>0,abc>0.

下面證明條件的充分性：

設a,Z7,c是三次方程X3+px2+qx+r=0的三個根，則由根與系數的關系及已知條件有

一〃=。+/?+<?>0,

q=。。+兒+CQ>0,

-r=abc>0,

此即p<0,q>04v0.由此即可知三次方程%3+px~+qx+r=0的系數正負相間，所以此方

程無負根，即方程根均非負；又由abc>0可知，方程無零根，故。>0/>0,c>0.

（2）由（1）的證明可知，均為正數的充要條件是p<0,q〉0/<0.于是問題轉化為證

明a,為三角形三條邊的充要條件為p'>4pq-8r

條件的必要性：

若a,/?,/為三角形的三邊，則由三角形的性質必有

a+/7〉y,尸+/>a,y+a>（3.

于是2+1一/>0,尸+/一7>0,7十=一尸>0.

由此可得(a+^-/)(/?+/-a)(y+a-/?)

=(-P-2a)(_p-213)(-p-2y)

=-(P+2axp+20)(p+2y)

=Tp'+2(a+P+y)p2+4(PY+ya+aP)p+8aPy]

=-(p3-2p3+4〃q—8r)

=p3-4pq+8r>0

即p3>4pq—8r.條件的充分，性：若p，>4Pq-8r,貝Up3-4pq+8r>0,

一(a+￡+y)3+4(a+夕+y)(a。+勿+ya)-8apy>0,

(a+0+/)(2妙+20y+2ya-a2-/72-/2)-8cr/7/>0,

[a+(￡+7)][-(￡-y)2+2a(￡+為一/卜8a/7y〉0,

一a，+4(夕+7)+a(夕一7)2一(￡+7)(￡一為2>0,

。2(一。+夕+/)+(力一/)2(二一/一/)>0,

(一a+夕+y)[a2—(￡一7)2]>0,

(-a+/?+/)(a+夕一/X。-/?+/)>0.

此式中至少有一因式大于0,今設一a+/?+/>0,則必有

(a+J3-y)(a一2+乃>0.

如果2+P—y<0,cr一1+/<0,兩式相加得2。<0,即a<0,此與a>0相矛盾

故有一。+6+7>(),a+1一y>+/>0,此即

B+y>a,

<a+/3>y.

a+/>/，

此即a,/?,y可作為一個三角形的三條邊.

2

綜上所證可知，方程/+pX+gx+r=0的三根a,尸為一個三角形的三條邊的充要條件是

p<0,q>0,廠<0

<

p3>4pq—8r.

【評析】這個試題以附加題形式出現，難度較大，但也不能大到無一人(甚至參加國際數學競賽

的學生)能作上程度.結論：試題不能無線拔高.

(1977北京文4)不查表求sinl05"的值.

解：sin105°=sin75°=sin(300+45。)=應:S

【評析】當時，并沒有要求記特殊角三角函數值，所以題雖然不難，但會的人不多.

2cos6—sin2夕90°—0.

(1977年福建理科2(2)題)證明:--------------=墳飛2------)

2cos。+sin2。’2

2cos^(1-sin0)l-sm。1-cos(90-0)2/90-6、-、

i止：左邊=---------------=--------=----------------=fg-(-------)=右邊4t.

2cos^(l+sin0}1+sin。1+cos(90°-0}2

(1977年河北試題第3題).證明：———n2a+l——=1若1+工.

1+cos2a4-sin2a22

、丁...2sina-cosa+sin2a+cos2a(sina+cosa)2

證：左邊二----------------------------=----------------；----

2cosa+2sinacosa2cosa(cosa+sina)

sina+cosa11.

------------=—tga+—二右邊

2cosa--22

IT7T

sin(—F。)cos(—F。)2

(1977年上海理科第1(4)題)求證：——----+——-----=------

sin(生一6)cos(--^)cos2。

44

717t7TTF

sin(+0)cos(-0)+cos(+0)sin(——0)

證：左邊二一--------------------------—

7TIT

sin(-0)cos(——0)

44

.兀

sm-..

_2]_2=右邊

sin(--0)cos(--0)-cos20c°s2°

442

【評析】這些該題本身不難，但三角證明題兒地都出現證法太多，標準不易統一，給閱卷帶來非

常大的難度.結論：三角證明一?般不作為證明題出現.

(1977年福建理科第3題)在半徑為R的圓內接正六邊形內，依次連結各邊的中點，得一正六邊

形，又在這一正六邊形內，再依次連結各邊的中點，又得一正六邊形，這樣無限地繼續下去，求:

(1)前n個正六邊形的周長之和S,“(2)所有這些正六邊形的周長之和S.

解：如圖，半徑為R的圓內接正六邊形的周長為6R,

設C為AB的中點，連結OC,0B,貝"OCJ.AB.

.-.0C=CD=/?.sin6O0=—/?.

2

6

第二個正六邊形的周長=

2

同理可得

第三個正六邊形的周長=6R《J)2,第四個正六邊形的周長=6R-(J)3,

22

于是可以得到一個表示正六邊形周長的數列：

6R,6R-.67?.(―)2,6R-(—)3,...6R?(—

2222

①前n個正六邊形周長的和

S=6/?+6/?—+6/?-(―)2+?■?+67?=67?ri+—+(—)2+???+(—)"-1]

222222

1-(-)八

=6R-------J=12(2+V3)[l-(—

,V32

1-------

2

②所有這些正六邊形周長的和5=6R12^=12（2+6）/?.

.V32-73

1-------

2

【評析】從題本身上看，該題是一個好題，但是其答案在全國引起爭議——歸納出的結論到底是

否要證明是等比數列？即使不證明也要體現有等比數列的過程.從該題對以后影響是，出現了用

式子表達等比、等差數列熱潮.

（1977年福建文科第4題）.求拋物線=9x和圓x2+,「2=36在第一象限的交點處的切線方

程.

解：解方程組

2

v_Qv..........⑴

<",（1）代入（2）得F+9x—36=0,

x2+y2=36......（2）

x=3,x=-12（不合題意）將x=3代入（1）,得y=3Ji（僅取正值）,

LQ

在第一象限的交點為（3,36）從拋物線V=9x得p".

二過點（3,3A/3）的拋物線的切線方程是=g（x+3）,即然一2有丁+9=0.

過點（3,3g）的圓的切線方程是3x+3^y=36,即x+后y—12=0.

【評析】該題的問題是表述不清：有人認為只求拋物線的切線方程，也有人認為只求圓的切線方

程，答案倒認為是求圓和拋物線的方程.

（1977年黑龍江第2題第（1）問）.計算下列各題：Vm2-2ma+/.

解：當用2-2ma+a2=m-a.當m<aH't,y/m2-2ma+a2=a—m.

【評析】該題引發了分段表示法的爭論，結論，如果是分段出現的，結果一般用分段函數形式給

出

（1977年江蘇第1（5）題）把直角坐標方程（*-3）2+尸2=9化為極坐標方程.

x2-6x+y2=0,

?m,P2-6pcos0=O,

解：原萬程可展開為-：

p=0或p=6cos0

即p=6cos0

【評析】該題從?般情況下考慮(直角坐標系的原點為極點，x軸為極軸且長度單位不變)，但沒

有交代清楚一般情況下，以致于該題出現的情況是：一般的學生答的好，程度很高的如參加競賽

的學生反倒沒有答好！屬于交代不明出現的失誤.

(1977年上海理科第6題)已知兩定點A(-4,0)、B(4,0),一動點P(x.y)與兩定點A、

B的連線PA、PB的斜率的乘枳為.求點P的軌跡方程，并把它化為標準方程，指出是什么曲線

4

解：直線PA、PB的斜率分別是

上曲題意上.上=」

x+4x-4x+4x-44

Iv2

/+4y2=16其標準方程為二+二1,

164

故此曲線為橢圓

【評析】該題解答有誤，應該加上條件(x#±4,相應曲線為以(±26,0)為焦點、以8為長

軸的橢圓，去掉長軸的兩個端點).結論：說明軌跡、圖形的問題要保證惟一及等價.

(1979年文科理科第四題)敘述并證明勾股定理.

證：略.

【評析】這個題當時答案是用坐標法的距離公式證明的，但是距離公式是由勾股定理推導出的，

因而形成“因為A……所以A”的循環論證錯誤，而得出一般用拼圖法得到；拼圖法能否算作證

明還在爭論中，但當年多數省市按錯對待.結論：數形結合的方法得到的結論不能以證明題的形

式出^?

a

(1980年理科第八題)已知0<a<n,證明：2sinaWc/一并討論a為何值時等號成、工.

1+cosa

解：即證：2sin2aW------------.兩端乘以sina,問題化為證明2sinasin2a41+cosa.而

sina

2sinasin2a=4sinacos2a=4(1-cos2a)cosa=4(1-cosa)(1+cosa)cosa

所以問題又化為證明不等式(1+cosa)[4(1-cosa)cosa-1]<0.

(1+cosa)-4|COS6Z--I40.??不等式得證.

0<a<n,等號成立當且僅當cosa--=0即a=60°

2

【評析】這些該題本身不難，但三角證明題出現證法太多，標準不易統一，給閱卷帶來非常大的

難度.另一方面，這一答案給出的分析法證明格式也不對，一般分析法證明題格式“要證A,只要

證B”形式，B是A的充分不必要條件即可，而不是由A導出B.

(1982年文科第七題)已知定點A,B且AB=2N,如果動點P到點A的距離和到點B的距離

之比為2：1,求點P的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.

解選取AB所在直線為橫軸，從A到B為正方向，以AB中點0為原點，過0作AB的垂線為縱軸，

PA_2J（x+a）2+.2_

?J-------=_,?./,=2.

PB1—+.2

則A為（-a,0）,B為（a,0）,設P為（x,y）.（x+a）?+y?=4[（x-a）2+y2],

3x~—IQax+3y~+3a"-0.

因為x\y’兩項的系數相等，且缺xy項，所以軌跡的圖形是圓

（1983年文科第九題）如圖,已知兩條直線L:2x-3y+2=0,L2：3x-2y+3=0.有一動圓（圓心

和半徑都在變動）與L”L都相交，并且L,L被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26,24.

求圓心M的軌跡方程，并說出軌跡的名稱.

解：設圓心M的坐標為（x,y）,圓的半徑為r,

點M到Li,L?的距離分別為di,h

根據弦、弦心距、半徑三者之間的關系，有

,2/26、22

4+（彳）~=r，

得〃一個=52.

根據點到直線的距離公式，得

.I2x-3y+21.13x-2y+31、匕*

4=-------金—=----戶——代入上式，

Vl3V13

得方程(2*-理+2-_*-g+3)2=25

V13V13

化簡得—+2x+1-y2=65.即=

6565

【評析】答案說法有誤：說圓應為以…為圓心，以…為為半徑的圓,說雙曲線說明以…為焦點…

為實軸長的雙曲線.

二、1984一—1993年高考數學敗題

【說明】這段時間，考試的目的是考察中學數學的基礎知識、基本技能，命題的人員以中學教

師為主，為減少敗題的出現機率，采取了科研測試方法（科研測試題從1988年暫停,1992年恢復）,

因此，這一階段的敗題多是不復合教學大綱的試題.

2

（1984年理二2）函數log05（x+4A-+4）在什么區間上是增函數？

答：x<-2.

【評析】該題用到了復合函數單調性，但這?內容在當時教學大綱中明確不要求.

（1984年理五）設c,d,x為實數，cWO,x為未知數.討論方程log/x=-l在什么情況下

（cv—-）

X

有解.有解時求出它的解.

解：原方程有解的充要條件是：

x>0,(1)

d八

ex~\—>0,(2)

X

d八

CXH--。0,(3)

X

(cx+—)-，=X⑷

X

由條件(4)知x(cx+—)=1,所以c/+d=1?再由c*0,可得

X

又由x(cx+—)=1及x>0,知cx+《>0,即條件(2)包含在條件(1)及(4)中.

XX

再由條件(3)及x(cx+")=l,知XW1.因此，原條件可簡化為以下的等價條件組：

X

x>0,(1)

<xwl,(5)

由條件(1)(6)知上《>0.這個不等式僅在以下兩種情形下成立：

c

①c〉0,l-d〉0,即c〉0,d<1;

②c<0,l-d<0,即c<0,d><

再由條件(1)(5)及(6)可知c/1-d

從而，當c>0,d<l且cwl—d時，或者當c<0,d〉l且cHl—d時，原方程有解，它的解是

【評析】該題即從兩個層次考查了等價轉化，中間又涉及了分類討論，難度比較大，是一個考

查能力的試題，與當時考查“雙基”要求不符：結論：考查數學思想從深度及廣度同時考查時，

不能在某一思想上究得太深.

(1984年理六2)求經過定點M(1,2),以y軸為準線，離心率為，的橢I員I的左頂點的軌跡方

2

程.

解：因為橢圓經過點M(l,2),且Ay軸為準線，所以橢圓在y軸右側，長軸平行于x軸.設橢圓

左頂點為A(x,y),因為橢圓的離心率為工，所以左頂點A到左焦點F的距離為A到v軸的距離的,，

22

3r

從而左焦點F的坐標為(爹，y).設d為點M到y軸的距離，貝河=1.

(手―1)2+。-2)2=(12,即

根據上\MF」I=上1及兩點間距離公式,可得22

d22

9(x--)2+4(y-2)2=l

【評析】該題在當時?改習慣于教材上直接法求軌跡方程的步驟，被認為是對教學大綱的偏

執理解，沒有考查基礎知識與基本技能，所以當作一種研究性的材料還可以，并最終誕生了相關

點法的應用.至于到了考查能力時，它則又成為一道好題，那是十年之后的事情了！

（1984年理七）在aABC中，ZA,ZB,NC所對的邊分別為a,b,c,且c=10,

cos/IA4

-2=2=2,P為^ABC的內切圓上的動點.求點P到頂點A,B,C的距離的平方和的最大值V

cosBa3

最小值.

解：由竺4=2,運用正弦定理，有

cos3a

cosAsinB

----=-----sinAcosA=sinBcosBsin2A=sinIB,因為A#B,所以2A=n-2B,即

cosBsinA

TT

A+B=—?由此可知△ABC是直角三角形?由c=10,

2

—=—,a2+h2—c2以及o>b,b>0可得a=6,/?=8.

a3

如圖，設AABC的內切圓圓心為0、切點分別為D,E,F,則

AD+DB+EC=1(10+8+6)=12.但上式中

AD+DB=c=l0,Y

所以內切圓半徑尸EC=2.

如圖建立坐標系，

則內切圓方程為：

(x-2)2+(y-2)2=4

設圓上動點P的坐標為(x,y),則

S=IPA\2+\PB\2+\PC\2

2222

=(x-8)2+/+x+(y-6)+x+y

=3x2+3y2-16x-12y+100

=3[(x—2>+(y-2)2]-4x+76

=3X4-4X+76=88-4X.

因為P點在內切圓上，所以0WxW4,

S局火值=88-0=88,S鼠小伍=88-16=72.

解二：同解一，設內切圓的參數方程為

x=2+2cosa

(0<a<2兀)，從而5=1PAI2+1PBI2+1PCI2

y=2+2sina

=(2cosa-6)2+(2+2sina)2+(2+2cosa)2+(2sina-4)2

+(2+2cosa)2+(2+2sina)2=80-8cosa

因為0Wa<2乃，所以S&上依=80+8=88,

S最小位=80-8=72.

【評析】該題是對知識的大綜合，對于學生而言難度較大，而且就1984年的高考試題，解答

題基本上是題題設防、題題堡壘，從整體上脫離了中學教學的實際.

(1984年文五)把1-Isinz2a-sin2Q-cos4a化成三角函數的積的形式(要求結果最簡)

解：原式=(1一sin2仗一asin'2a-cos4a

=cos2p-sin2acos2a-cos4a

=cos2p-cos2a(sin2a4-cos2a)

=cos2p-cos2a

=(cosp+cosa)(cosp-cosa)

B+aB-a、/0+a.P-a

=(2cos---cos----)x(-2sin----sin----)

2222

=sin(a+p)sin(a-p)

【評析】當時三角式最簡沒有明確什么什么樣算最簡，這一名次的提出具有超前性，對于文

科生更感不易，但它引領了一個各種化簡結果最簡的研究方向.結論：研究方向不能替代僅僅那

么一點時間高考試題！

(1985年全國文科第四題)證明三角恒等式

3

2sinx+[sirT2x+5cos,x-cos3A-cosx=2(1+cos*9x)

證：左邊=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos2x-3cosx)cosx

=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x

=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x

=2sin2x+cos2x+3cos2x

=2+2cos2x=右邊

【評析】三角證明題不宜作為大題考查，這是幾年前的經驗，該題重蹈了歷史覆轍.1988年的

文科數學試題第三題是“證明cos3a=4cos3a-3cosa”,1989年全國理科19文、科20題“證

明：tg--tg-X=—9把ein？x一”繼續重蹈歷史覆轍！

22cosx+cos2x

(1986年理文科一(6)題)設甲是乙的充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，

那么丁是甲的()(A)充分條件(B)必要條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要的條件

答案D

【評析】該題僅僅說了甲是乙的充分條件，沒有說是否必要，因此該題的敘述不嚴格.這一

不足，在以后命題中加以了改進，并滲透到平時教學中.

(1988年全國理科、文科一14)假設在200件產品中有3件次品，現在從中任意抽取5件，

其中至少有2件次品的抽法有()

(A)種⑻《GO+GO種?C菰一種(D)。￡一。匕二種

答案B

【評析】該題不難，但是用符號而不用數值表示過多的限制了考試的思維，當年引起專家爭

議.隨后的再實驗，用事實說明了“這種用符號表示的題要么太難，要么太易，還是以數值表示

比較好！”

(1989年全國理22、文23)已知a>O,a工1,試求使方程loga(x-aXr)=log..(x'-三)有

解的k的取值范圍.

解：由對數函數的性質可知，原方程的解x應滿足

(x-ak)2=x2-a2,(1)

<x-ak>0,(2)

X2-a2>0.(3)

當(1),(2)同時成立時，(3)顯然成立，因此只需解

(x-ak)2=x2-a2,(1)

<

x-ak>0,(2)

由(1)得2kx=a(l+k2)(4)

當k=0時，由a>0知(4)無解，因而原方程無解.

當kr0時，(4)的解是

x=-^1+k—.(5)把(5)代入(2)，得上丑->k.

2k2k

解得：-8<k<-l或0<k<L

綜合得，當k在集合(-8,-1)。(0,1)內取值時，原方程有解.

【評析】該題從題本身而言是?個好題，但是該題在當年許多學校已經練習過，作為高考試

題，照搬原題是不適當的.

(1989年上海14)兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學生入座(每

人一個座位)，則不同的坐法種數為()

A,CO：Co；B.PZ'CO^oC,oOD,q'O

答案：D

【評析】該題是對1988年全國214題的延續再實驗，事實說明“排列組合問題結果這種用

符號表示的題要么太難，要么太易，還是以數值表示比較好！而且這種命題從方式上也限制了學

生的思維”

(1990年全國理科第9題、文科11題)設全集I={(x,y)lx,yGR),集合M={(x,y)l匕^=l,x、

x-2

y￡R},N={(x,y)lyHx+l,x、y@R},那么()

A,0B,{(2,3)}C,(2,3)D,{(x,y)ly=x+1}

【答案】B

y—3

【評析】該題基本上照搬了1986年上海理科第20題:若全集U={(x,y)lx、yCR},A={(x,y)l2—=1,

x-2

x、yCR},B={(x,y)ly=x+l,x、yGR}，則CuACB是()A,CuAB,BC,0

D,{⑵3)},高考試題照搬應該不是件好事.

(1991年全國理23題)已知48CC是邊長為4的正方形，E、F分別是48、AZ)的中點，GC垂

直于A8CO所在的平面，且GC=2.求點8到平面EFG的距離.

解：如圖，連結用、FG、EF、BD、AC.EF、BM別交AC于H、0.因為//醍正方形，E、

尸分另U為4腑』為勺中點，故EFI1BD,〃為月份勺中點.

加不在平面無心上.否則，平面加7和平面相切重合，從而點G在平面的""上，與題設矛

盾.

由直線和平面平行的判定定理知員以平面EFG,所以他和平面區％的距離就是點屏I平面區電

的距離.

???BD1AC,

EFLHC.

CC_L平面4/力,

EFLGC,

EFL平面HCG.

???平面￡/%!.平面〃CG,，送這兩個垂直平面的交線.作/7交〃61于點兒

由兩平面垂直的性質定理知OKI平面EFG,所以線段0K的長就是點&到平面EFG的距離.

???正方形"四勺邊長為4,(7(9=2,

AC=4V2,H0=41,ffC=3y[2.

在中，依J(3行丫+22=后.

由于Rt△^WRtA應屹有一個銳角是公共的,故Rt△HKOs△HCG.

,“HOGCV2x22VH

HGV2211

2VH

即點8到平面用電的距離為

11

【評析】該題作輔助線太多，難度過大，是歷年立體幾何題少見的難度；但它的出現，將中學

教學的“距離”引向以點面距為核心的研究上，就當年而言，此題與考查雙基的思想不符.

（1991年全國理科25題）已知〃為自然數，實數解關于x的不等式

1一(一2)〃

n2

logaX——log/x+1210g尸x+???+〃(n-2)'log??x>10g.,(x-a)

3

解：利用對數換底公式,原不等式左端化為

?陛J+…+〃(-2尸"也「=[1-2+4+...+(-1)"-

log/-4?1°曳4+12

k)g一~優

log“alogfl

']log/=1-(-2)"io/]故原不等式可化為1二(-2).io-x>1-(-2)"iog"(，-a).①

333

1一（一2）"

當〃為奇數時，（）＞0,不等式①等價于logaX>log,"-a).②

3

x>0

x>0x>4a

因為公1,②式等價于4一〃>0

x~=<\x\>4a1+J1+4a

2<x<--------------

x>x-ax2-X-￡Z<022

E人1-71+4a.1+J1+4〃44a

因為----------<0,---------->------\[a,所以，不等式②的解集為

222

..I-1+Jl+4a.

[x\yja<x<----------------}.

2

當〃為偶數時,―-~~—<0,不等式①等價于log">log?(x'-a).③

3

x>0x>0x>y[a

2

因為a>l,③式等價于＜x-?>0<=><|x|>4aO\1-J1+4a或

2x<----------

x<x-a_x_Cl>02

X>y[a

宜工1—J1+4a,、1+J1+4aV4^r~

1+Jl+4a因為----------<0,--------->=7a,

x>----------22---------2

2

所以，不等式③的解集為3匕匕如細）.

2

1+J1+4a、

綜合得：當"為奇數時，原不等式的解集是｛x/JZ<X<

1+J1+4a}

當〃為偶數時，原不等式的解集是JIx>

2

【評析】該題照搬了當年湖北黃岡、河北辛集中學及北京海淀區的模擬試題，包括數值都沒

有變化.

1

（1991年三南高考數學第24題）設函數f（x）=x?+x+—的定義域是[n,n+l]（n是臼然數），那

2

么在f（x）的值域中共有個整數

【答案】2n+2

【評析】這是當年希望杯數學競賽的一道數學試題，在高考中出現而且仍然以填空題出現，

有照抄之嫌.

（1992年三南第14題）設數列｛aj是正數組成的等比數列,公比q=2,aia?……a3o=23°,那么

a336a9…230=（）

A,210B,220C,216D,215

【答】B

【評析】該題運算量比較大，也是希望杯競賽中一個非常類似的題，在還沒有將運算能力當

作一種能力考查時，出此題顯然違背了考查“雙基”的初衷.

三、1994-----2002年高考數學敗題

【說明】該階段，高考內容上以《考試說明》為準繩，目的逐步變化成“為大學選拔新生服務

的選拔性能力考試”,命題的人員也逐步變化為以高校為主，出臺了許多量化指標，該階段的敗題,

主要體現為預估難度（考試說明的規定難度）與實際難度（實際分數）不符，這一原因現在多數

專家認為是高校教師不了解中學教學的實際所致.

（1994年全國理文23題）如圖，已知是正三棱柱，。是AC中點.

⑴證明力8〃平面。8Q；⑵假設求以8cl為棱，C8Q為面的二面角。

的度數.

【解答】⑴證明：466-/1%是正三棱柱，..?四邊形

B\BCG是矩形.連結B6交BC、于E,貝IB,E=EC.連結DE.在△

/8C中，-：AD=DC,.-.DEIIABL又而（Z平面。8C,DEU平面

DBCx,H平面甌.

（2）解：作DFLBC,垂足為F,則〃尸1面RBCC、,連結

EF,則即是勿在平面笈8s上的射影.■：AB^LBQ,由（1）知仍/.?.血1雨，則陽1所，

.1/分尸是二面角a的平面角.設431,貝是正三角形，，在口△死尸中，

2

DF=DC,CP-DCcos0工.取比中點G.???吩￡4二5C在Rt△BEF中，EP=BF-GF,

44

Q|Q1IQrAr-i

入BF=BC-FC=±，G打上，：.EF=土上，即EFN—.：.tgN施尺廿一=冬=1.：N原戶45。.故

44444EF址＞

T

二面角a為45°.

【評析】該題作輔助線太多，難度過大；與當年的大環境有關：一、當年出臺《考試說明》，明

確數學高考考查的第一能力是計算能力；二、當年形成了立體幾何的研究熱潮.但一次性將能力

拔高到這種程度，是考生難于適應的.結果出現與《考試說明》要求不符的實際情況.

（1994年上海18）計劃在某畫廊展出1（）幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，

排列?行陳列，要求同?品種的畫必須連在?起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式

有（）種

A,P：B,q?P：C,C；?白?片D,g?8?65

【答】D

【評析】這種排列組合用符號表示的試題在全國1988年已經有了不宜出的結論，它再次重蹈

了歷史覆轍.

（1996年全國理22、文23）如圖,在正三棱柱中,EGBB”截面A/C，側面

AC,.(I)求證：BE=EBi；

（II）若求平面4EC9平面48c所成二面角（銳角）的度數.

注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為（I）的完整證明，并

解答（H）.（右下圖）

（I）證明：在截面4EC內，過E作EGLAC，G是垂足.

①_______________________________________

.*.EG_L側面AG;取4c的中點中連結8尸,FG,由AB=BC得BF

1AC,

②,/______________________________

二8尸1.側面4G;得8尸〃EG,BF、EG確定一個平面，交側面4cl于FG.

③：________________

：.BE//FG,四邊形8EGF是平行四邊形，BE=FG,

④_________________________

：.FG//AAi,△AACS/XFGC,

⑤,?__________________________

111

：.FG=-AA即BE=-故BE=EB、

222

【解答】①...面4網1側面4G,②,??面/比i1側面4G,③...旗〃側面4c

④：BEIIAA,⑤?；A六FC,

（II）解：分別延長C反G區交于點。，連結4〃

??,EB}IICG,叫=g叫=；CG,

.?.=；OG=B|G=A|5］,；Na4G=N8G4=60。，

2DA\R=2A、DBI=L（180°-N〃84）=30°,

2

r.N%4=N〃48+N84G=90°,即￡>A|_LA|G

?笫1面ACR,即4c是4。在平面4c〃上的射影，根據三垂線定理得力」4C,

所以NC%C是所求二面角的平面角.???CC=44=4H=4C,N4CG=90。，

.-.ZC4,G-45°,即所求二面角為45。

【評析】以這種填空題形式出現，過多地限制了學生思維，出現了實際結果與預估難度非常大

的反差.立體幾何試題這樣出不當；通過該題，也使近年立體幾何的研究開始了降溫.同時也使不

少專家反省：高考試題與研究熱點及競賽試題還是當有區別的.同時，也確定了從1997年開始高

考試題的進行量化評價.

（1997年全國理15）四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的

取法共有（）（A）I5O種（B）147種（C）144種（D）141種

【解答】D

【評析】該題無論從直接還是間接思路，都要進行三級分類討論，體現為試題很難.難度為0.

18,按照當年《考試說明》，難度低于0.2的，應該算作廢題.結論：考查單一的知識與思想，層

數不能超過三級.

（1997年全國理24）設二次函數八*）=/+/>+<：（”>0）,方程川）一x=0的兩個根xg滿足

1

0<￥|<￥2<—.I.當尢￡（0,兀］）時，證明工</（幻<盯；

a

II.設函數/（X）的圖像關