分層限時跟蹤練(五十三)(限時40分鐘)eq\f([基礎練],扣教材練雙基)一、選擇題1．從6個男生2個女生中任選3人，則下列事件中必然事件是()A．3個都是男生 B．至少有1個男生C．3個都是女生 D．至少有1個女生【解析】因為只有2名女生，所以選出的3人中至少有1名男生．【答案】B2．從某校高二年級的所有學生中，隨機抽取20人，測得他們的身高(單位：cm)分別為：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根據樣本頻率分布估計總體分布的原理，在該校高二年級的所有學生中任抽一人，估計該生的身高在155.5cm～170.5cm之間的概率約為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)【解析】從已知數據得，在隨機抽取的這20位學生中，身高在155.5cm～170.5cm之間的學生有8人，頻率為eq\f(2,5)，故可估計在該校高二所有學生中任取一人，身高在155.5cm～170.5cm之間的概率為eq\f(2,5).【答案】A3．在一個袋子中裝有分別標注數字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同．現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)【解析】由袋中隨機取出2個小球的基本事件總數為10，取出小球標注數字和為3的事件為1,2，取出小球標注數字和為6的事件為1,5或2,4，所以取出的小球標注的數字之和為3或6的概率為P＝eq\f(1＋2,10)＝eq\f(3,10).【答案】A4．(2015·湖北高考)我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為()A．134石B．169石C．338石D．1365石【解析】設1534石米內夾谷x石，則由題意知eq\f(x,1534)＝eq\f(28,254)，解得x≈169.故這批米內夾谷約為169石．【答案】B5．(2015·撫寧模擬)在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是()A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一個必然事件，故其事件的關系可由如圖所示的韋恩圖表示，由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件．【答案】D二、填空題6．口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率為0.28，若紅球有21個，則黑球有________個．【解析】1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50,50×0.30＝15.【答案】157．(2015·濰坊模擬)連續2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時，m＝________.【解析】m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，對應的基本事件個數依次為1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，故兩次向上數字之和等于7時對應的事件發生的概率最大．【答案】78．下列四個命題中，真命題的序號為________．①將一枚硬幣拋擲兩次，設事件A：“兩次都出現正面”，事件B：“兩次都出現反面”．則事件A與事件B是對立事件；②在命題①中，事件A與事件B是互斥事件；③在10件產品中有3件是次品，從中任取3件．事件A：“所取3件中最多有2件是次品”．事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與事件B是互斥事件．④兩事件對立是這兩個事件互斥的充分不必要條件．【解析】拋擲兩次硬幣，共有四種情況，所以A、B不是對立事件，但是互斥的，①不對；②正確；③中事件A、B可以同時發生，不互斥；④正確．【答案】②④三、解答題9．某醫院一天派出醫生下鄉醫療，派出醫生人數及其概率如下：醫生人數012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出醫生不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2)若派出醫生最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y、z的值．【解】(1)由派出醫生不超過2人的概率為0.56，得0．1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出醫生最多4人的概率為0.96，得0．96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出醫生最少3人的概率為0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．(2015·陜西高考)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統計，結果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．【解】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8).以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為eq\f(7,8).eq\f([能力練],掃盲區提素能)1．已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙勝的概率為eq\f(1,3)，則甲勝的概率和甲不輸的概率分別為()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(1,2)【解析】“甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以“甲勝”的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).設“甲不輸”為事件A，可看做是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).或設“甲不輸”為事件A，可看做是“乙勝”的對立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).【答案】C2．若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))【解析】由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜a＜2，,\f(5,4)＜a＜\f(3,2)，,a≤\f(4,3)))?eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).【答案】D3．甲、乙二人玩數字游戲，先由甲任想一數字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜出的數字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為________．【解析】甲想一數字有3種結果，乙猜一數字有3種結果，基本事件總數為3×3＝9.設“甲、乙心有靈犀”為事件A，則A的對立事件B為“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2包含2個基本事件，∴P(B)＝eq\f(2,9)，∴P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).【答案】eq\f(7,9)4．若A，B互為對立事件，其概率分別為P(A)＝eq\f(4,x)，P(B)＝eq\f(1,y)，且x＞0，y＞0，則x＋y的最小值為________．【解析】由題意得eq\f(4,x)＋eq\f(1,y)＝1，則x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥9，當且僅當eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時等號成立．【答案】95．袋中有12個相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12).(1)求得到黑球、得到黃球及得到綠球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率．【解】(1)從袋中任取一球，記事件A為“得到紅球”，B為“得到黑球”，C為“得到黃球”，D為“得到綠球”，則事件A，B，C，D兩兩互斥．由已知P(A)＝eq\f(1,3)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)，∴P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).∵B與C∪D，B∪C與D也互斥，∴P(B)＝P(B∪C∪D)－P(C∪D)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(D)＝P(B∪C∪D)－P(B∪C)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(C)＝1－P(A∪B∪D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4)))＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6)故得到黑球、得到黃球、得到的綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).(2)∵得到的球既不是黑球也不是綠球，∴得到的球是紅球或黃球，即事件A∪C，∴P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，故得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率為eq\f(1,2).6．(2015·榆林模擬)如圖10-1-1所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：圖10-1-1所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數612181212選擇L2的人數0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．【解】(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用頻率估計相應的概率為0.44.(2)設A1，A2分別